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Bonjour,

La semaine dernière nous avons achevé le cours de géométrie dans l'espace. On pourra donc interroger les étudiants sur l'ensemble du chapitre de géométrie dans l'espace:

• équations paramétriques de droites et de plans: déterminer des positions relatives, calculer des éventuelles intersections;
• critères de coplanarité et de colinéarité;
• produit vectoriel et applications: fabrication de b.o.n.d;
• produit scalaire et applications: projection orthogonale; plan défini par un point et un vecteur normal;
• équations cartésiennes de plans, de sphères et systèmes d'équations pour les droites: savoir passer d'un type de représentation à l'autre, déterminer des positions de relatives, des éventuelles intersections;
• critères permettant de déterminer les positions relatives plan-plan, plan-droite, droite-droite;
• produit mixte et applications: critère de coplanarité, déterminer si des vecteurs forment une base.

Attention, les formules de distance point-plan et point-droite ne sont plus au programme de TSI1!

En fin de colle, on pourra interroger les étudiants sur des applications plus techniques: plan tangent à une sphère, intersection sphère-plan, plan médiateur...

Bonnes semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: les nombres complexes et les équations différentielles du premier ou du second ordre à coefficients constants. Voilà le détail:

• connaître et exploiter les 3 formes d'un nombre complexe;
• connaître les propriétés du conjugué, des parties réelles et imaginaires, du module, de l'argument;
• linéariser et développer une expression trigonométrique en exploitant les formules de Moivre, d'Euler et du binôme de Newton;
• factoriser un polynôme du second degré à coefficients complexes:
• résoudre une équation z^n = alpha avec alpha complexe, en particulier dans le cas alpha=1;
• calculer une primitive, éventuellement en exploitant les formules de dérivation composée.
• résoudre une équation différentielle linéaire du premier ou du second ordre à coefficients constants;

Pour le moment la correspondance entre C et le plan n'est pas au programme, pas plus que la plongée dans les complexes pour résoudre une équation différentielle.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront de nouveau sur les études de fonctions, ainsi que sur le raisonnement par récurrence. Nous avons étudié en classe les fonctions usuelles suivantes: trigonométriques réciproques, exponentielle et logarithme, fonction x -> a^x avec a>0, fonction partie entière. Les calculs de limites avec des croissances comparées, des taux d'accroissement ou des changements de variables sont également exigibles. Attention, le théorème des valeurs intermédiaires ainsi que la continuité n'ont pas encore été étudiés (programme du second semestre).

En question de cours, on pourra demander aux étudiants de démontrer l'un des résultats suivants par récurrence:

• formule explicite d'une suite arithmétique de raison r;
• formule explicite d'une suite géométrique de raison q;
• inégalité de Bernoulli
• formule des nombres triangulaires 1+2+...+n = n(n+1)/2

On pourra proposer en exercice une étude de fonction, des résolutions d'inéquations $f(x)>g(x)$, des calculs de limites.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la rentrée des études de fonctions. En cours nous avons vu:

• les définitions formelles de sens de variation, majorant, fonction bornée, maximum;
• les limites, et la dérivation, sans aucun formalisme;
• les opérations sur les limites et les théorèmes d'encadrement;
• les invariants (parité et périodicité);
• les modifications de fonctions: translation, dilatation sur les x, dilatation sur les y;
• la composition de fonctions: dérivation, sens de variation, limites;
• les fonctions réciproques.

En question de cours, on pourra interroger les étudiants sur les formules de trigonométrie, les définitions formelles, et sur la dérivation (j'ai beaucoup insisté sur l'interprétation physique et géométrique de la dérivation (calcul de vitesse instantanée, tangente). On pourra profiter de cette question de cours pour revoir par exemple la construction des contraires logiques: définition de f n'est pas croissante, f n 'est pas majorée, f n'est pas constante...

En exercice, on pourra proposer une étude de fonctions en guidant bien l'étudiant. L'idéal serait que l'étudiant tire profit de la composition, des invariants, pour se faciliter la tâche. À l'heure actuelle, nous n'avons revu que les fonctions suivantes: cosinus, sinus, tangente, racine, valeur absolue et polynomiales.

Bonnes vacances à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons achevé le cours de géométrie du plan.

Voici les notions et techniques abordées dans ce chapitre:

• la définition de famille libre, liée de deux vecteurs, ainsi que la colinéarité (critère de colinéarité);
• coordonnées d'un vecteur dans une base ou d'un point dans un repère;
• des rappels de trigonométrie, ainsi que sur les formules de distance et de coordonnées du milieu;
• les coordonnées polaires et cartésiennes;
• définitions et propriétés du produit scalaire;
• définitions et propriétés du déterminant;
• les droites du plan: définition par colinéarité ou par orthogonalité, équations paramétriques et cartésiennes;
• équations de cercle (paramétriques et cartésiennes)

On pourra proposer des exercices de géométrie: petits changements de repères en commençant par le cas où seule l'origine est déplacée (c'est d'ailleurs officiellement le seul cas au programme du premier semestre), déterminer ou interpréter des équations de droites dans des contextes diverses et variés (équations de droites remarquables d'un triangle, équations de droites parallèles à une droite et passant par un point donnée, etc.), calculer des coordonnées polaires, déterminer des angles entre deux vecteurs en exploitant le produit scalaire et le déterminant, calculer l'aire d'un triangle, interpréter des équations de cercle.

Concernant les questions de cours, on se concentrera là encore sur la géométrie.

En fin de colle, on pourra revenir sur les ensembles car j'ai remarqué que les étudiants ont des difficultés avec les techniques de démonstrations rudimentaires (montrer une implication ou une équivalence, montrer une inclusion ou une égalité d'ensembles). J'ai souvent constaté des confusions entre les prédicats et les ensembles ainsi qu'une mauvaise utilisation des symboles associés.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié