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TSI1 › Khôlles

Fil des billets

13 mars 2019

Programme des khôlles (du 18 au 22 mars )

Bonjour à toutes et tous,

La semaine prochaine le programme des colles portera sur l'ensemble des chapitres traités jusqu'à présent, à l'exception du chapitre en cours (probabilités). L'interrogation elle-même sera plus formelle, à la manière d'un concours blanc.

Pour rappel, jursqu'à présent, nous avons traité:

  1. la logique et les ensembles (dénombrement, applications, symboles sommes et produits)
  2. les études générales de fonctions (sans formalisme sur les limites) ainsi que les fonctions usuelles (trigonométriques, trigonométriques réciproques, logarithme, exponentielle)
  3. la géométrie du plan et de l'espace repérée
  4. les nombres complexes
  5. les équations différentielles (premier ordre et second ordre à coefficients constants)
  6. les résolutions de système à l'aide de la méthode du pivot de Gauss, les familles de vecteurs de R^n (définition famille libre, liée, génératrice, sans formalisme sur les espaces vectoriels)
  7. les suites numériques (ainsi que quelques propriétés sur les nombres notamment la propriété de borne supérieure)

Chaque interrogation pourra idéalement couvrir trois chapitres (question de cours sur l'un des chapitres et deux exercices sur deux autres chapitres).

Les notes de ces interrogations un peu spéciales auront un coefficient double.

Bonne semaine.

P. Fournié

12 février 2019

Programme des khôlles (du 18 au 22 février )

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons poursuivi notre exploration des suites avec la notion de limite. Nous avons étudié la définition formelle de limite finie et infinie à l'aide des quantificateurs et fait de nombreux exemples de calcul effectif de rang à partir duquel la suite atteint sa limite avec une précision epsilon fixée à l'avance. Nous avons énoncé les propriétés portant sur les opérations usuelles (somme, produit, quotient) et vu les limites de suites arithmétiques. Nous avons également vu les théorèmes d'encadrement (gendarmes et minoration par une suite tendant vers l'infini). Nous avons également énoncé et démontré le théorème de convergence monotone en nous appuyant sur la propriété de borne supérieure. Enfin, nous avons énoncé et démontré la limite d'une suite q^n. Autres propositions abordées: une suite convergente est bornée, le produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle a une limite nulle. Avant de clore ce chapitre, il nous restera à étudier les suites extraites, les notations de landau et les suites définies par une relation de récurrence u_{n+1}=f(u_n).

Comme question de cours, les étudiants pourront être interrogés sur les définitions de limites, de sens de variation, de majorants, de minorants, de borne supérieure, les théorèmes d'encadrement, l'inégalité de Bernoulli, et la convergence des suites arithmétiques et géométriques. En exercice, on pourra leur demander de calculer des limites de suites définies explicitement à l'aide des résultats portant sur les croissances comparées et en utilisant les techniques de levées d'indétermination. On pourra également étudier des suites définies par récurrence et en profiter pour revoir la démonstration par récurrence de certaines propriétés (formule explicite, sens de variation, majoration). En fin de colle, on pourra également aborder des sujets plus complexes telles que les suites définies comme des sommes ou des produits.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

05 février 2019

Programme des khôlles (du 11 au 15 février )

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons traité en TD des exercices portant sur des systèmes avec paramètres ainsi que des exercices sur la notion de borne supérieure. En cours, nous avons vu les différents modes de définition des suites, nous avons refait un point sur la récurrence et nous avons défini les sens de variation et majorants des suites sans aborder encore formellement la notion de limite.

Les étudiants pourront donc être interrogés sur les modes de définition des suites, les définitions liées au sens de variation et à la majoration. On pourra en profiter pour revoir des techniques associées aux études de fonctions. Exemples d'exercice: preuve de la formule explicite d'une suite arithmétique, preuve de l'inégalité de Bernoulli, démontrer qu'une suite est bornée ou est croissante par récurrence. On pourra également traiter des vrai / faux qui permettront de lever quelques idées reçues autour des notions de sens de variation et de majoration.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

01 février 2019

Programme des colles de la semaine prochaine

Bonjour, 

Au programme des colles de cette semaine: nombres entiers, rationnels, et nombres réels.

Aucune connaissance spécifique en arithmétique n'est exigée. Nous avons juste revu les notions du collège: pgcd, ppcm, division euclidienne. Concernant les rationnels, nous avons fait un peu de dénombrement en montrant qu il existe une surjection de N vers Q. Enfin, sur R, nous avons défini la fonction partie entière ainsi que le développement décimal et nous avons vu la propriété de borne supérieure ce qui nous a permis de revoir les notions d'image et d'image réciproque sur les fonctions.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié.

 

26 janvier 2019

Programme des khôlles (du 28 janvier au 1er février)

Bonjour à tous,

la semaine dernière nous avons poursuivi notre exploration des systèmes en faisant le lien entre système et combinaisons linéaires de vecteurs. Cela nous a permis de traduire les notions de familles libres et de familles génératrices en terme de résolution de système et de définir des critères de familles libres et familles génératrices à partir des rangs de systèmes correspondants.

Les étudiants pourront donc être interrogés de manière extensive sur les systèmes, et les familles de R^n. Encore une fois je rappelle qu'à ce stade, les matrices ne sont utilisées que comme outils de visualisation de systèmes, sans technicité particulière.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

17 janvier 2019

Programme des khôlles (du 21 au 25 janvier)

Bonjour,

Nous avons la semaine dernière commencé le cours sur les systèmes linéaires. Le début de ce cours était consacré à une présentation de R^n, aux opérations d'addition et de multiplication externe et à des définitions portant sur des familles de vecteurs: vecteurs libres, espace engendré. La seconde partie de ce cours, également traitée la semaine dernière portait sur les systèmes linéaires: système homogène, structure des solutions en rapport avec le vocabulaire des équations différentielles, pivot de gauss: définition des opérations élémentaires sur les lignes, de la notion d'équivalence de systèmes, rang de systèmes équivalents (théorème). De nombreux exemples en rapport avec la géométrie ont été traités.

La semaine prochaine, les étudiants pourront donc être interrogés sur ce chapitre et on pourra en profiter pour retravailler sur la géométrie, les équations différentielles. On pourra demander aux étudiants de déterminer le rang d'un système, d'une matrice. À ce stade, la mise en équation de problèmes liés aux espaces engendrés ou aux familles libres n'est pas exigible. Je n'ai pas trop insisté sur les notations matricielles non plus. Je réserve cela pour les cours ultérieurs.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

10 janvier 2019

Programme des khôlles (du 14 au 18 janvier)

Bonjour,

J'ai demandé aux étudiants de réviser pendant les vacances le premier chapitre (logique, ensembles, applications et dénombrements) et de bien revoir les chapitres sur la géométrie et les complexes.

Les sujets de colles de la semaine prochaine pourront donc porter sur l'ensemble des chapitres de géométrie, sur les complexes (le lien avec la géométrie n'est pas encore assez bien maîtrisé) et sur le premier chapitre de l'année. On pourra en particulier revenir sur le vocabulaire des applications (injection, surjection...) et sur des problèmes de dénombrement et de sommes.

Cela sera ainsi l'occasion de tester l'acquisition des connaissances à plus long terme!

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

31 décembre 2018

Programme des khôlles (du 7 au 11 janvier)

Bonjour,

Au menu des khôlles de la rentrée: la géométrie dans l'espace.

En TD, nous avons abordé les applications du produit vectoriel pour la fabrication de familles orthogonales, de familles orthonormées. Nous avons vu comment déterminer des équations de droites et de plans définis par leurs directions, leur vecteur normal, une relation de parallélisme... Nous avons également appris comment calculer le projeté orthogonal d'un point sur un plan par deux méthodes: à partir d'une base orthonormée du plan ou bien par résolution de système linéaire traduisant l'intersection de la hauteur et du plan. Enfin, le produit mixte nous a permis de formuler un critère de coplanarité. À ce stade, nous n'avons pas encore abordé d'autres exemples de transformations géométriques de l'espace (réflexion par rapport à un plan, une droite).

Les étudiants ne maîtrisent pas encore très bien la notion de coordonnées et sa traduction vectorielle: un vecteur t a pour coordonnées x et y dans une base u, v,  ssi il s'écrit comme combinaison linéaire unique t= xu+yv. Ainsi, on pourra revenir sur ce point ainsi que sur sa traduction en terme d'équation paramétrique de plan. On pourra également explorer de manière extensive les applications de l'orthogonalité pour la détermination d'équation cartésienne de plan, de calcul de distance entre un point et un plan. Les questions de cours pourront porter sur les définitions et propriétés de produit vectoriel, du déterminant, sur les équations de plans, de droites, de sphères. On pourra également en profiter pour revenir sur les règles d'incidence (positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan) et leur caractérisation vectorielle (comment montrer que deux plans définis par des équations paramétriques ou cartésiennes sont parallèles?)

Bonnes vacances à toutes et à tous!

P. Fournié

 

13 décembre 2018

Programme des khôlles (du 17 au 21 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons continué d'explorer les équations différentielles. Nous avons vu les fonctions à valeurs complexes, leurs dérivées et la formule de dérivation d'exp(u) avec u à valeurs complexes. Cela nous a permis de justifier le passage aux fonctions complexes pour la résolution d'équations linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants et également de déterminer des solutions lorsque le second membre est sous la forme exp(ax)cos(bx) ou exp(ax)sin(bx).

En fin de semaine, nous avons abordé la géométrie dans l'espace, et les règles d'incidence que j'ai formulées dans un cadre non vectoriel.

Les étudiants pourront donc être interrogés de manière extensive sur les équations différentielles du premier ordre à coefficient variable ou du second ordre à coefficients constants. Quelques questions de cours portant sur les règles d'incidence pourront également être posées (positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans, caractérisation du parallélisme d'une droite et d'un plan, de deux plans) hors du cadre vectoriel. Pour le moment nous n'avons pas encore traité beaucoup d'exemples sur la géométrie dans l'espace.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

06 décembre 2018

Programme des khôlles (du 10 au 14 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons étudié les équations différentielles linéaires:

  • propriétés des primitives, calcul de primitives de fonctions usuelles, calcul de primitives lorsqu'il est possible d'identifier une formule de dérivation composée;
  • du premier ordre à coefficient variable (y'-ay=b, avec a et b des fonctions): structure des solutions, résolution de l'équation homogène, recherche de solutions à l'aide de la méthode de la constante variable, mise en oeuvre du principe de superposition;
  • du second ordre à coefficients constants: résolution de l'équation homogène à partir de l'équation caractéristique, recherche de solutions particulières lorsque le second membre est une exponentielle, un polynôme, un produit d'une exponentielle et d'un polynôme;
  • utilisation des fonctions à valeurs complexes: définition de la dérivation d'une fonction à valeurs complexes, dérivation d'une fonction exp(f(t)) avec f à valeurs complexes; exploitation de ces résultats pour le recherche de solutions particulières lorsque le second membre est de la forme P(x)cos(ax) avec P un polynôme.

En travaux dirigés, nous avons essentiellement cherché et corrigé des exercices de résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre nécessitant d'utiliser la méthode de variation de la constante. En classe, nous avons également résolu quelques équations différentielles du second ordre à coefficients constants avec ou sans passage par les complexes. La mise en oeuvre de résolutions à l'aide d'intégration par parties ou de changement de variable sera abordée au second semestre.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

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