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TSI1 › Khôlles

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23 mai 2019

Programme des khôlles (du 27 au 31 mai)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons commencé le cours sur l'intégration. On a ainsi défini l'intégrale d'une fonction continue sur un segment comme la limite de la somme de Riemann des rectangles à gauche. Puis nous avons exploré les premières propriétés de l'intégrale: linéarité, positivité, égalité et inégalité de la moyenne, inégalité triangulaire avant de terminer la semaine par l'énoncé du magnifique théorème fondamental de l'analyse ainsi que de deux de ces corollaires: existence d'une primitive pour une fonction continue, calcul pratique d'intégrale à l'aide des primitives.

Les étudiants pourront donc être interrogés sur l'ensemble de ces notions. On pourra en profiter pour revenir sur les formules de somme d'entiers et somme de carrés d'entiers pour déterminer des sommes de Riemann de fonctions affines et du second degré. On pourra également revenir sur les notions de primitives et sur les formules usuelles à connaître, dans le cadre de calculs pratiques d'intégrales. À ce stade cependant, pas de changement de variable, ni d'intégration par parties.

En outre, en TD, nous avons continué de calculer des développements limités et nous avons manipulé de manière plus approfondie les notations de landau. Les étudiants pourront donc être de nouveau interrogés sur ces techniques.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

16 mai 2019

Programme des khôlles (du 20 au 24 mai)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons achevé le cours sur les matrices par l'étude des matrices carrées: inversibilité en lien avec la résolution de systèmes, matrices triangulaires supérieures ou bien inférieures (stabilité par addition et multiplication, critères d'inversibilité). Enfin, nous avons abordé l'image et de noyau d'une matrice, ainsi que l'application linéaire canoniquement associée à une matrice. Nous en avons profité pour établir toute une liste de critères équivalents concernant l'injectivité de cette application, ainsi que d'une liste de critères équivalents concernant la surjectivité de cette application.

En pratique, les étudiants doivent être en mesure

  • de s'appuyer sur les notions de rang ou de déterminant (en 2D et en 3D) pour savoir si une matrice est inversible;
  • d'inverser une matrice A en résolvant AX=Y;
  • de décrire géométriquement le noyau et l'image d'une matrice (en 2D et en 3D);
  • de déterminer la matrice associée à une application linéaire donnée de K^p vers K^n;
  • de calculer des inverses de matrices à partir d'équations polynômiales simples.

Bonne semaine à toutes et à tous,

P. Fournié

09 mai 2019

Programme des khôlles (du 13 au 17 mai)

Bonjour,

La semaine précédent les vacances, nous avons commencé le chapitre sur les matrices: définition, opérations, propriétés des opérations, formulation matricielle des systèmes, formulation matricielle des propriétés des familles de vecteurs de R^n (famille libre, génératrice), révisions sur les systèmes et sur la notion de rang. Attention, l'inversion de matrice ainsi que les notions de noyau, d'image et d'application linéaire n'ont pas encore été traitées!

Au programme des khôlles:

  • Tout ce qui concerne les polynômes: division, divisibilité, racines et multiplicité, dérivation, formule de Taylor.
  • Quelques notions sur les matrices: multiplication et somme de matrices, ainsi que les propriétés de ces deux opérations. On pourra en profiter pour revoir les résolutions de systèmes, et les notions de familles libres, familles génératrices de vecteurs de R^n.
  • Quelques calculs pas trop techniques de développements limités (produit, somme, quotient) à partir des fonctions usuelles: 1/(1-x), 1/(1+x), cos, sin, exp, ln(1+x), ln(1-x). Attention, je n'ai pas encore traité les formules portant sur (1+x)^alpha dans le cas général.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

03 mai 2019

Programme des khôlles (du 6 au 10 mai)

Bonjour,

La semaine prochaine le programme des khôlles portera sur les polynômes à coefficients réels ou complexes: opérations élémentaires, composition de polynômes, degré, division euclidienne, racines, décomposition en facteurs irréductibles, dérivation et formule de Taylor.

Les étudiants et étudiantes pourront être interrogés sur les définitions de racines, multiplicité, polynôme dérivé, techniques de décomposition en éléments irréductibles. On pourra en profiter pour revoir l'identifications des coefficients nécessitant des résolutions de systèmes. Attention, pour le moment, peu d'exemples ont été abordés en lien avec la dérivation et la formule de Taylor.

Il figure également au programme des khôlles la restitution des formules de développements limités en 0 des fonctions suivantes: exponentielle, cosinus, sinus, 1/(1-x), 1/(1+x), ln(1-x), ln(1+x). Aucun exercice ne portera sur ces formules, il s'agit simplement de restitution par coeur.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

12 avril 2019

Programme des khôlles (du 15 au 19 avril )

Bonjour,

La semaine dernière nous avons achevé le cours sur les fonctions. Nous avons ainsi poursuivi notre exploration des corollaires du théorème de Rolle: règle de l'Hospital et théorème de Taylor-Cauchy. Également, dans la perspective des développements limités, nous avons abordé les comparaisons de fonctions ainsi que les notations de landau. Enfin, nous avons défini les espaces C^n, D^n et abordé la formule de Liebnitz pour le calcul des dérivées n-ièmes. En TD, nous avons traité des exercices portant encore et toujours sur les calculs de limites, ainsi que sur des applications des théorèmes de Rolle, des accroissements finis, des calculs de dérivées n-ème. Enfin, nous avons vu des techniques de calcul d'équivalents simples de fonctions.

Nous verrons la semaine prochaine, en TD, la formule de Taylor-Young ainsi que les développements d'ordres supérieurs à 1.

Les étudiants pourront donc être interrogés sur les notions suivantes: limites, continuité, théorème de Rolle et des accroissements finis, notations de landau, espaces C^n, D^n, et dérivées n-ièmes. On pourra également en profiter pour revoir des suites définies par une relation de récurrence u_{n+1}=f(u_n).

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

03 avril 2019

Programme des khôlles (du 8 au 12 avril )

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons commencé le chapitre sur les fonctions en abordant la notion formelle de limite, de continuité et de dérivation.

En ce qui concerne la continuité et les limites: ont été vues les définitions avec les epsilon, la notion de prolongement par continuité, les principales propriétés des fonctions continues (composition, fonction réciproque).

Pour la dérivation: nous avons vu la définition à l'aide du taux d'accroissement et la définition équivalente sous forme de développement limité d'ordre 1. Cette notion de développement limité d'ordre 1 nous a permis d'approfondir des techniques de calcul de limites et de prouver la formule de la dérivation composée. Nous avons également abordé la notion d'extremum local, ainsi que le théorème de Rolle et des accroissements finis. En revanche, nous avons vu uniquement cette semaine la règle de l'Hospital (prolongement de la dérivée) ainsi que les espaces C^n et les comparaisons de fonctions. Aussi les étudiants ne pourront pas être interrogés sur ces notions.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

26 mars 2019

Programme des khôlles (du 1er au 5 avril )

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons terminé le chapitre de probabilités par les variables aléatoires finies: définition en tant qu'application de l'univers vers les réels, probabilité transportée Px, espérance, variance. Nous avons donné quelques propriétés de l'espérance: linéarité, formule du transfert. En ce qui concerne la variance, seule la variance de lambda X + mu et la formule de Huygens sont au programme de TSI. Nous avons aussi énoncé et démontré l'inégalité de Bienaymé-Chebychev.

Enfin, nous avons exploré rapidement les trois lois au programme: bernoulli, binomiale, uniforme, ce qui a été l'occasion de revoir des formules de sommes d'entiers, de sommes de carrés d'entiers, du binôme de Newton ainsi que quelques propriétés des coefficients binomiaux. L'indépendance de variables aléatoires n'étant pas au programme la loi binomiale a été vue sous l'angle des schémas de Bernoulli.

De nombreux exemples ont été abordés en exercice, et nous les avons parfois traités sous deux angles: arbres ou bien techniques de dénombrement.

Les étudiants pourront donc être interrogés de manière extensive sur ce chapitre, dans le cadre d'univers fini.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

20 mars 2019

Programme des khôlles (du 25 au 29 mars )

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons travaillé sur les probabilités. Nous avons défini le vocabulaire des probabilités: univers, évènement, issue, évènements incompatibles, contraire, système complet d'évènements, ce qui nous a permis de retravailler sur les notations ensemblistes et sur la logique. Puis nous avons abordé la notion de probabilité: définition, formule du contraire, de l'union, cas des univers avec des probabilités équiréparties. Dans un second temps, nous avons abordé l'indépendance d'évènements (indépendance mutuelle, indépendance deux à deux) ainsi que les probabilités conditionnelles (formule de Bayes, des probabilités totales).

Nous avons traité de nombreux exemples: tirage avec remise, sans remise, outils graphiques pour les successions d'expériences (arbres et tableaux) en insistant bien sur la définition de l'univers et des évènements.

Au menu de ces khôlles donc: les définitions et formules de base, les définitions et formules liées au conditionnement ainsi que des exercices en rapport. Les étudiants doivent être capables de manipuler les symboles à bon escient (ne pas confondre un évènement et sa probabilité, bien définir l'univers, le choisir équiprobable si possible). On pourra en profiter pour revenir sur des exercices de dénombrement.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

 

13 mars 2019

Programme des khôlles (du 18 au 22 mars )

Bonjour à toutes et tous,

La semaine prochaine le programme des colles portera sur l'ensemble des chapitres traités jusqu'à présent, à l'exception du chapitre en cours (probabilités). L'interrogation elle-même sera plus formelle, à la manière d'un concours blanc.

Pour rappel, jursqu'à présent, nous avons traité:

  1. la logique et les ensembles (dénombrement, applications, symboles sommes et produits)
  2. les études générales de fonctions (sans formalisme sur les limites) ainsi que les fonctions usuelles (trigonométriques, trigonométriques réciproques, logarithme, exponentielle)
  3. la géométrie du plan et de l'espace repérée
  4. les nombres complexes
  5. les équations différentielles (premier ordre et second ordre à coefficients constants)
  6. les résolutions de système à l'aide de la méthode du pivot de Gauss, les familles de vecteurs de R^n (définition famille libre, liée, génératrice, sans formalisme sur les espaces vectoriels)
  7. les suites numériques (ainsi que quelques propriétés sur les nombres notamment la propriété de borne supérieure)

Chaque interrogation pourra idéalement couvrir trois chapitres (question de cours sur l'un des chapitres et deux exercices sur deux autres chapitres).

Les notes de ces interrogations un peu spéciales auront un coefficient double.

Bonne semaine.

P. Fournié

12 février 2019

Programme des khôlles (du 18 au 22 février )

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons poursuivi notre exploration des suites avec la notion de limite. Nous avons étudié la définition formelle de limite finie et infinie à l'aide des quantificateurs et fait de nombreux exemples de calcul effectif de rang à partir duquel la suite atteint sa limite avec une précision epsilon fixée à l'avance. Nous avons énoncé les propriétés portant sur les opérations usuelles (somme, produit, quotient) et vu les limites de suites arithmétiques. Nous avons également vu les théorèmes d'encadrement (gendarmes et minoration par une suite tendant vers l'infini). Nous avons également énoncé et démontré le théorème de convergence monotone en nous appuyant sur la propriété de borne supérieure. Enfin, nous avons énoncé et démontré la limite d'une suite q^n. Autres propositions abordées: une suite convergente est bornée, le produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle a une limite nulle. Avant de clore ce chapitre, il nous restera à étudier les suites extraites, les notations de landau et les suites définies par une relation de récurrence u_{n+1}=f(u_n).

Comme question de cours, les étudiants pourront être interrogés sur les définitions de limites, de sens de variation, de majorants, de minorants, de borne supérieure, les théorèmes d'encadrement, l'inégalité de Bernoulli, et la convergence des suites arithmétiques et géométriques. En exercice, on pourra leur demander de calculer des limites de suites définies explicitement à l'aide des résultats portant sur les croissances comparées et en utilisant les techniques de levées d'indétermination. On pourra également étudier des suites définies par récurrence et en profiter pour revoir la démonstration par récurrence de certaines propriétés (formule explicite, sens de variation, majoration). En fin de colle, on pourra également aborder des sujets plus complexes telles que les suites définies comme des sommes ou des produits.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

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