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23 mai 2019

Programme des khôlles (du 27 au 31 mai)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons commencé le cours sur l'intégration. On a ainsi défini l'intégrale d'une fonction continue sur un segment comme la limite de la somme de Riemann des rectangles à gauche. Puis nous avons exploré les premières propriétés de l'intégrale: linéarité, positivité, égalité et inégalité de la moyenne, inégalité triangulaire avant de terminer la semaine par l'énoncé du magnifique théorème fondamental de l'analyse ainsi que de deux de ces corollaires: existence d'une primitive pour une fonction continue, calcul pratique d'intégrale à l'aide des primitives.

Les étudiants pourront donc être interrogés sur l'ensemble de ces notions. On pourra en profiter pour revenir sur les formules de somme d'entiers et somme de carrés d'entiers pour déterminer des sommes de Riemann de fonctions affines et du second degré. On pourra également revenir sur les notions de primitives et sur les formules usuelles à connaître, dans le cadre de calculs pratiques d'intégrales. À ce stade cependant, pas de changement de variable, ni d'intégration par parties.

En outre, en TD, nous avons continué de calculer des développements limités et nous avons manipulé de manière plus approfondie les notations de landau. Les étudiants pourront donc être de nouveau interrogés sur ces techniques.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

17 mai 2019

Programme du prochain DST

Bonjour,

Ce devoir sur table portera essentiellement sur:

  • Les polynômes et les matrices. N'oubliez pas de réviser le cours sur les systèmes et la géométrie car le chapitre sur les matrices s'appuie sur ces deux chapitres. Revoyez également les techniques liées à la résolution d'équations sur des polynômes complexes, en particulier les équations X^n=1.
  • Les développements limités, le début du cours sur l'intégration (jusqu'au théorème fondamental de l'analyse), et les études de fonctions. Je me réserve le droit d'introduire des suites dans ces exercices d'études de fonctions.

Et bien sûr, il y aura certainement des sommes et des produits donc révisez bien l'addition et la multiplication ;)

Bon courage.

P. Fournié

Script Python pour le calcul de sommes de riemann (RK)

def riemann(f,a,b,n):
    s=0 # s contient la somme des aires des rectangles
    for i in range(n):
        r=((b-a)/n)*f(a+(i/n)*(b-a)) # r contient l'aire d'un rectangle
        s=s+r
    return s

def f(x):
    return (1-x**2)**0.5 # c'est la fonction arc de cercle


print(2*riemann(f,-1,1,100)) # affiche l'approximation de pi pour 100 rectangles

 

16 mai 2019

Programme des khôlles (du 20 au 24 mai)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons achevé le cours sur les matrices par l'étude des matrices carrées: inversibilité en lien avec la résolution de systèmes, matrices triangulaires supérieures ou bien inférieures (stabilité par addition et multiplication, critères d'inversibilité). Enfin, nous avons abordé l'image et de noyau d'une matrice, ainsi que l'application linéaire canoniquement associée à une matrice. Nous en avons profité pour établir toute une liste de critères équivalents concernant l'injectivité de cette application, ainsi que d'une liste de critères équivalents concernant la surjectivité de cette application.

En pratique, les étudiants doivent être en mesure

  • de s'appuyer sur les notions de rang ou de déterminant (en 2D et en 3D) pour savoir si une matrice est inversible;
  • d'inverser une matrice A en résolvant AX=Y;
  • de décrire géométriquement le noyau et l'image d'une matrice (en 2D et en 3D);
  • de déterminer la matrice associée à une application linéaire donnée de K^p vers K^n;
  • de calculer des inverses de matrices à partir d'équations polynômiales simples.

Bonne semaine à toutes et à tous,

P. Fournié

Mises à jour du cours et des exercices

J'ai mis à jour le recueil d'exercices ainsi que les notes de cours. Pour ceux qui aiment le calcul mental, j'ai également ajouté à cette archive les derniers calculs mentaux effectués.

Bonne lecture et, si vous décelez des erreurs, merci de me les signaler.

P. Fournié

14 mai 2019

Correction du dernier contrôle et du devoir maison

Bonjour,

J'attendais que vous rendiez le devoir maison pour mettre en ligne le corrigé du dernier DST ainsi que le corrigé du dernier devoir maison.

09 mai 2019

Programme des khôlles (du 13 au 17 mai)

Bonjour,

La semaine précédent les vacances, nous avons commencé le chapitre sur les matrices: définition, opérations, propriétés des opérations, formulation matricielle des systèmes, formulation matricielle des propriétés des familles de vecteurs de R^n (famille libre, génératrice), révisions sur les systèmes et sur la notion de rang. Attention, l'inversion de matrice ainsi que les notions de noyau, d'image et d'application linéaire n'ont pas encore été traitées!

Au programme des khôlles:

  • Tout ce qui concerne les polynômes: division, divisibilité, racines et multiplicité, dérivation, formule de Taylor.
  • Quelques notions sur les matrices: multiplication et somme de matrices, ainsi que les propriétés de ces deux opérations. On pourra en profiter pour revoir les résolutions de systèmes, et les notions de familles libres, familles génératrices de vecteurs de R^n.
  • Quelques calculs pas trop techniques de développements limités (produit, somme, quotient) à partir des fonctions usuelles: 1/(1-x), 1/(1+x), cos, sin, exp, ln(1+x), ln(1-x). Attention, je n'ai pas encore traité les formules portant sur (1+x)^alpha dans le cas général.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

03 mai 2019

Programme des khôlles (du 6 au 10 mai)

Bonjour,

La semaine prochaine le programme des khôlles portera sur les polynômes à coefficients réels ou complexes: opérations élémentaires, composition de polynômes, degré, division euclidienne, racines, décomposition en facteurs irréductibles, dérivation et formule de Taylor.

Les étudiants et étudiantes pourront être interrogés sur les définitions de racines, multiplicité, polynôme dérivé, techniques de décomposition en éléments irréductibles. On pourra en profiter pour revoir l'identifications des coefficients nécessitant des résolutions de systèmes. Attention, pour le moment, peu d'exemples ont été abordés en lien avec la dérivation et la formule de Taylor.

Il figure également au programme des khôlles la restitution des formules de développements limités en 0 des fonctions suivantes: exponentielle, cosinus, sinus, 1/(1-x), 1/(1+x), ln(1-x), ln(1+x). Aucun exercice ne portera sur ces formules, il s'agit simplement de restitution par coeur.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

24 avril 2019

Mise à jour d'Anki

J'ai ajouté des formules sur les probabilités, les polynômes et quelques développements limités.

À retrouver ici.

P. Fournié

Développements limités

Bonjour,

Vous trouverez dans les notes de cours un chapitre consacré aux développements limités. Il contient une version améliorée du cours donné en TD.

J'ai également réalisé un tutoriel que je vous invite à visionner. Il contient cinq exercices. Mettez le tutoriel en pause, cherchez l'exercice, avant de regarder la correction!

 

Bon courage.

P. Fournié

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