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TSI1 › Khôlles

Fil des billets

13 décembre 2018

Programme des khôlles (du 17 au 21 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons continué d'explorer les équations différentielles. Nous avons vu les fonctions à valeurs complexes, leurs dérivées et la formule de dérivation d'exp(u) avec u à valeurs complexes. Cela nous a permis de justifier le passage aux fonctions complexes pour la résolution d'équations linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants et également de déterminer des solutions lorsque le second membre est sous la forme exp(ax)cos(bx) ou exp(ax)sin(bx).

En fin de semaine, nous avons abordé la géométrie dans l'espace, et les règles d'incidence que j'ai formulées dans un cadre non vectoriel.

Les étudiants pourront donc être interrogés de manière extensive sur les équations différentielles du premier ordre à coefficient variable ou du second ordre à coefficients constants. Quelques questions de cours portant sur les règles d'incidence pourront également être posées (positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans, caractérisation du parallélisme d'une droite et d'un plan, de deux plans) hors du cadre vectoriel. Pour le moment nous n'avons pas encore traité beaucoup d'exemples sur la géométrie dans l'espace.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

06 décembre 2018

Programme des khôlles (du 10 au 14 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons étudié les équations différentielles linéaires:

  • propriétés des primitives, calcul de primitives de fonctions usuelles, calcul de primitives lorsqu'il est possible d'identifier une formule de dérivation composée;
  • du premier ordre à coefficient variable (y'-ay=b, avec a et b des fonctions): structure des solutions, résolution de l'équation homogène, recherche de solutions à l'aide de la méthode de la constante variable, mise en oeuvre du principe de superposition;
  • du second ordre à coefficients constants: résolution de l'équation homogène à partir de l'équation caractéristique, recherche de solutions particulières lorsque le second membre est une exponentielle, un polynôme, un produit d'une exponentielle et d'un polynôme;
  • utilisation des fonctions à valeurs complexes: définition de la dérivation d'une fonction à valeurs complexes, dérivation d'une fonction exp(f(t)) avec f à valeurs complexes; exploitation de ces résultats pour le recherche de solutions particulières lorsque le second membre est de la forme P(x)cos(ax) avec P un polynôme.

En travaux dirigés, nous avons essentiellement cherché et corrigé des exercices de résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre nécessitant d'utiliser la méthode de variation de la constante. En classe, nous avons également résolu quelques équations différentielles du second ordre à coefficients constants avec ou sans passage par les complexes. La mise en oeuvre de résolutions à l'aide d'intégration par parties ou de changement de variable sera abordée au second semestre.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

30 novembre 2018

Programme des khôlles (du 3 au 7 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons achevé le cours sur les complexes en explorant les liens entre complexes et géométrie du plan: critère de colinéarité, d'orthogonalité, calcul d'angles, de longueurs.

Nous avons également vu comment résoudre un problème sur les nombres complexes en le traduisant en termes géométriques (ex: trouver les nombres z tels que (z-i)/(z-2) est réel revient à déterminer l'équation de la droite qui passe par les points (0,1) et (2,0)).

D'autre part, nous avons expliqué comment linéariser ou développer des expressions trigonométriques en exploitant les identités (cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2...) et la formule de Moivre.

Enfin, nous avons rapidement défini U et U_n et revu comment résoudre des équations de la forme z^n=alpha.

Les étudiants pourront donc être interrogé sur l'ensemble du chapitre sur les complexes.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

 

 

22 novembre 2018

Programme des khôlles (du 26 au 30 novembre)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons commencé le cours sur les complexes. En particulier, nous avons revu les techniques simples de calcul: addition, multiplication, quotient, recherche de formes algébriques grâce au conjugué. Puis nous avons abordé la notion d'argument, de module, ainsi que les écritures exponentielles et trigonométriques (incl. la formule de Moivre). L'une des séance était consacrée aux propriétés de la fonction argument (qui transforme les produits en somme) et à ses applications pour le calcul des puissances de complexes et la résolution d'équations du type z^n = a. Nous avons également énoncé les résultats de factorisation dans C d'un polynôme du second degré à coefficients réels.

En travaux dirigés, nous avons résolu des exercices plus compliqués sur les études de fonctions et les inéquations. À ce titre, vous pouvez consulter la planche n°6 du recueil d'exercices ainsi que les corrections associées.

La semaine prochaine, les étudiants pourront donc être interrogés sur des études de fonctions ou sur le début du cours sur les complexes: calcul des trois formes d'un nombre complexe, calcul de module et d'argument d'un nombre complexe, polynômes du second degré à coefficients réels. Pour le moment, on n'interrogera pas les étudiants sur le plan complexe ni sur la résolution d'équations du second degré à coefficients complexes car ces notions ont été traitées cette semaine. Je n'ai également pas encore formellement introduit la notation U, ni U_n.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

15 novembre 2018

Programme des khôlles (du 19 au 23 novembre)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons achevé le cours sur les fonctions par l'étude de l'exponentielle et du logarithme. Nous en avons profité pour approfondir les techniques de dérivation (application des formules de dérivation composée) et de recherche de limites (croissances comparées, levées d'indétermination). En application d'exponentielle et logarithme, vous avons vu la fonction x->a^x et la fonction logarithme base a. Attention, nous n'avons pas encore abordé la fonction partie entière, que je réserve pour des TDs ultérieurs.

En travaux dirigés, nous avons poursuivi les études de fonctions trigonométriques, avec une séance consacrée à la recherche d'amplitude et de phase pour un signal de la forme A cos(2t)+B sin(2t), et nous avons abordé des exercices plus délicats de résolution d'inéquations (par exemple, montrer ln(x)<=x-1 en étudiant la fonction x-1-ln(x)).

La semaine prochaine, les étudiants pourront donc être interrogés sur:

  • les fonctions trigonométriques et trigonométriques réciproques: inéquations et équations sans excès de technicité, recherche d'amplitude et de phase de signal, calcul de périodes, d'invariances (avec interprétation graphique);
  • des calculs de limite impliquant exponentielle et logarithme;
  • des résolutions d'inéquation de la forme f(x)>g(x) nécessitant d'étudier la fonction f(x)-g(x);
  • les fonctions x->a^x ou x->x^x, sans excès de technicité.

Voici des exemples de question de cours: définition et propriétés de arcsin, arccos, arctan; qu'est ce qu'une fonction paire (+propriété géométrique de sa courbe); quel est le contraire de f est croissante, f est majorée; que peut-on dire d'une fonction croissante et majorée sur un intervalle [a;~+\infty[.

On pourra également revenir sur les techniques de résolution nécessitant de dresser un tableau de signes, ou sur les conditions de validité des équivalences entre égalités, entre inégalités.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

08 novembre 2018

Programme des khôlles (du 12 au 16 novembre)

Bonjour,

La semaine précédent les vacances était particulièrement légère puisque nous étions en classe transplantée. Le programme des khôlles de la semaine prochaine comprendra donc quelques éléments abordés cette semaine. Voici ce que nous avons traité et qui peut figurer au programme des khôlles de la semaine prochaine:

  • fonctions: propriétés de parité, de périodicité, interprétations graphiques, liens entre la courbe de f et les courbes de x -> f(ax), x ->af(x), x->f(x-a)+b, composition de fonctions (sens de variations, dérivée, parité), fonctions réciproques (sens de variation, dérivée, lien avec courbe de la fonction directe).
  • fonctions de référence: racine, valeur absolue, fonctions trigonométriques et trigonométriques réciproques.

Les étudiants pourront être interrogés sur des études de fonctions nécessitant ou non une dérivation. Par exemple, on peut leur demander de donner le tableau de variation de x->-2/racine(x^2+x+1)+3 sans calculer de dérivée, d'exploiter les propriétés d'invariance, de fabriquer une courbe de fonction que l'on peut déduire à partir d'une fonction de référence simple (racine, carré, inverse) par opérations géométriques élémentaires (translation, dilatation sur les x ou y). On pourra également en profiter pour revenir sur les techniques de résolution d'inéquations nécessitant d'exploiter des sens de variations de fonctions, sans excès de technicité (en particulier sur les fonctions trigonométriques réciproques).

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

12 octobre 2018

Programme des khôlles (du 5 au 9 novembre)

Bonjour,

Voici ce que nous avons traité en classe la semaine dernière et qui sera au menu des colles de la rentrée:

  • géométrie dans le plan: toujours des droites dans le triangle, du calcul d'images par les applications géométriques étudiées (réflexions, translations, homothéties, projection) dans des cas particuliers, des équations de cercle (déterminer centre et rayon depuis l'équation cartésienne et réciproquement) et un exercice portant sur les intersections d'une droite et d'un cercle
  • binôme de newton et sommes: somme des n premiers entiers prouvée en exercice de quatre manières différentes (par somme télescopique des (k+1)^2-k^2, par récurrence, par un raisonnement sur le choix de 2 parmi (n+1), par le dénombrement "géométrique"), somme des termes d'une suite géométrique, somme des termes d'une suite arithmétique.
  • fonctions: définitions de croissance, monotonie, majoration, minoration, lien avec l'injectivité, définition intuitive de la limite, de la continuité. Limites, continuité et opérations, composition de fonctions et limites. Attention, la définition de la limite avec les quantificateurs sera traitée au second semestre uniquement. Définition du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement, lien avec la tangente et les cordes. Dérivation et opérations.

Les étudiants pourront être interrogés sur la géométrie du plan, le dénombrement et le début du cours sur les fonctions.

Je leur ai aussi demandé un travail de remédiation sur le dernier DST qui était assez raté. Ils sont censés savoir refaire les exercices 2 et 3 de ce devoir. Vous trouverez le corrigé du dernier DST.

Bonnes vacances.

P. Fournié

05 octobre 2018

Programme des khôlles (du 8 au 12 octobre)

Cette semaine, nous avons terminé le chapitre de géométrie du plan et poursuivi notre exploration de la formule du binôme de Newton en TD. Les exemples et exercices ont traité des sujets suivants:

  • calculs d'équations de droites définies de multiples manières: vecteur directeur + point, vecteur normal + point, hauteur, médiatrice, droite passant par deux points;
  • calculs d'équations cartésiennes et paramétriques de cercle (quelques exemples traités);
  • projeté orthogonal: calcul de coordonnées et de distance d'un point à une droite (multiples exemples traités);
  • translation, homothétie, rotation, réflexion: quelques exemples de calculs d'images, propriétés des images d'un couple de points par ces applications, applications réciproques de ces applications.
  • dénombrement: applications de la formule du binôme de Newton avec b=1 (par exemple, calcul de la somme des (-1)^k*(k parmi n))

Les questions de cours des khôlle pourront porter sur la géométrie du plan, la formule du binôme (qu'est ce qu'un cercle? qu'est ce qu'une rotation? une homothétie? un projeté orthogonal? lesquelles de ces applications conservent les distances? donner la formule du binôme de Newton.)

Les exercices pourront porter de manière extensive sur les équations de droites, les calculs de coordonnées d'images de points par projection orthogonale, les calculs liés aux médianes, médiatrices, hauteurs. On pourra également proposer des exercices très concrets sur les translations, homothéties, réflexions et rotations. Attention, le programme précise que les transformations géométriques sont abordées par l'exemple au premier semestre. Donc, nous avons uniquement survolés ces applications, sans nous étendre sur la théorie. On pourra également revoir des applications du déterminant, du produit scalaire, des changements de base.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

28 septembre 2018

Programme des khôlles (du 1 au 5 octobre)

Cette semaine, nous avons poursuivi le chapitre de géométrie du plan et en parallèle abordé la formule du binôme de Newton en TD. Les exemples et exercices ont traité des sujets suivants:

  • changement de base sur des exemples concrets (résolution de système)
  • trigonométrie: le premier devoir maison portait sur la trigonométrie (démonstration de formules, tangente de l'angle moitié) et nous avons en TD résolu des équations trigonométriques nécessitant de connaître, entre autre, les formules de factorisation, de la tangente de l'angle moitié.
  • vecteurs, droites: produit scalaire (formule, al kashi, identité du parallélogramme), déterminant (définition avec sinus, calcul d'aire, formule du changement de base), droites définies par colinéarité et orthogonalité (équations paramétriques et cartésiennes sur des cas concrets (ex: calcul des équations d'une hauteur d'un triangle).
  • dénombrement: formule du binôme de Newton, introduction du symbole Sigma. En dehors de cela, nous ne sommes pas revenus sur ce chapitre.

Les questions de cours des khôlles pourront porter sur la géométrie du plan (qu'est ce qu'une famille libre? donner la définition du déterminant, expliquer le lien entre aire et déterminant, formules du déterminant, du produit scalaire, conditions d'applications des formules...)

Les exercices pourront porter sur la trigonométrie (encore et toujours!), des cas simples de changement de base, des calculs de produits scalaires, de déterminants (avec ou sans coordonnées comme dans le cas d'Al Kashi). On pourra également aborder des calculs d'équations de droites passant par deux points, passant par un point parallèlement ou orthogonalement à une direction.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

21 septembre 2018

Programme des khôlles (du 24 au 29 septembre)

Bonjour,

Cette semaine, nous avons terminé le cours sur le dénombrement et entamé le chapitre de géométrie du plan (coordonnées cartésiennes et polaires). En TD et en AP, nous avons essentiellement couverts les notions d'applications et de dénombrement, et nous avons refait un point sur le second degré (forme canonique et factorisation) en lien avec les résolutions d'inéquations, les études de fonctions.

En détail, voilà les points sur lesquels les élèves peuvent être interrogés:

  • ensembles, applications et dénombrement: définitions (injection, bijection, cardinal, ensemble image, image réciproque, différence avec une application réciproque...), formulation du contraire (encore et toujours en rapport avec les quantificateurs et les opérateurs logiques), dénombrement d'applications, d'injections, de bijections (utilisation des factorielles), combinaisons (Pascal, cardinal des parties d'un ensemble fini...), cas pratiques de dénombrement (tirage avec ou sans remise, dénombrement avec ou sans ordre, les cas combinatoires autour du tirage de cinq cartes ont été traité abondamment). Pour les exercices, voir la planche n°3 du recueil d'exercices. Attention, la formule du binôme de Newton n'a pas été traitée. Aucune technique particulière, ni formalisme sur les sommes et les produits n'est à ce stade exigible, on continue d'utiliser les "..." pour les sommes et les produits.
  • fonctions et calcul littéral: étude de fonctions en rapport avec les propriétés d'injectivité et de surjectivité, calcul d'images directes, d'images réciproques, de fonctions réciproques dans des cas pas trop compliqués, toujours des résolutions d'inéquations avec la valeur absolue, les racines, des quotients de polynômes, bien insister sur les techniques d'étude de signes non encore maîtrisées par les étudiants.
  • trigonométrie: le premier devoir maison propose aux étudiants de revenir sur les formules de somme, de duplication, de tangente de l'angle moitié. Toutes les formules de trigonométrie du formulaire sont exigibles même si peu d'exercices les ont pour le moment couvertes.
  • géométrie: définition famille libre, liée, base (cas simple de changement de base), repère du plan (+formule de la distance et du milieu), coordonnées polaires (calcul de coordonnées polaires, lien entre coordonnées cartésiennes et polaires).

Bonne semaine à toutes et à tous!

P. Fournié

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