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Bonjour,

La semaine prochaine, au menu des colles, une question de cours sur les limites de suites et un exercice d'algèbre linéaire. Voici des sujets possibles pour la question de cours:

• définitions des limites finies et infinies;
• théorèmes des Gendarmes, de minoration, de convergence monotone;
• définition d'une suite extraite, caractérisation d'une limite à l'aide de suites extraites formulée ainsi: "u_n tend vers une limite si et seulement si toutes ses suites extraites ont cette même limite."

L'exercice d'algèbre inclura les morphismes: définition, noyau, image, caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité à l'aide du noyau et de l'image. On se limitera aux exemples sur R^2 et R^3. Si l'étudiant est à l'aise, rien ne vous empêche de poser une question d'algèbre sur les suites: "l'ensemble des suites convergentes forme-t-il un s.e.v? Idem pour les suites croissantes, etc".

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: borne supérieure, introduction aux suites, dénombrement. Il n'est pas demandé aux étudiants de connaître la construction des nombres, cependant j'ai évoqué les entiers et les rationnels et j'en ai profité pour faire des rappels de dénombrement, Concernant les réels, nous nous sommes concentré sur la propriété de borne supérieure.

Pour les suites: définition explicite et par récurrence, sens de variation, majoration, suite périodique, stationnaire, rappels sur les suites arithmétiques et géométriques.

On pourra proposer une question de cours sur la borne supérieure suivi d'un petit exercice sur les suites et d'un exercice de dénombrement pour finir.

Ce sera surtout l'occasion de remobiliser les notations et les raisonnements sur les ensembles, les études de fonctions, les encadrements et le raisonnement par récurrence. Pour le moment, nous n'avons pas vu les limites, nous n'avons pas non plus abordé les techniques formelles d'études ou de tracés de suites définies par une recurrence d'ordre un (u_{n+1} = f(u_n)). Nous ferons cela plus tard.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

On interrogera la semaine prochaine les étudiants sur les systèmes linéaires et la géométrie. Un petit exercice de résolution de système nécessitant de mettre en oeuvre la méthode du pivot de Gauss puis un exercice plus consistant de géométrie du plan ou de l'espace (éventuellement même des barycentres).

En fin de colle, on pourra proposer un petit calcul de somme ou une équation trigonométrique ou bien une équation différentielle selon l'humeur du jour. Si l'étudiant est à l'aise, proposer une résolution d'équation différentielle à l'aide des fonctions à valeurs complexes.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de cette dernière semaine avant les congés de fin d'année: une résolution d'équation différentielle suivie d'un exercice plus consistant sur les complexes. Nous avons complété notre exploration des complexes. Voici les notions déjà vues en classe:

• les trois formes d'un complexe, les propriétés du module, du conjugué, de l'argument;
• les résolutions d'équation du second ordre à coefficients complexes ou réels;
• les résolutions d'équations $z^n = alpha$, le cas particulier des racines n-ièmes de l'unité;
• le cercle unité U;
• la linéarisation d'expressions telles que cos^4(u) et le développement de sin(4u) en tirant profit du binôme de Newton et des formules de Moivre et d'Euler;
• la mise en correspondance des complexes et du plan, traduire dans les complexes: le milieu, le vecteur défini par deux points, la distance entre deux points, l'angle entre deux vecteurs, la colinéarité, l'orthogonalité de deux vecteurs et réciproquement: interpréter géométriquement des conditions sur les normes, les arguments, etc.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une restitution d'une formule de trigonométrie ou de dérivation (y compris composée) puis un exercice simple portant sur le premier chapitre des complexes suivi d'un exercice plus consistant sur la géométrie de l'espace.

Voilà le détail pour la géométrie:

• plan ou droite définis par leurs vecteurs directeurs et un point, équations paramétriques;
• définition formelle de la coplanarité, de la colinéarité;
• définition d'une famille libre, liée, d'une base, d'un repère des coordonnées d'un point, d'un vecteur;
• produit scalaire: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, plan défini par un vecteur normal et un point;
• produit vectoriel: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, interprétation en relation avec le déterminant 2D, l'aire d'un parallélogramme;
• produit mixte (ou déterminant): définition, propriétés, interprétation comme un volume;
• système d'équations cartésiennes de droites;

Et pour les complexes, le programme est pour le moment très réduit:

• calculs dans les complexes: somme, produit, inverse;
• propriétés du conjugué, du module;
• notation trigonométrique puis exponentielle, propriétés de l'argument;
• calculs de puissances de complexes dont la forme exponentielle est remarquable.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié