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Bonjour,

Au menu des colles de cette dernière semaine avant les congés de fin d'année: démonstration par récurrence, primitives, trigonométrie et nombres complexes. Concernant la récurrence, les étudiants doivent savoir refaire les démonstrations suivantes:

• formule explicite d'une suite arithmétique, géométrique;
• binôme de Newton;
• formule des nombres triangulaires.

Concernant les complexes, on pourra reprendre le programme de la semaine dernière auquel on ajoutera linéarisation et développement trigonométrique. Pour la trigonométrie, on pourra proposer des résolutions d'équations et d'inéquations nécessitant éventuellement d'exploiter les techniques de factorisation.

Enfin, au sujet des primitives, les étudiants doivent connaitre les formules usuelles de primitives et les appliquer pour calculer une intégrale.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une question de cours suivi d'un exercice d'application directe sur la géométrie de l'espace puis un exercice portant sur le dénombrement ou les sommes.

Voilà le détail pour la géométrie:

• plan ou droite définis par leurs vecteurs directeurs et un point, équations paramétriques;
• définition formelle de la coplanarité, de la colinéarité;
• définition d'une famille libre, liée, d'une base, d'un repère des coordonnées d'un point, d'un vecteur;
• produit scalaire: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, plan défini par un vecteur normal et un point;
• produit vectoriel: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, interprétation en relation avec le déterminant 2D, l'aire d'un parallélogramme;
• produit mixte (ou déterminant): définition, propriétés, interprétation comme un volume;
• système d'équations cartésiennes de droites;

Et pour les sommes et dénombrement.

• binôme de Newton;
• somme des q^k, suites géométriques;
• nombres triangulaires, suites arithmétiques;
• sommes télescopiques;
• nombre d'applications, d'injections, coefficient binomiaux, situations variées de dénombrement.

Attention, la récurrence n'est pas au programme de cette semaine. Je n'ai pas non plus abordé formellement les changements d'indice dans les sommes. Pour le moment, on acceptera que les étudiants utilisent les ... pour simplifier des sommes.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront sur les barycentres ainsi que les révisions de géométrie du plan:

• familles de vecteurs, base, colinéarité;
• coordonnées polaires;
• angle entre deux vecteurs;
• produit scalaire et déterminant;
• équations de droites, de cercles, problèmes d'intersection;
• barycentre de deux points ou plus: construction, calcul de coordonnées, problèmes associés aux barycentres (montrer des alignements, géométrie du triangle et des quadrilatères, calcul de lieux). Je rappelle que l'associativité du barycentre n'est pas au programme mais on pourra tout de même proposer des exercices qui tournent autour de la question (par exemple montrer que les médianes se coupent au centre de gravité du triangle).

On pourra commencer la colle par une question de cours sur les formules de trigonométrie usuelle (duplication, linéarisation, factorisation).

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine les colles porteront sur les études de fonctions: domaine de définition, invariants (parité et périodicité), variations, limites, extremum, composition et fonction réciproque.

Pour le moment nous n'avons traité que les fonctions de référence suivantes: polynomiales, racine, inverse, trigonométriques. Les étudiants ont déjà également vus les transformations suivantes: changement d'échelle sur les x, les y, et translations.

Voici quelques questions de cours possibles: donner la définition de la croissance, d'un maximum en x_0, de l'injectivité, de la surjectivité, quelques formules de trigonométrie ou de dérivation (y compris la dérivation composée).

Pour l'exercice: une étude de fonction complète portant sur une des fonctions usuelles suivantes:  polynomiale, racine, inverse, trigonométrique ou des composées. L'idée étant que les étudiants ne dériveront que si cela est absolument nécessaire.

Je rappelle enfin que les définitions formelles de limites et la continuité ne seront abordées qu'au second semestre!

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons achevé le cours de géométrie du plan.

Voici les notions et techniques abordées dans ce chapitre:

• la définition de famille libre, liée de deux vecteurs, ainsi que la colinéarité (critère de colinéarité);
• coordonnées d'un vecteur dans une base ou d'un point dans un repère;
• des rappels de trigonométrie, ainsi que sur les formules de distance et de coordonnées du milieu;
• les coordonnées polaires et cartésiennes;
• définition et propriétés du produit scalaire;
• définition et propriétés du déterminant;
• les droites du plan: définition par colinéarité ou par orthogonalité, équations paramétriques et cartésiennes;
• équations de cercle (paramétriques et cartésiennes)

On pourra proposer des exercices de géométrie: petits changements de repères en commençant par le cas où seule l'origine est déplacée (c'est d'ailleurs officiellement le seul cas au programme du premier semestre), déterminer ou interpréter des équations de droites dans des contextes diverses et variés (équations de droites remarquables d'un triangle, équations de droites parallèles à une droite et passant par un point donnée, etc.), calculer des coordonnées polaires, déterminer des angles entre deux vecteurs en exploitant le produit scalaire et le déterminant, calculer l'aire d'un triangle, interpréter des équations de cercle.

Concernant les questions de cours, on se concentrera là encore sur la géométrie.

En fin de colle, on pourra proposer d'étudier des lieux plus exotiques ou bien des exercices plus ambitieux avec le produit scalaire ou le déterminant.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié