oeil de minerve ISSN 2267-9243

            Le premier article,  Sur l’histoire de la logique des propositions, date de 1934, pour sa version polonaise. Łukasiewicz entend y combler un manque : la logique propositionnelle n’a jamais fait l’objet d’une histoire spécifique, faute d’avoir été reconnue comme une partie autonome de la logique. C’est pourtant dès l’antiquité, avec la dialectique stoïcienne, qu’elle  fit sa première apparition, poursuivant son développement dans la théorie médiévale des conséquences, avant de trouver son fondement moderne dans l’idéographie frégéenne.

            Une logique est formelle dans la mesure où elle a recours à des variables pour dégager la forme des raisonnements. Dans sa syllogistique, Aristote utilise des variables de termes (ex : « tous les a sont b »), tandis que les stoïciens ont recours à des variables propositionnelles (ex : « si p, alors q »). Or la logique des termes  et la logique des propositions « ne sont pas moins différentes l’une de l’autre que ne le sont l’arithmétique et la géométrie » (p 59). D’après Łukasiewicz, les stoïciens étaient conscients de cette différence et savaient probablement aussi que la logique des propositions précède la logique des termes. Aristote utilise, en effet, des schémas d’inférence propositionnelle pour réduire les syllogismes des deuxième et troisième figures à ceux de la première.

            Les syllogismes aristotéliciens sont, d’autre part, des implications (comme nous le verrons plus loin), tandis que ceux des stoïciens sont des règles d’inférence. Encore les stoïciens n’appellent-ils « syllogismes » que les règles les plus fondamentales, « indémontrables », ou du moins non-démontrées, qui leur servent à justifier d’autres règles. À titre d’exemple, le modus ponens – ou règles de détachement :  « si p, alors q; or p. Donc q », est le premier des syllogismes stoïciens.

            Leurs continuateurs médiévaux, Pierre d’Espagne et le Pseudo-Duns Scot, étudient ce qu’ils nomment des « conséquences », qui peuvent être indifféremment interprétées comme des schémas d’inférence ou des implications. Dans un des passages les plus stimulants de l’article, Łukasiewicz montre, en particulier, que la théorie des conséquences matérielles (qui ne sont « bonnes », i.e. correctes, que si l’on ajoute une proposition vraie aux prémisses) permet de justifier l’implication matérielle ; celle-ci, introduite par Philon de Mégare, adoptée par les stoïciens, mais contestée par Diodore Cronos (et encore au XX^ème siècle par C.I. Lewis), n’est pourtant pas explicitement  mentionnée par les auteurs médiévaux cités.

            Soulignons, au passage, que les stoïciens interprétaient déjà les connecteurs (les foncteurs, dans la terminologie de Łukasiewicz) comme des fonctions de vérité ; par exemple, la valeur de vérité de « si p alors q» est déterminée, de façon unique, par la valeur de vérité de p et q.  En l’occurrence, dans l’interprétation philonienne, la proposition « si p, alors q» est fausse si p est vrai et q faux ; elle est vraie dans tous les autres cas.

            Il semble qu’entre « l’effondrement de la scolastique médiévale » et l’œuvre de Frege, la logique propositionnelle soit restée en sommeil. Łukasiewicz décrit de façon frappante cette récente renaissance : « soudainement, sans une seule explication historique possible, la logique propositionnelle sort presque parfaitement complète du cerveau génial de Gottlob Frege (…) » (p 77). 

Indéterminisme, multivalence et modalité

            L’article de 1961, Sur le déterminisme, est la révision du discours que Łukasiewicz a prononcé, en tant que recteur de l’Université de Varsovie, pour l’inauguration de l’année universitaire 1922-1923. Comme il le rappelle, on attendait du recteur qu’il expose son « credo scientifique » ainsi que l’orientation de ses recherches. Pour le premier point, il expose sa conception de la relation entre logique et philosophie (voir plus bas) ; pour le second, il esquisse une réfutation des arguments qu’il juge les plus forts en faveur du déterminisme. Ces arguments sont réputés s’appuyer, l’un, sur le principe du tiers exclu, l’autre sur le principe de causalité. Concernant le premier, Łukasiewicz souligne que ce n’est pas tant le principe du tiers exclu que le principe de bivalence qui est en cause. On appelle « principe du tiers exclu » la validité de la proposition p ou non-p ; dans la notation de Łukasiewicz : ApNp ; or, cette proposition peut être valide même dans une logique trivalente. Il faut donc distinguer le tiers exclu de la bivalence, et c’est celle-ci qui est en cause dans l’argument mégarique bien connu, exposé par Aristote dans De l’interprétation, 9. S’il n’y a que deux valeurs de vérité, le vrai et le faux, alors une proposition portant sur un futur contingent doit être, dès à présent, soit vraie, soit fausse. L’avenir serait alors tout aussi déterminé que le passé.

            D’après le second argument, tout fait F a sa cause dans un fait antérieur F1, qui a lui-même sa cause dans un fait antérieur F2, et ainsi de suite, à l’infini : F, F1, F1...->infini. Si F est un fait futur, le déterministe en conclut que cette chaîne infinie de causes ramène à un fait présent, de sorte que, l’effet suivant nécessairement de sa cause, le fait futur  est déjà déterminé à avoir lieu par ses causes présentes. Łukasiewicz s’attache à montrer une faille dans ce raisonnement et, tout en affirmant que les deux arguments présentés sont indépendants, tire de l’objection qu’il fait au second une objection contre le premier. Par un raisonnement subtil, mais assez simple, sur la continuité, il soutient que l’erreur du second argument consiste à croire qu’une régression infinie des causes conduit nécessairement à des causes présentes. Rien n’empêche, en réalité, que la limite de la suite des causes antérieures se situe elle-même dans le futur. Or si la chaîne causale qui entraîne un fait futur débute elle-même dans le futur, on ne peut considérer, pour le présent, qu’une proposition qui énonce ce fait soit vraie ou fausse. Elle est seulement possible. Comme on le voit, la mise en cause de la bivalence est ici indissociable de l’introduction d’une modalité. Les trois autres articles témoignent de l’évolution des idées de Łukasiewicz sur les relations entre multivalence et modalité.  

            La confrontation de 1930 et 1953 est particulièrement instructive. Dans le premier, Łukasiewicz commence par montrer qu’une logique propositionnelle modale ne peut être à la fois vérifonctionnelle et bivalente. Une logique modale fait intervenir des opérateurs modaux tels que « il est possible que » et « il est nécessaire que ». Dans la pratique actuelle, on écrit  « ◊ » pour « il est possible que  » (Łukasiewicz utilise en général «  ») et « □ » pour « il est nécessaire que  » (qui peut être défini à partir du possible : est nécessaire ce dont la négation est impossible : ¬◊¬). Traiter la logique modale de façon vérifonctionnelle, c’est considérer les opérateurs modaux comme des foncteurs. L’opérateur ◊ serait donc un foncteur à un argument, comme l’est la négation. Or, dans une logique bivalente, outre la négation, il n’existe que trois autres foncteurs à un argument. Łukasiewicz montre alors que l’identification de ◊ à l’un de ces trois foncteurs conduit, au mieux, à des résultats contre-intuitifs, au pire à des contradictions.  

            Dans ces conditions, il faut renoncer soit à la vérifonctionnalité des opérateurs modaux, soit au principe de bivalence. L’approche qui est aujourd’hui devenue classique en logique modale adopte la première option. Łukasiewicz opte clairement pour la seconde.

            La deuxième partie de 1930 présente donc un système de logique modale associée à une logique trivalente. On retiendra ici surtout le fait que Łukasiewicz conclut son exposé en soutenant que seuls les systèmes trivalents, ou comportant une infinité de valeurs peuvent avoir un intérêt philosophique. Son argument est le suivant : soit l’on considère qu’il n’y a pas de degré de possibilité, auquel cas le possible est une troisième valeur ajoutée au vrai et au faux ; soit l’on considère qu’il y a des degrés de possibilité, une proposition pouvant être plus ou moins possible, auquel cas il faudra en admettre une infinité, comme il y a une infinité de degrés de probabilité.

            C’est justement cette thèse qui est remise en question dans l’article de 1953. Le défaut du système trivalent de 1930 est qu’il ne permettait pas de « sauver » toutes les tautologies de la logique bivalente (par exemple, le principe de non-contradiction n’y est pas valide !) En 1953, Łukasiewicz définit un système de logique modale qui n’a pas ce défaut, mais qui s’avère être… quadrivalent ; les deux nouvelles valeurs sont associées à deux possibilités, notées  et , que Łukasiewicz dit « jumelles », parce qu’elles se comportent comme des jumeaux que l’on ne saurait distinguer lorsqu’on les voit séparément, mais dont la différence saute aux yeux lorsqu’ils sont utilisés ensemble. Ainsi, par exemple,  n’a pas la même signification que  (le premier est une thèse du système, ce qui n’est pas le cas du second). Et pourtant  est indiscernable, dans le système, de . Łukasiewicz utilisera plus tard ce phénomène dans son étude des syllogismes modaux d’Aristote.

Recherches sur le calcul propositionnel classique

            Les trois articles suivants présentent des contributions de Łukasiewicz à la logique bivalente classique. Les deux premiers concernent des fragments de celle-ci : la logique dite implicationnelle (où l’implication est le seul foncteur utilisé) et la logique équivalentielle (le seul foncteur est l’équivalence). De même qu’il existe des axiomatisations de la totalité de la logique propositionnelle, on peut aussi axiomatiser ces sous-parties du système. Dans les deux cas, Łukasiewicz se propose d’améliorer les axiomatiques déjà connues. En particulier, dans 1939, il radicalise la recherche axiomatique en donnant non seulement un seul axiome pour la logique équivalentielle, mais en montrant aussi qu’il ne peut y avoir d’axiome plus court que lui :  (dans la notation de Łukasiewicz, «  » signifie «  est équivalent à  »). On notera que 1939 s’achève sur une discussion de la définition, dont Łukasiewicz affirme, contre Leśniewski, qu’elle ne doit pas être créative, i.e. elle ne doit pas permettre de démontrer de nouvelles thèses (elle n’est qu’une abréviation).

L’intuitionnisme

            Deux articles abordent la question des fondements des mathématiques et, comme chez Hilbert, cette question est traitée à travers une discussion de l’intuitionnisme de Brouwer. Dans 1938, Łukasiewicz réaffirme que toutes les sciences déductives sont basées sur la logique, et que la logique elle-même a pour base le calcul propositionnel. Des controverses sur la nature de celui-ci se répercutent donc inévitablement sur l’ensemble des sciences déductives. Or, les intuitionnistes, à la suite de Brouwer, ont contesté la validité de certaines thèses de la logique propositionnelle classique : le principe du tiers exclu, l’élimination de la double négation, la réduction à l’absurde, etc.

            La discussion de Łukasiewicz se réfère à trois résultats, qu’il rappelle : d’une part, Heyting est parvenu, en 1930, à axiomatiser la logique propositionnelle intuitionniste ; d’autre part, Lindenbaum a montré qu’à tout système logique de ce type, qu’il soit classique ou intuitionniste, on peut associer une « matrice », comme on le fait pour la logique classique bivalente (dont la matrice est constituée de toutes les tables de vérité des foncteurs du système). Enfin, Gödel a montré que la matrice associée au système de Heyting comporte une infinité de valeurs. Łukasiewicz est d’autant plus sensible à ces résultats qu’ils rejoignent son souci de donner un sens aux logiques multivalentes. Or, dans 1952, il n’hésitera pas à dire que « parmi les systèmes de logique multivalents connus jusqu’à présent, la théorie intuitionniste est la plus intuitive et la plus élégante » (p 276).

            D’ailleurs, entre 1938 et 1952, un changement s’est opéré : alors qu’il présentait encore, en 1938, la logique intuitionniste comme un système plus faible, strictement inclus dans le système classique (ce qui est naturel, puisque toutes les thèses intuitionnistes sont des thèses classiques), il inverse ce jugement en 1952, comme le font d’ailleurs tous les logiciens, depuis que Gödel a montré que toute proposition de la logique classique peut être traduite de telle manière que sa traduction soit démontrable dans la logique intuitionniste si et seulement si la proposition de départ est démontrable dans la logique classique – ce que l’on appelle aujourd’hui la traduction de Gödel-Kolmogorov. Dans 1938, Łukasiewicz procède autrement : au sein du système intuitionniste, il définit un sous-système dont les seuls foncteurs sont la négation et la conjonction. Il montre alors que la logique propositionnelle classique est elle-même un sous-système propre de ce sous-système propre de la logique intuitionniste (On entend par « sous-système propre » un sous-système qui n’est pas la totalité du système, donc un sous-système « proprement dit »).

Logique et philosophie

            Le onzième article est une conférence de 1927, publiée en 1928. Łukasiewicz y déclare que la philosophie doit recourir à la logistique (la logique mathématique) pour définir ses problèmes, en rejetant ceux qui ne peuvent être exprimés « de manière compréhensible » (p 290) ; elle doit ensuite les traiter par la méthode axiomatique. Ce projet d’une philosophie scientifique rapproche Łukasiewicz des représentants de l’École de Vienne, mais il ne partage pas leur rejet de la métaphysique. L’article de 1937 est d’ailleurs destiné à montrer que la logique « ne contient ni ne cache secrètement aucune doctrine philosophique » (p 295) : elle est une science autonome, qui fournit, certes, un instrument pour la philosophie, mais ne la remplace pas. En particulier, Łukasiewicz montre que, contrairement à ce que l’on a pu dire, elle ne contraint pas à adhérer au nominalisme, au formalisme, au positivisme, au conventionnalisme, au pragmatisme ou au relativisme. La conclusion de l’article est d’ailleurs édifiante : Łukasiewicz y exprime l’impression qu’il éprouve, lors de ses recherches logiques, d’être confronté à une structure concrète, résistante, solide, à laquelle il ne peut rien changer. Et il s’interroge : « Où se trouve cette structure idéale et qu’est-elle ? Un philosophe croyant dirait qu’elle est en Dieu et qu’elle est Sa pensée » (p 306).

En conclusion

            Le choix des articles permet d’apprécier à la fois la diversité et l’unité des recherches de Łukasiewicz, et montre nettement l’intérêt logique, philosophique, mais aussi historique de son œuvre. Sur ce dernier point, contre tout discours incommensurabiliste, il affirme résolument que les logiciens contemporains sont les mieux placés pour comprendre l’histoire de leur discipline ; et force est de reconnaître, par exemple, que peu d’historiens ont été aussi attentifs au texte des Premiers Analytiques que ne l’a été Łukasiewicz. Il est probablement le premier à remarquer que les syllogismes aristotéliciens sont des thèses implicationnelles, dont l’antécédent est la conjonction des prémisses et le conséquent la conclusion, et non des schémas d’inférence, comme on a coutume de les présenter. Aristote énonce ainsi le syllogisme appelé Barbara : « Si A est affirmé de tout B, et B de tout , nécéssairement A est affirmé de tout  ». Dans la notation de Łukasiewicz, ce syllogisme s’écrit .

            L’importance de l’œuvre logique de Łukasiewicz n’a pas besoin d’être prouvée, mais est bien illustrée dans le présent ouvrage. Ne négligeons pas, en premier lieu, la notation dite « polonaise », dont il est l’initiateur, et dont il tire ici tous les avantages ; contrairement aux auteurs du recueil, je recommanderais d’ailleurs au lecteur de ne pas chercher à la transcrire dans la notation usuelle, mais plutôt d’apprendre à lire en notation polonaise, celle-ci s’avérant à la fois extrêmement pratique et élégante, souvent la mieux adaptée aux objectifs de l’auteur. D’autre part, la lecture de son œuvre nous invite à redécouvrir des systèmes quelque peu délaissés par la pratique désormais courante : des logiques modales vérifonctionnelles, le calcul propositionnel étendu (avec des quantifications sur les variables propositionnelles), la protothétique de Leśniewski (avec des foncteurs variables quantifiés), un procédé particulièrement astucieux pour introduire les définitions (l’usage du foncteur variable ).

            Concernant la relation entre logique et philosophie, on a vu, dans la Section 3, comment Łukasiewicz avait été contraint de remettre en question sa première conception de la possibilité par le développement d’un système de logique modale. Il est remarquable que la notion de « possibilités jumelles » soit utilisée dans son œuvre   ultime, La Syllogistique d’Aristote dans la perspective de la logique formelle moderne. Comme il l’a lui-même expliqué, la première édition ne mentionnait pas les syllogismes modaux, parce que Łukasiewicz estimait qu’aucun système existant ne permettait d’en rendre compte. Or, c’est finalement un système quadrivalent du type de celui de 1953, avec ses possibilités jumelles, qui lui permit d’ajouter la considération des syllogismes modaux à la seconde édition (posthume). Ce système fournissait notamment une solution au problème épineux posé par la notion aristotélicienne de contingence. Celle-ci suppose une « possibilité bilatérale » (pour certaines propositions , il est possible que , et il est possible que non-), qui n’est pas vérifiée s’il n’y a qu’un seul type de possibilité. Łukasiewicz résout ce problème en posant que la possibilité de  n’est pas identique à la possibilité de , mais seulement jumelle. Il est clair qu’ici, la conceptualisation philosophique est le fruit de la construction logique.

            Mais Łukasiewicz, qui fut amené, à plusieurs reprises, à réviser ses propres conceptions, ne voyait probablement dans ces avancées que des contributions destinées à nourrir des développements ultérieurs. Lorsqu’il présentait, en 1922, son projet de philosophie scientifique, il concluait par ses mots : « Aucun individu ne peut espérer accomplir cette tâche seul. C’est un travail à l’échelle de plusieurs générations et d’intellects bien plus puissants que ceux nés jusqu’à présent » (p 85).

Liste des articles :

Sur l’histoire de la logique des propositions (1934)

Sur le déterminisme (1961)

Sur la logique trivalente (1920)

Remarques philosophiques sur les systèmes du calcul propositionnel multivalents (1930)

Un système de logique modale (1953)

Sur le système d’axiomes du calcul propositionnel implicationnel (1948)

Le calcul équivalentiel (1939)

Sur les foncteurs variables d’arguments propositionnels (1951/1952)

La logique et le problème des fondements (1938)

Sur la théorie intuitionniste de la déduction (1952)

De la méthode en philosophie (1928)

En défense de la logistique. La pensée catholique vis-à-vis de la logique contemporaine (1937)

Logistique et philosophie (1936)