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TSI1 › Khôlles

Fil des billets

04 février 2020

Programme des khôlles (du 2 au 7 mars)

Rappel: il n'y aura pas de colles du 24 au 28 février 2020, c'est une semaine de concours blanc. Vous pouvez éventuellement en profiter pour rattraper des séances que vous auriez loupées.

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons travaillé sur les théorèmes de convergence, les suites extraites, les suites adjacentes et sur les suites définies par une relation de récurrence d'ordre un. On pourra donc interroger les étudiants sur tout le chapitre des suites, à l'exception des notations de landau.

On pourra par exemple:

  • proposer des calculs de limites exploitant ou non des résultats d'encadrement ou de minoration, de convergence monotone; ce sera aussi l'occasion de revoir les techniques de levée d'indétermination et de croissances comparées;
  • étudier des suites définies par des récurrence d'ordre un du type u_{n+1} = f(u_n);
  • revoir les définitions et propriétés à travers des vrai/faux;
  • éventuellement en fin de colle, proposer des exercices sur des suites définies à l'aide de sommes, de produits.

Bonnes vacances à toutes et tous.

P. Fournié

29 janvier 2020

Programme des khôlles (du 3 au 7 février)

Bonjour,

Depuis deux semaines, nous avons commencé le chapitre sur les nombres et les suites. Nous en avons profité, même si ce n'est pas spécifiquement au programme, pour voir quelques propriétés des entiers: tout ensemble majoré admet un maximum, division euclidienne, notion de diviseur et de multiple commun. Ensuite, nous avons rapidement abordé les rationnels puis les réels en terminant ce bref exposé par la propriété de borne supérieure. Dans un second temps, nous avons entamé la partie sur les suites: définition explicite, par récurrence, le cas des suites arithmétiques et géométriques puis nous avons défini le sens de variation, la majoration et enfin nous avons terminé la semaine en abordant la notion de limite (finie et infinie) et en déterminant les limites éventuelles des suites arithmétiques et géométriques. A ce stade, très peu de calculs de limites ont été effectués, sauf dans le cadre de suites définies explicitement. Ainsi, les théorèmes de convergence monotone, d'encadrement et de minoration ne sont pas au programme. Pas plus d'ailleurs que les notions de suites extraites, et suites adjacentes.

On pourra donc interroger les étudiants sur:

  • les définitions: majorant, borne supérieure, suite croissante, suite convergente, suite qui admet une limite infinie;
  • des vrai / faux impliquant ces définitions: toute suite croissante tend-elle vers +infini, si u_n est majorée, |u_n| l'est-elle aussi...
  • des récurrences simples: déterminer une formule explicite à partir d'une définition par récurrence, on pourra par exemple revenir aussi sur les nombres triangulaires, l'inégalité de Bernoulli;
  • des caractérisation d'ensembles en terme de borne supérieure, inférieure, maximum, minimum;
  • des calculs de limite pour des suites définies de manière explicite.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

21 janvier 2020

Programme des khôlles (du 27 janvier au 31 janvier)

Bonjour à tous,

La semaine de khôlles de la semaine prochaine sera exceptionnellement consacrée aux études de fonctions et à la résolution d'inéquations et d'équations. On pourra interroger les étudiants de manière extensive sur:

  • les fonctions trigonométriques et trigonométriques réciproques;
  • la fonction inverse, carré, racine, valeur absolue;
  • les fonctions exponentielle et logarithme;
  • les résolutions d'inéquations à l'aide de tableaux de signes;
  • les fonctions polynômiales du second degré;
  • les propriétés de parité, de périodicité, et leurs applications à l'étude des fonctions;
  • les calculs de primitives et de dérivées;
  • les calculs de limites (y compris les croissances comparées).

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

13 janvier 2020

Programme des khôlles (du 20 au 24 janvier)

Bonjour,

Nous avons la semaine dernière terminé le cours sur les systèmes linéaires en explorant la notion de rang: rangs de systèmes équivalents; rang et solutions du système homogène (nous avons effleuré la notion de dimension); applications du rang pour déterminer si une famille est libre ou génératrice.

La semaine prochaine, les étudiants pourront être interrogés sur ce chapitre et on pourra en profiter pour retravailler sur la géométrie, les équations différentielles. On pourra demander aux étudiants:

  • de résoudre un système et éventuellement de donner les solutions sous forme de droites, plans en précisant les vecteurs de direction;
  • de déterminer le rang d'un système;
  • d'exploiter le rang pour déterminer si une famille de vecteurs est libre, génératrice;
  • de formuler un problème sous forme de système: on pourra en particulier revenir sur les équations différentielles, les identifications de polynômes (factorisation d'un polynôme à l'aide de racines évidentes).

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

06 janvier 2020

Programme des khôlles (du 13 au 17 janvier)

Bonjour,

La semaine précédent les vacances, nous avons commencé le chapitre sur les systèmes: vecteurs de R^n, opérations sur les vecteurs, famille libre, liée, espace engendré. Nous en avons profité pour revoir des notions de géométrie dans les cas n=2 et n=3. A ce stade, nous avons simplement commencé à pratiquer les résolutions de systèmes par combinaisons linéaires sur les lignes mais nous n'avons pas encore étudié formellement le pivot de Gauss.

En TD, nous avons continué de voir les équations différentielles en introduisant parfois les fonctions e^(ax) avec a qui est complexe.

Les étudiants pourront donc être interrogés de manière extensive sur les équations différentielles du premier ordre à coefficient variable ou du second ordre à coefficients constants. On pourra également les tester sur les définitions de famille libre, liée et espace engendré.

Bonne rentrée à toutes et tous.

P. Fournié

18 décembre 2019

Programme des khôlles (du 6 au 10 janvier)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons exploré les équations différentielles linéaires du premier ordre et du second ordre à coefficients constants. En préambule, nous avons défini les propriétés des primitives et nous avons établi un formulaire pour déterminer des primitives. Nous avons ensuite étudié la structure des solutions et l'importance de l'équation homogène (la différence de deux solutions est solution de l'équation homogène, la somme d'une solution particulière et d'une solution homogène est solution). Dans un second temps, nous avons exploité la méthode de la constante variable pour déterminer des solutions particulières dans le cas d'une équation linéaire du premier ordre. Enfin, nous avons étudié la résolution des équations du second ordre à coefficients constants. Nous avons cherché des solutions particulières par identification, en recherchant des solutions de la même famille que le second membre et en exploitant éventuellement le principe de superposition.

On pourra donc interroger les étudiants sur:

  • les formules de dérivation et de primitives;
  • la résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients variables et la méthode de la constante variable;
  • la résolution d'équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants et la recherche de solution particulière par identification.

On pourra en profiter pour revenir sur les racines complexes des polynômes ax^2+bx+c=0. Toutefois, à ce stade, aucune technicité dans l'utilisation des complexes pour la résolution d'équations différentielles ne sera exigée.

Bonnes vacances à toutes et tous.

P. Fournié

13 décembre 2019

Programme des khôlles (du 16 au 20 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons terminé le cours sur la géométrie dans l'espace. Nous avons étudié en particulier le produit vectoriel et ses applications, le produit mixte et ses applications, ainsi que les systèmes d'équations cartésiennes de droites et les équations de sphères, et enfin les deux formules de distance (point-droite, point-plan).

On pourra donc interroger les étudiants sur l'ensemble du chapitre de géométrie dans l'espace:

  • coplanarité, colinéarité et applications: équations paramétriques de plan, de droites; positions relatives de plan, de droites, définies par leurs équations paramétriques.
  • orthogonalité et applications: équations cartésiennes de plans, formules de la distance entre un point et un plan, projection orthogonale.
  • produit vectoriel, produit mixte: critère de colinéarité, de coplanarité, fabrication de bases orthonormées, détermination de vecteurs directeurs de plan connaissant un vecteur normal, calcul d'aires de triangles (volume du parallélépipède non vu en cours).
  • équations de droites et de plans: maîtriser les représentations paramétriques et les équations cartésiennes, passer de l'une à l'autre, lire les vecteurs normaux, de direction, calculer un point, une intersection...
  • équations de sphère: déterminer une équation de sphère à partir d'un point et d'un rayon.

En outre, on pourra, en début d'interrogation, demander quelques formules de dérivation, de primitives, ainsi que les domaines de définition et de dérivabilité de fonctions usuelles (dérivée de arcsin(u), de tan(x), primitive de tan(x)....).

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

03 décembre 2019

Programme des khôlles (du 9 au 13 décembre)

Bonjour,

Au menu des khôlles: la géométrie dans l'espace et les complexes.

La semaine dernière nous avons traité les familles de vecteurs: définition de la coplanarité, de familles libres ou liées, bases. Nous avons en pratique déterminé qu'une famille était libre en utilisant la définition (la seule combinaison linéaire nulle est celle pour laquelle tous les coefficients sont nuls). En application de ces notions, nous avons défini les équations paramétriques de plans et de droites.

Puis nous avons abordé le produit scalaire ainsi que son application pour déterminer une équation cartésienne de plan à partir d'un vecteur normal. Nous en avons profité pour revoir la notion d'orthogonalité.

Enfin, nous avons simplement introduit le produit vectoriel sans voir beaucoup d'applications à ce stade (simplement le lien avec le déterminant 2D ainsi que les propriétés de base pour le calcul).

En travaux dirigés, nous avons continué de travailler sur les complexes et leurs applications (à la géométrie ainsi qu'à la trigonométrie).

On pourra donc interroger les étudiants sur:

  • Les notions liées aux familles de vecteurs en dimension 2 ou 3: qu'est ce qu'une base? Comment traduire les coordonnées en tant que décomposition sur les vecteurs de base? Qu'est ce qu'une direction d'un plan, d'une droite? Comment lire ou déterminer une équation paramétrique connaissant la direction et un point? Comment montrer qu'un plan est parallèle à une droite à partir des équations paramétriques (sans utiliser le produit mixte)?
  • Le produit scalaire: montrer que deux droites sont orthogonales à partir de leurs vecteurs directeurs, déterminer une équation cartésienne de plan à partir d'un vecteur normal, lire un vecteur normal à partir d'une équation cartésienne de plan, déterminer l'équation paramétrique d'une droite orthogonale à un plan dont je connais une équation cartésienne.
  • Le produit vectoriel: la définition, la formule à partir des coordonnées. Aucune application compliquée à ce stade.
  • Les règles d'incidence en dimension 3 qui sont différentes de celles de la dimension 2: on pourra par exemple faire réfléchir les étudiants aux positions relatives de deux droites.
  • Les nombres complexes: linéarisation, développement pour les fonctions trigonométriques, racines n-ièmes, traduction de problèmes géométriques avec les complexes et vice versa. On pourra par exemple faire calculer des images par des rotations en utilisant les complexes en fin d'interrogation (si tout se passe bien).

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

28 novembre 2019

Programme des khôlles (du 2 au 6 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons achevé le cours sur les complexes en explorant les liens entre complexes et géométrie du plan: critère de colinéarité, d'orthogonalité, calcul d'angles, de longueurs.

Nous avons également vu comment résoudre un problème sur les nombres complexes en le traduisant en termes géométriques (ex: trouver les nombres z tels que (z-i)/(z-2) est réel revient à déterminer l'équation de la droite qui passe par les points (0,1) et (2,0)).

D'autre part, nous avons expliqué comment linéariser ou développer des expressions trigonométriques en exploitant les identités (cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2...) et la formule de Moivre.

Enfin, nous avons rapidement défini U et U_n et revu comment résoudre des équations de la forme z^n=alpha.

Les étudiants pourront donc être interrogé sur l'ensemble du chapitre sur les complexes.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

18 novembre 2019

Programme des khôlles (du 25 au 29 novembre)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons commencé le cours sur les complexes. En particulier, nous avons revu les techniques simples de calcul: addition, multiplication, quotient, recherche de formes algébriques grâce au conjugué. Puis nous avons abordé la notion d'argument, de module, ainsi que l'écriture trigonométrique.

En travaux dirigés, nous avons refait un point sur les techniques de calcul de limites, de dérivées ainsi que sur les transformations de fonctions (dilatations sur les x, les y, translations). Nous avons également traité des exercices portant sur le raisonnement par récurrence (d'ordre 1).

La semaine prochaine, les étudiants pourront donc être interrogés sur

  • des études de fonctions: on pourra en particulier revenir sur la trigonométrie et les fonctions trigonométriques réciproques qui ne sont pas bien maîtrisées;
  • le début du cours sur les complexes: calcul des formes d'un nombre complexe, calcul de module et d'argument d'un nombre complexe;
  • le raisonnement par récurrence.

Pour le moment, on n'interrogera pas les étudiants sur le plan complexe ni sur la résolution d'équations du second degré, ni sur les racines n-ièmes de l'unité car ces notions n'ont pas encore été abordées.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

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