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Bonjour,

Au menu des colles de cette semaine:

1. une question de cours d'algèbre linéaire:
   • être capable de montrer qu'un ensemble n'est pas un K-e.v. sur des cas simples: la définition formelle et complète d'un e.v. ne sera pas exigée;
   • sous-espaces vectoriels: critère de stabilité par combinaison linéaire, somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires;
   • familles de vecteurs: espace engendré, famille libre, génératrice, base.

On demandera par exemple aux étudiants de montrer que tel ou tel ensemble est sous-espace vectoriel de R^2 ou R^3 en le guidant bien, ou bien de décrire la somme de deux s.e.v., ou de montrer que deux s.e.v. sont supplémentaires par le critère d'existence et d'unicité de la décomposition d'un vecteur comme somme de vecteurs de ces deux sous-espaces. Ce sera aussi l'occasion de réviser les notions vues dans l'espace R^n.

2. un exercice sur la borne supérieure, les suites et la fonction partie entière:
   • déterminer la borne supérieure d'un ensemble.
   • comprendre la définition d'une suite par une récurrence d'ordre un ou deux.
   • déterminer le sens de variation d'une suite définie par récurrence d'ordre un ou explicitement.
   • déterminer si une suite est majorée, minorée, bornée.
   • connaître la définition de partie entière, son sens de variation, ses limites et raisonner sur les inégalités en lien avec cette fonction.

Ce sera surtout l'occasion de remobiliser les notations et les raisonnements sur les ensembles, les études de fonctions, les encadrements et le raisonnement par récurrence. Pour le moment, nous n'avons pas vu les limites, nous n'avons pas non plus abordé les techniques formelles d'études ou de tracés de suites définies par une recurrence u_{n+1} = f(u_n). Nous ferons cela plus tard.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

On interrogera la semaine prochaine les étudiants sur les systèmes linéaires:

• mettre en oeuvre l'algorithme du pivot de Gauss;
• déterminer le rang d'un système, d'une matrice;
• exprimer les solutions d'un système, et dans le cas R^2 ou R^3, interpréter ces solutions comme des droites, des plans, des points.

La question de cours portera sur les familles de l'espace R^n: définitions formelles d'une famille libre, liée, de l'espace engendré par une famille.

On pourra proposer un second exercice connexe nécessitant de poser un système: intersection de lieux géométriques, recherche de solutions particulières d'équations différentielles, factorisation de polynômes, décomposition de fractions (guider l'étudiant) pour déterminer une primitive...

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de cette dernière semaine avant les congés de fin d'année: démonstration par récurrence, primitives, trigonométrie et nombres complexes. Concernant la récurrence, les étudiants doivent savoir refaire les démonstrations suivantes:

• formule explicite d'une suite arithmétique, géométrique;
• binôme de Newton;
• formule des nombres triangulaires.

Concernant les complexes, on pourra reprendre le programme de la semaine dernière auquel on ajoutera linéarisation et développement trigonométrique. Pour la trigonométrie, on pourra proposer des résolutions d'équations et d'inéquations nécessitant éventuellement d'exploiter les techniques de factorisation.

Enfin, au sujet des primitives, les étudiants doivent connaitre les formules usuelles de primitives et les appliquer pour calculer une intégrale.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une question de cours suivi d'un exercice d'application directe sur la géométrie de l'espace puis un exercice portant sur le dénombrement ou les sommes.

Voilà le détail pour la géométrie:

• plan ou droite définis par leurs vecteurs directeurs et un point, équations paramétriques;
• définition formelle de la coplanarité, de la colinéarité;
• définition d'une famille libre, liée, d'une base, d'un repère des coordonnées d'un point, d'un vecteur;
• produit scalaire: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, plan défini par un vecteur normal et un point;
• produit vectoriel: définition, propriétés, formule avec les coordonnées, interprétation en relation avec le déterminant 2D, l'aire d'un parallélogramme;
• produit mixte (ou déterminant): définition, propriétés, interprétation comme un volume;
• système d'équations cartésiennes de droites;

Et pour les sommes et dénombrement.

• binôme de Newton;
• somme des q^k, suites géométriques;
• nombres triangulaires, suites arithmétiques;
• sommes télescopiques;
• nombre d'applications, d'injections, coefficient binomiaux, situations variées de dénombrement.

Attention, la récurrence n'est pas au programme de cette semaine. Je n'ai pas non plus abordé formellement les changements d'indice dans les sommes. Pour le moment, on acceptera que les étudiants utilisent les ... pour simplifier des sommes.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié