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Bonjour,

La semaine prochaine sera entièrement consacrée aux matrices et au premier chapitre d'algèbre linéaire. Je rappelle qu'à ce stade, nous n'avons pas encore étudié formellement les espaces vectoriels de dimension finie.

Au menu:

• familles libres et génératrices: utiliser un système ou des notions géométriques pour caractériser qu'une famille est libre ou génératrice;
• sous-espaces vectoriels: caractérisation, somme, somme directe, supplémentaires;
• morphismes: caractérisation, calcul du noyau, de l'image;
• opérations sur les matrices;
• écriture matricielle d'un système;
• écriture matricielle d'une combinaison linéaire d'une famille de vecteurs de K^n;
• application canoniquement associée à une matrice et matrice canoniquement associée à un morphisme de K^p vers K^n: calcul du noyau, de l'image, caractérisation de l'injectivité, de la surjectivité;
• calcul du rang d'une matrice et interprétations diverses: caractériser si les colonnes sont libres, génératrices, caractériser les solutions d'un système, caractériser l'injectivité, la surjectivité de l'application canoniquement associée.

Si l'étudiant est à l'aise, on pourra aborder les polynômes de matrices.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront sur les limites de suites et les polynômes avec une question de cours sur les polynômes et un exercice sur les limites de suites.

Pour les polynômes:

• opérations sur les polynômes: opérations usuelles, composition, division euclidienne, dérivation;
• raisonner sur le degré d'un polynôme;
• décomposer un polynôme sur R et C;
• formules de Taylor et Liebnitz;
• racines, multiplicités, en lien avec la dérivation et la décomposition.

Pour les suites, programme identique à la semaine dernière. Je réserve pour plus tard l'étude systématique des suites définies par une relation de récurrence d'ordre un ainsi que les comparaisons de suites.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Bonjour,

Pour cette dernière semaine de colles avant les vacances, je vous propose le programme suivant:

1. Une question de cours sur les probabilités: indépendance,  formule de Bayes, probabilités totales et formules usuelles (probabilité du contraire, de l'union), ce qui sera l'occasion de revoir un peu de logique et de techniques rudimentaires de raisonnement sur les ensembles. Cette question pourra être suivie d'une application simple.
2. Un exercice d'algèbre linéaire: même programme que la semaine dernière.
3. Si tout se passe bien, un second exercice sur les complexes.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de cette semaine:

1. une question de cours d'algèbre linéaire:
   • être capable de montrer qu'un ensemble n'est pas un K-e.v. sur des cas simples: la définition formelle et complète d'un e.v. ne sera pas exigée;
   • sous-espaces vectoriels: critère de stabilité par combinaison linéaire, somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires;
   • familles de vecteurs: espace engendré, famille libre, génératrice, base.

On demandera par exemple aux étudiants de montrer que tel ou tel ensemble est sous-espace vectoriel de R^2 ou R^3 en le guidant bien, ou bien de décrire la somme de deux s.e.v., ou de montrer que deux s.e.v. sont supplémentaires par le critère d'existence et d'unicité de la décomposition d'un vecteur comme somme de vecteurs de ces deux sous-espaces. Ce sera aussi l'occasion de réviser les notions vues dans l'espace R^n.

2. un exercice sur la borne supérieure, les suites et la fonction partie entière:
   • déterminer la borne supérieure d'un ensemble.
   • comprendre la définition d'une suite par une récurrence d'ordre un ou deux.
   • déterminer le sens de variation d'une suite définie par récurrence d'ordre un ou explicitement.
   • déterminer si une suite est majorée, minorée, bornée.
   • connaître la définition de partie entière, son sens de variation, ses limites et raisonner sur les inégalités en lien avec cette fonction.

Ce sera surtout l'occasion de remobiliser les notations et les raisonnements sur les ensembles, les études de fonctions, les encadrements et le raisonnement par récurrence. Pour le moment, nous n'avons pas vu les limites, nous n'avons pas non plus abordé les techniques formelles d'études ou de tracés de suites définies par une recurrence u_{n+1} = f(u_n). Nous ferons cela plus tard.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

On interrogera la semaine prochaine les étudiants sur les systèmes linéaires:

• mettre en oeuvre l'algorithme du pivot de Gauss;
• déterminer le rang d'un système, d'une matrice;
• exprimer les solutions d'un système, et dans le cas R^2 ou R^3, interpréter ces solutions comme des droites, des plans, des points.

La question de cours portera sur les familles de l'espace R^n: définitions formelles d'une famille libre, liée, de l'espace engendré par une famille.

On pourra proposer un second exercice connexe nécessitant de poser un système: intersection de lieux géométriques, recherche de solutions particulières d'équations différentielles, factorisation de polynômes, décomposition de fractions (guider l'étudiant) pour déterminer une primitive...

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié