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Bonjour,

La semaine prochaine sera entièrement consacrée aux matrices et au premier chapitre d'algèbre linéaire. Je rappelle qu'à ce stade, nous n'avons pas encore étudié formellement les espaces vectoriels de dimension finie.

Au menu:

• familles libres et génératrices: utiliser un système ou des notions géométriques pour caractériser qu'une famille est libre ou génératrice;
• sous-espaces vectoriels: caractérisation, somme, somme directe, supplémentaires;
• morphismes: caractérisation, calcul du noyau, de l'image;
• opérations sur les matrices;
• écriture matricielle d'un système;
• écriture matricielle d'une combinaison linéaire d'une famille de vecteurs de K^n;
• application canoniquement associée à une matrice et matrice canoniquement associée à un morphisme de K^p vers K^n: calcul du noyau, de l'image, caractérisation de l'injectivité, de la surjectivité;
• calcul du rang d'une matrice et interprétations diverses: caractériser si les colonnes sont libres, génératrices, caractériser les solutions d'un système, caractériser l'injectivité, la surjectivité de l'application canoniquement associée.

Si l'étudiant est à l'aise, on pourra aborder les polynômes de matrices.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront essentiellement sur les polynômes avec une question de début de colle portant sur les calculs de limite.

Voici les notions à maîtriser sur les polynômes:

• opérations sur les polynômes: opérations usuelles, composition, division euclidienne, dérivation;
• raisonner sur le degré d'un polynôme;
• décomposer un polynôme sur R et C;
• formules de Taylor et Liebnitz;
• racines, multiplicités, en lien avec la dérivation et la décomposition.

N'hésitez pas, si l'étudiant est à l'aise, à poser des questions d'algèbre linéaire: sous-espaces de polynômes, morphismes de polynômes vers R^n.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Bonjour,

Je suis en train de corriger les concours blancs et je constate que l'exercice sur les complexes a été maltraité. Je vous propose, pour la semaine prochaine, une interrogation orale en deux temps:

1. Une question de cours sur les probabilités: indépendance,  formule de Bayes, probabilités totales et formules usuelles (probabilité du contraire, de l'union), ce qui sera l'occasion de revoir un peu de logique et de techniques rudimentaires de raisonnement sur les ensembles. Cette question pourra être suivie d'une application simple.
2. Un exercice sur les complexes. On pourra en particulier revenir sur la correspondance avec le plan, ainsi que sur les applications en trigonométrie.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons abordé le premier chapitre d'algèbre linéaire. Nous avons défini un K-ev, puis traité les exemples suivants: les suites, les fonctions, R^n, C. Dans un second temps, nous avons vu les sous-espaces vectoriels: intersection, somme, somme directe, supplémentaires et nous avons également vu les familles de vecteurs: espace engendré, familles libres et liées. Nous avons exploré de nombreux exemples et contre exemples tirés des chapitres précédents: lieux géométriques, solutions de systèmes, solutions d'équations différentielles. Cela a été l'occasion de revoir des notions de géo 2D et 3D, ainsi que des techniques de résolution de systèmes.

En TD, nous avons essentiellement traité des exercices en lien avec la borne supérieure, la partie entière et les suites (sans les limites).

Au menu de cette colle:

• en guise d'introduction: des exemples et contre exemples d'espace vectoriel, de sous-espace vectoriels (maîtriser le critère de stabilité par combinaison linéaire);
• un ou plusieurs exercices portant sur la borne supérieure, la partie entière, les suites qui seront l'occasion de remobiliser les techniques d'étude de fonctions.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Nous avons la semaine dernière terminé le cours sur les systèmes linéaires et les familles de vecteurs de R^n.

La semaine prochaine, les étudiants pourront être interrogés sur ce chapitre et on pourra en profiter pour retravailler sur la géométrie, les équations différentielles. On pourra demander aux étudiants:

• de donner les définitions formelles de famille libre, d'espace engendré, de famille génératrice. Attention, je n'ai pas encore parlé de base de R^n.
• de résoudre un système et éventuellement de donner les solutions sous forme de droites, plans en précisant les vecteurs de direction;
• de déterminer le rang d'un système, d'une matrice grâce au pivot de Gauss;
• d'exploiter le rang pour déterminer si une famille de vecteurs est libre, génératrice;
• dans les cas R^2 et R^3: de réinvestir les notions de géométrie pour valider les résultats obtenus sur les familles de vecteurs;
• de formuler un problème sous forme de système: on pourra en particulier revenir sur les équations différentielles, les identifications de polynômes (factorisation d'un polynôme à l'aide de racines évidentes);

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié