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Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une restitution d'une formule de trigonométrie ou de dérivation (y compris composée) puis un exercice simple portant sur le premier chapitre des complexes suivi d'un exercice plus consistant sur la géométrie de l'espace.

Voilà le détail pour la géométrie:

• plan ou droite définis par leurs vecteurs directeurs et un point, équations paramétriques;
• définition formelle de la coplanarité, de la colinéarité;
• définition d'une famille libre, liée, d'une base, d'un repère des coordonnées d'un point, d'un vecteur;
• produit scalaire: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, plan défini par un vecteur normal et un point;
• produit vectoriel: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, interprétation en relation avec le déterminant 2D, l'aire d'un parallélogramme;
• produit mixte (ou déterminant): définition, propriétés, interprétation comme un volume;
• système d'équations cartésiennes de droites;

Et pour les complexes, le programme est pour le moment très réduit:

• calculs dans les complexes: somme, produit, inverse;
• propriétés du conjugué, du module;
• notation trigonométrique puis exponentielle, propriétés de l'argument;
• calculs de puissances de complexes dont la forme exponentielle est remarquable.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront sur la récurrence ainsi que de nouveau sur les études de fonctions:

• une démonstration par récurrence à restituer parmi les suivantes: formule explicite d'une suite arithmétique, géométrique, formule des nombres triangulaires, formule de Moivre. On exigera des étudiants qu'ils fassent bien apparaitre les étapes de la démonstration. On pourra également montrer aux étudiants que, dans certains cas, la récurrence n'est pas le plus efficace.
• une étude de fonctions impliquant les fonctions usuelles parcourues il y a deux semaines: trigo, trigo réciproque, racine, valeur absolue, exp et ln, partie entière. On pourra également proposer une équation ou une inéquation avec racine ou valeur absolue et en profiter pour revoir la disjonction de cas.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine de la rentrée les colles porteront sur les études de fonctions: domaine de définition, invariants (parité et périodicité), variations, limites, extremum, composition et fonction réciproque, ainsi que le dénombrement: cardinaux d'ensembles finis, dénombrement d'applications, d'injections, coefficients binomiaux.

Pour le moment nous n'avons traité que les fonctions de référence suivantes: polynomiales, racine, inverse, trigonométriques. Les étudiants ont déjà également vu les transformations suivantes: changement d'échelle sur les x, les y, translations. Je rappelle aussi que les définitions formelles de limites et ainsi que la continuité ne seront abordées qu'au second semestre!

Voici quelques questions de cours possibles: donner la définition de la croissance, d'un maximum en x_0, de l'injectivité, de la surjectivité d'une fonction, restituer une formule de trigonométrie ou de dérivation (y compris la dérivation composée), tracer la courbe de la fonction arcsinus ou arctangente à partir de la courbe de sinus ou tangente (exercice 27 chapitre 5).

Pour l'exercice, on pourra proposer une étude de fonctions reprenant ou s'inspirant de l'exercice 25 chapitre 5. Les étudiants doivent en priorité exploiter les outils vus dans le chapitre (invariant, composition, changement d'échelle ou translation). En fin de colle, on pourra proposer une question de dénombrement.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons achevé le premier chapitre de géométrie du plan en cours et commencé les révisions de trigonométrie en TD.

Voici les notions et techniques abordées dans ce chapitre que l'on pourra demander en question de cours:

• formules usuelles de lycée: distance, milieu, coordonnées de vecteur, norme;
• la définition de famille libre, liée de deux vecteurs, ainsi que la colinéarité (critère de colinéarité);
• coordonnées d'un vecteur dans une base ou d'un point dans un repère;
• révisions sur le cercle trigo et les angles en radians, coordonnées polaires;
• définition et propriétés du produit scalaire;
• définition et propriétés du déterminant;
• cosinus, sinus, tangente d'une somme, d'une différence, formules de duplication et de linéarisation.

On pourra proposer des exercices de géométrie: petits changements de repères en commençant par le cas où seule l'origine est déplacée (c'est d'ailleurs officiellement le seul cas au programme du premier semestre), calculer des coordonnées polaires, exercices autour du déterminant et du produit scalaire. Si vous parlez de droites, limitez-vous aux équations affines de lycée car je n'ai pas encore abordé ce sujet. On pourra aussi proposer des exercices "simples" de trigonométrie, par exemple démonstration d'une formule de duplication, ou bien résolution d'une équation.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Le programme des colles de chaque semaine portera en général sur les notions traitées avec environ une semaine de délai. Concrètement, au programme des colles de la semaine prochaine:

• quelques éléments simples de logique propositionnelle: énoncés logiques, opérateurs (et, ou, non, implication, equivalence) avec pas mal de tables de vérités et d'exemples de raisonnements;
• les fonctions affines et trinomiales: forme canonique et applications, factorisation dans R et applications; les notions associées aux fonctions trinomiales sont sorties du programme du lycée;
• en TD: travail sur les équations et inéquations du type f(x)>g(x) où f et g sont des polynômes ou des fonctions rationnelles, révisions sur les fonctions trinômiales, équations à paramètres (disjonction de cas);

Les étudiants peuvent être interrogés sur les fonctions affines et trinomiales et le cours de logique (définition d'une implication, différents types d'énoncé mathématiques, tables de vérité). On pourra également interroger les étudiants sur les formules apprises pendant l'été.

Les exercices porteront sur des résolutions d'équations et d'inéquations, y compris avec paramètres, ne nécessitant pas de technicité excessive (pas d'équations du troisième degré sauf si la factorisation est simple, ni d'équations à paramètres).

Voici un exemple de khôlle sur ce chapitre: Donner la table de vérité de "A implique B". Quel est le contraire de "A implique B"? Le prouver. Montrer que "(A implique B) et (non A implique non B)" correspond à "A équivalent à B". Résoudre (2x+5)^2=(x-3)^2, résoudre 1/(x-3)^2 >= 1/(x-5), résoudre 2mx+1 = x^2, chercher des antécédents de 1, 12 et 5 par x -> x^2+3x+1 puis d'autres résolutions d'équations ou d'inéquations de difficulté croissante...

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié