TSI1 › Programme des DSTs
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28 mai 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 28 mai 2025, 21:40
Bonjour,
Voici le programme de devoir le plus simple à écrire!!
Au menu du concours blanc, tout ce que vous avez fait en maths depuis le début de votre vie!
Pour les démonstrations exigibles, voir le post en rapport.
Bonnes révisions.
P. Fournié
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 28 mai 2025, 21:06
En algèbre linéaire:
- P est la matrice de passage de B vers C si et seulement pour tout x de E de coordonnées X dans C, les coordonnées de x dans B sont PX.
- l'image par un morphisme u de l'espace engendré par une famille finie F est l'espace engendré par les images des éléments de F.
Sur les développements limités:
- Une fonction est dérivable en a si et seulement si elle admet un DL1 en a.
- Prouver la formule du développement limité de 1/(1-x) et en déduire le développement limité de ln(1-x).
Sur l'intégration:
- l'inégalité triangulaire.
- la formule de Taylor avec reste intégral.
08 mai 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 08 mai 2025, 16:31
Bonjour,
Au menu de ce prochain devoir sur table:
- algèbre linéaire: espace vectoriel, sous-espace vectoriel, somme de sous-espaces, intersection de sous-espaces, applications linéaires, propriétés des applications linéaires en lien avec leur image, leur noyau, dimension finie, familles libres, génératrices, bases, sous-espaces en dimension finies, notion de supplémentaire et de somme directe, théorème de la base incomplète et applications, rang d'un morphisme;
- polynômes: décomposition sur R, sur C, division euclidienne, dérivation, formule de Taylor, raisonnement sur les degrés, sur les racines et leurs multiplicités;
- matrices: opérations élémentaires, puissances, polynômes de matrices, formulation matricielle des systèmes, des propriétés de familles de vecteurs, inversion de matrices, rang de matrices, image et noyau, application canoniquement associée à une matrice;
- systèmes linéaires: revoir les notions en lien avec les matrices: rang et pivot;
- complexes: revoir les notions en lien avec les polynômes (factorisation de polynômes du second degré, racines n-ièmes de l'unité) et la correspondance entre les complexes et la géométrie;
- géométrie: revoir les notions en lien avec l'algèbre linéaire, équations cartésiennes et paramétriques de plans, de droite, produit mixte et applications, produit vectoriel et applications, orthogonalité et applications;
- sommes: les formules usuelles (binôme, somme de suites géométriques...) et la manipulation de sommes télescopiques;
- dérivation: théorème de Rolle, accroissements finis et applications, dérivées n-ièmes, classes de fonctions, formule de Liebnitz;
- continuité: propriétés des fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires, et ses corollaires;
- suites: calcul de limites et théorèmes associés, suites définies par une récurrence d'ordre un, comparaisons de suites;
- probabilités: formules usuelles, conditionnement, Bayes, formule des probabilités totales, dénombrement de situations;
- variables aléatoires réelles: lois usuelles, formules du transfert, calcul d'espérance, de variance, formule de Koening-Huygens, formule de Bienaymé-Chebychev.
Bonnes révisions.
P. Fournié
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 08 mai 2025, 08:11
Bonjour,
Lors de ce devoir, il pourra vous être de demander de restituer les démonstrations suivantes:
- fonctions, dérivation:
- pour une fonction dérivable: si f admet un extremum local alors f' s'annule sur le lieu de cet extremum;
- théorème de Rolle
- pour une fonction dérivable: "f' est positive ou nulle sur un intervalle I si et seulement si f est croissante"
- probabilités:
- formule de Koening-Huygens;
- linéarité de l'espérance;
- algèbre linéaire:
- l'union de bases de supplémentaires de E est une base de E;
- l'image d'un espace engendré par une famille est l'espace engendré par l'image de la famille;
- une application est injective si et seulement si l'image d'une base est une famille libre.
25 mars 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 25 mars 2025, 13:33
Bonjour,
Au menu du prochain DST:
- un exercice de questions de cours;
- deux problèmes d'algèbre qui porteront sur tous les chapitres, y compris les matrices;
- un problème sur des suites, avec éventuellement des questions sur des études de fonctions, sur des sommes.
Bonnes révisions.
P. Fournié
17 mars 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 17 mars 2025, 09:10
- Suites:
- convergence monotone
- limite d'une somme de deux suites convergentes
- toute suite convergente est bornée
- Polynômes:
- formule de Liebnitz par récurrence
- alpha est racine de P si et seulement si (X-alpha) divise P
- Matrices:
- l'application canoniquement associée à une matrice A est linéaire
- Im(A) est un s.e.v.
- l'application associée à A est injective si et seulement si Ker(A) = {0}
12 février 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 12 février 2025, 15:00
Le concours blanc pourra porter sur tout ce que l'on a fait depuis le début de l'année.
Les exercices ne porteront pas sur les chapitres "limites de suites", et "polynômes". Les questions de cours pourront en revanche tout couvrir.
Pour les démonstrations exigibles, je vous laisse regarder ce post.
Enfin, j'ai mis à jour les notes de cours et le recueil d'exercices.
Bonnes révisions.
P. Fournié
10 février 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 10 février 2025, 14:22
Voici les démonstrations à savoir refaire:
- Probabilités:
- Limites de suites:
- toute suite convergente est bornée;
- si lim u_n=l et si lim v_n = l' alors lim (u_n+v_n) = l+l';
- le théorème des Gendarmes;
- le théorème de convergence monotone.
- Polynômes:
- unicité du quotient et du reste d'une division euclidienne.
- alpha racine de P si et seulement si (X-alpha) divise P
- pour P à coefficients réels, alpha racine de P si et seulement le conjugué de alpha est aussi racine de P.
P. Fournié
04 février 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 04 février 2025, 19:14
Au menu de ce devoir:
- Les systèmes linéaires et l'espace R^n: résoudre un système avec le pivot de Gauss, déterminer un espace engendré, caractériser si une famille est libre, génératrice à partir de son rang, faire éventuellement le lien avec la géométrie du plan et de l'espace.
- Algèbre linéaire: tout le premier chapitre, incluant les sous-espaces vectoriels, les sommes et sommes directes de s.e.v., les familles de vecteurs, les applications linéaires. Bien connaître en particulier les exemples vus dans R^2, R^3, avec les fonctions, les suites. Également, savoir formuler un problème avec un système ou exploiter le rang d'une matrice pour déterminer si une famille est libre, génératrice.
- Le probabilités: définir un univers équiprobable et dénombrer des situations, formules usuelles de probabilité de l'union, du contraire. Probabilités conditionnelles: formules de Bayes, des probabilités totales, indépendance.
- Les équations différentielles.
- Les complexes, les applications en trigonométrie, la correspondance entre C et le plan.
Le programme du concours blanc sera assez proche de celui de ce devoir.
Bonnes révisions.
P. Fournié
28 janvier 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 28 janvier 2025, 10:06
Voici les démonstrations qui pourront être restituées au concours blanc.
- Sur les complexes:
- montrer que arg(zz') = arg(z) + arg(z') pour z et z' non nuls;
- montrer que les vecteurs images de deux complexes non nuls z et z' sont orthogonaux si et seulement si z/z' est un imaginaire pur
- En algèbre linéaire:
- montrer que pour A et B deux s.e.v. A+B est un s.e.v.
- montrer que A et B sont supplémentaires dans E si et seulement tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme une somme d'un élément de A et d'un élément de B (sens direct uniquement).
- montrer que l'espace engendré par une famille de vecteurs est un s.e.v.
- montrer qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit à 0.
- Sommes:
- binôme de Newton par récurrence.
- factorisation de a^n-b^n.