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Bonjour,

Pas de colles la semaine de l'ascension. La semaine suivante, les colles porteront sur l'analyse, en particulier les suites définies par une récurrence d'ordre un, les comparaisons de suites, la continuité et la dérivation. On pourra proposer une question de cours sur la dérivation et les classes de fonctions puis un exercice complet d'étude de suite. Voilà dans le détail ce que nous avons exploré en cours sur la dérivation:

• caractérisation de la dérivation par un développement limité d'ordre un, être capable de calculer un développement limité d'ordre un, corollaire: dérivabilité implique continuité;
• théorème de Rolle et des accroissements finis, inégalité des accroissements finis;
• dérivées n-ièmes, linéarité de la dérivée n-ième, classes de fonctions:
• formule de Leibniz.

Bien sûr, l'exercice sur les suites pourra comporter des applications de la dérivation, je pense en particulier aux accroissements finis exploités pour contrôler la vitesse de convergence d'une suite.

Comme d'habitude, on pourra, si le contexte s'y prête, établir des liens avec l'algèbre ou les chapitres précédents (la dérivée n-ième est-elle un morphisme? de quel espace vers quel espace? équation différentielle linéaire exprimée comme un problème affine ou tout autre sujet selon votre inspiration).

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine, une question de cours sur les suites:

• limites de suites;
• théorèmes d'encadrement, de convergence monotone, des suites adjacentes;
• comparaisons de suites et notations de landau.

On pourra par exemple interroger l'étudiant sur les comparaisons et les limites usuelles: suite n^alpha, factorielle, suite géométrique et en profiter pour revoir les techniques de calculs de limites.

Puis un exercice complet d'algèbre sur les matrices. On pourra même faire des polynômes de matrices si la colle se passe bien!

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, la question de cours sera consacrée à la continuité et l'exercice aux polynômes. Concernant la continuité, nous avons vu:

• définition formelle de limite;
• opérations sur les limites et théorèmes d'encadrement (Gendarmes et minoration);
• convergence monotone;
• définition de la continuité;
• théorème des valeurs intermédiaires et corollaires: image d'un intervalle, d'un segment par une fonction continue, cas particulier lorsque la fonction est strictement monotone.
• prolongement par continuité.

Concernant les polynômes, on pourra proposer un exercice classique autour de la division euclidienne, de la factorisation dans R ou C, de la dérivation Si l'étudiant est à l'aise, on pourra remobiliser les notions du premier chapitre d'algèbre linéaire.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront exceptionnellement sur le concours blanc avec une question de cours sur les probabilités. Voici ce qui a été traité en probabilités:

• définitions: évènements et opérations sur les évènements, univers probabilisé, système complet d'évènements;
• formule de l'union, du contraire;
• probabilités conditionnelles: définition, formule des probabilités totales et de Bayes;
• indépendance d'évènements: deux à deux ou mutuelle (pour une famille).

On pourra ensuite proposer un exercice inspiré (ou non) du concours blanc dont voici le sujet, dans une perspective de remédiation.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, au menu des colles, une question de cours sur les limites de suites et un exercice d'algèbre linéaire. Voici des sujets possibles pour la question de cours:

• définitions des limites finies et infinies;
• théorèmes des Gendarmes, de minoration, de convergence monotone;
• définition d'une suite extraite, caractérisation d'une limite à l'aide de suites extraites formulée ainsi: "u_n tend vers une limite si et seulement si toutes ses suites extraites ont cette même limite."

L'exercice d'algèbre inclura les morphismes: définition, noyau, image, caractérisation de l'injectivité et de la surjectivité à l'aide du noyau et de l'image. On se limitera aux exemples sur R^2 et R^3. Si l'étudiant est à l'aise, rien ne vous empêche de poser une question d'algèbre sur les suites: "l'ensemble des suites convergentes forme-t-il un s.e.v? Idem pour les suites croissantes, etc".

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié