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Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine, les suites définies par une récurrence d'ordre un, u_{n+1} = f(u_n), en rapport avec la continuité, ainsi que les comparaisons de suites:

• construction graphique des termes successifs;
• sens de variation en fonction des variations de f;
• application du théorème de convergence monotone;
• éventuellement une question de Python pour voir si l'étudiant sait correctement utiliser une boucle pour calculer les termes successifs d'une suite;
• comparaisons de suites, notations de Landau.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine sera entièrement consacrée aux matrices et au premier chapitre d'algèbre linéaire. Je rappelle qu'à ce stade, nous n'avons pas encore étudié formellement les espaces vectoriels de dimension finie.

Au menu:

• familles libres et génératrices: utiliser un système ou des notions géométriques pour caractériser qu'une famille est libre ou génératrice;
• sous-espaces vectoriels: caractérisation, somme, somme directe, supplémentaires;
• morphismes: caractérisation, calcul du noyau, de l'image;
• opérations sur les matrices;
• écriture matricielle d'un système;
• écriture matricielle d'une combinaison linéaire d'une famille de vecteurs de K^n;
• application canoniquement associée à une matrice et matrice canoniquement associée à un morphisme de K^p vers K^n: calcul du noyau, de l'image, caractérisation de l'injectivité, de la surjectivité;
• calcul du rang d'une matrice et interprétations diverses: caractériser si les colonnes sont libres, génératrices, caractériser les solutions d'un système, caractériser l'injectivité, la surjectivité de l'application canoniquement associée.

Si l'étudiant est à l'aise, on pourra aborder les polynômes de matrices.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une question de cours sur la continuité, un petit calcul de limite et un exercice sur les polynômes.

Pour la question de cours:

• définition formelle de limite;
• théorèmes d'encadrement, de minoration, de convergence monotone;
• définition de la continuité;
• théorème des valeurs intermédiaires et corolaires sur les images d'intervalles, de segments.

Pour l'exercice sur les polynômes, reprendre le contenu de la semaine précédente. On pourra aussi réinvestir le chapitre introductif d'algèbre (familles, sous-espaces, morphismes).

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Bonjour,

J'ai mis à jour le recueil d'exercices ainsi que les notes de cours.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront sur les limites de suites et les polynômes avec une question de cours sur les polynômes et un exercice sur les limites de suites.

Pour les polynômes:

• opérations sur les polynômes: opérations usuelles, composition, division euclidienne, dérivation;
• raisonner sur le degré d'un polynôme;
• décomposer un polynôme sur R et C;
• formules de Taylor et Liebnitz;
• racines, multiplicités, en lien avec la dérivation et la décomposition.

Pour les suites, programme identique à la semaine dernière. Je réserve pour plus tard l'étude systématique des suites définies par une relation de récurrence d'ordre un ainsi que les comparaisons de suites.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié