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Bonjour,

On interrogera la semaine prochaine les étudiants sur les systèmes linéaires et la géométrie. Un petit exercice de résolution de système nécessitant de mettre en oeuvre la méthode du pivot de Gauss puis un exercice plus consistant de géométrie du plan ou de l'espace (éventuellement même des barycentres).

En fin de colle, on pourra proposer un petit calcul de somme ou une équation trigonométrique ou bien une équation différentielle selon l'humeur du jour. Si l'étudiant est à l'aise, proposer une résolution d'équation différentielle à l'aide des fonctions à valeurs complexes.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de cette dernière semaine avant les congés de fin d'année: une résolution d'équation différentielle suivie d'un exercice plus consistant sur les complexes. Nous avons complété notre exploration des complexes. Voici les notions déjà vues en classe:

• les trois formes d'un complexe, les propriétés du module, du conjugué, de l'argument;
• les résolutions d'équation du second ordre à coefficients complexes ou réels;
• les résolutions d'équations $z^n = alpha$, le cas particulier des racines n-ièmes de l'unité;
• le cercle unité U;
• la linéarisation d'expressions telles que cos^4(u) et le développement de sin(4u) en tirant profit du binôme de Newton et des formules de Moivre et d'Euler;
• la mise en correspondance des complexes et du plan, traduire dans les complexes: le milieu, le vecteur défini par deux points, la distance entre deux points, l'angle entre deux vecteurs, la colinéarité, l'orthogonalité de deux vecteurs et réciproquement: interpréter géométriquement des conditions sur les normes, les arguments, etc.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une restitution d'une formule de trigonométrie ou de dérivation (y compris composée) puis un exercice simple portant sur le premier chapitre des complexes suivi d'un exercice plus consistant sur la géométrie de l'espace.

Voilà le détail pour la géométrie:

• plan ou droite définis par leurs vecteurs directeurs et un point, équations paramétriques;
• définition formelle de la coplanarité, de la colinéarité;
• définition d'une famille libre, liée, d'une base, d'un repère des coordonnées d'un point, d'un vecteur;
• produit scalaire: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, plan défini par un vecteur normal et un point;
• produit vectoriel: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, interprétation en relation avec le déterminant 2D, l'aire d'un parallélogramme;
• produit mixte (ou déterminant): définition, propriétés, interprétation comme un volume;
• système d'équations cartésiennes de droites;

Et pour les complexes, le programme est pour le moment très réduit:

• calculs dans les complexes: somme, produit, inverse;
• propriétés du conjugué, du module;
• notation trigonométrique puis exponentielle, propriétés de l'argument;
• calculs de puissances de complexes dont la forme exponentielle est remarquable.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront sur la récurrence ainsi que de nouveau sur les études de fonctions:

• une démonstration par récurrence à restituer parmi les suivantes: formule explicite d'une suite arithmétique, géométrique, formule des nombres triangulaires, formule de Moivre. On exigera des étudiants qu'ils fassent bien apparaitre les étapes de la démonstration. On pourra également montrer aux étudiants que, dans certains cas, la récurrence n'est pas le plus efficace.
• une étude de fonctions impliquant les fonctions usuelles parcourues il y a deux semaines: trigo, trigo réciproque, racine, valeur absolue, exp et ln, partie entière. On pourra également proposer une équation ou une inéquation avec racine ou valeur absolue et en profiter pour revoir la disjonction de cas.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine de la rentrée les colles porteront sur les études de fonctions: domaine de définition, invariants (parité et périodicité), variations, limites, extremum, composition et fonction réciproque, ainsi que le dénombrement: cardinaux d'ensembles finis, dénombrement d'applications, d'injections, coefficients binomiaux.

Pour le moment nous n'avons traité que les fonctions de référence suivantes: polynomiales, racine, inverse, trigonométriques. Les étudiants ont déjà également vu les transformations suivantes: changement d'échelle sur les x, les y, translations. Je rappelle aussi que les définitions formelles de limites et ainsi que la continuité ne seront abordées qu'au second semestre!

Voici quelques questions de cours possibles: donner la définition de la croissance, d'un maximum en x_0, de l'injectivité, de la surjectivité d'une fonction, restituer une formule de trigonométrie ou de dérivation (y compris la dérivation composée), tracer la courbe de la fonction arcsinus ou arctangente à partir de la courbe de sinus ou tangente (exercice 27 chapitre 5).

Pour l'exercice, on pourra proposer une étude de fonctions reprenant ou s'inspirant de l'exercice 25 chapitre 5. Les étudiants doivent en priorité exploiter les outils vus dans le chapitre (invariant, composition, changement d'échelle ou translation). En fin de colle, on pourra proposer une question de dénombrement.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié