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Bonjour à toutes et tous,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une question de cours et un exercice d'application en algèbre linéaire. S'il reste un peu de temps en fin de colle, une petit raisonnement par récurrence (sens de variation, majoration d'une suite, formule de somme ou tout autre sujet qui vous plairait).

Nous avons abordé les notions suivantes en algèbre:

• espaces vectoriels et les exemples à connaître: R, C, R^n, C^n, suites, fonctions;
• sous-espaces vectoriels, caractérisation par la stabilité par combinaisons linéaires, intersection, somme et somme directe;
• familles libres, génératrices, bases, espaces engendrés.

Pour le moment, nous n'avons pas étudié les matrices, ni les polynômes, ni les notions liées à la dimension. Les exemples doivent donc uniquement concerner R^n, C, les suites ou les fonctions. On privilégiera R^2 ou R^3 dans la mesure où l'on peut s'appuyer sur des dessins et sur la géométrie.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour à toutes et tous,

Voici le programme des colles de la semaine prochaine:

• Question de cours: les vecteurs de R^n. Définition de famille libre, espace engendré, famille génératrice, base de R^n, rang d'une famille, d'une matrice.
• Exercice sur les systèmes linéaires et les vecteurs de R^n. On valorisera dans le cas n=2 ou n=3 les approches multiples d'un problème donné. Par exemple, prouver qu'un vecteur est combinaison linéaire de deux autres vecteurs de R^3 par une résolution de système ET un calcul de produit mixte. On pourra utiliser la notation matricielle pour résoudre les systèmes proposés.

Attention, nous n'avons pas encore abordé le calcul matriciel. À ce stade, c'est juste une notation simplifiée de système.

Ce chapitre sur R^n est l'occasion d'introduire en douceur l'algèbre linéaire.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la rentrée: calcul d'intégrales et barycentres.

La question de cours consistera en une restitution de formule de dérivation ou de primitive puis un calcul d'intégrale. Le cours sur les intégrales du premier semestre est limité au strict minimum: formule à partir des primitives, interprétation graphique, positivité, linéarité et c'est à peu près tout. En revanche nous avons travaillé le calcul de primitives à travers de nombreux exemples nécessitant de linéariser une expression trigonométrique ou de forcer l'apparition d'une formule de dérivation composée. 

L'exercice portera sur la géométrie du plan et plus particulièrement les barycentres. Concernant les barycentres, on se limitera à des systèmes de deux ou trois points pondérés. Voici dans le détail les attentes:

• définition vectorielle du barycentre de deux ou trois points, caractérisation à l'aide d'un tiers point;
• coordonnées du barycentre;
• barycentre et alignement;
• tirer profit de la relation de Chasles pour proposer des constructions de barycentres (l'associativité n'est pas au programme)

Je profite de ce post pour vous souhaiter à toutes et tous une excellente année 2026.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une résolution d'équation différentielle puis un exercice de géométrie du plan. Dans le détail, pour les équations différentielles:

• recherche de primitives;
• résolution d'équations différentielles du premier ou du second ordre à coefficients constants;
• structure des solutions (toutes les solutions sont égales à une solution homogène près);
• recherche d'une solution particulière d'une certaine forme par identification, le second membre étant de l'une des familles au programme: trigo, exponentielle, polynôme ou produits de ces fonctions là.

Concernant la géométrie, on reprend le programme déjà couvert: familles de vecteurs, colinéarité, orthogonalité, produit scalaire, déterminant, équations de droites et de cercles, intersection projection orthogonale. 

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une question de cours sur la géométrie de l'espace puis de nouveau un exercice sur les études de fonctions. Concernant la géométrie, voici ce qui a été vu:

• familles de vecteurs, coplanarité, bases, coordonnées;
• équations paramétriques de droites et de plans;
• produit scalaire et applications: projeté orthogonal, équation cartésienne de plan;
• produit vectoriel, produit mixte et applications;
• positions relatives;
• équation de sphère.

En exercice: une étude de fonction ou bien une résolution d'équation plus ou moins sophistiquée selon l'agilité de l'étudiant. Je rappelle les fonctions usuelles vues précédemment:

• polynomiales, inverse, racine;
• trigonométriques et trigonométriques réciproques;
• exponentielle et logarithme, y compris les résultats sur les croissances comparées;
• exponentielle base a: a -> a^x et sa réciproque;
• partie entière.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié