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Bonjour,

La semaine dernière, nous avons abordé le premier chapitre d'algèbre linéaire. Nous avons défini un K-ev, puis traité les exemples suivants: les suites, les fonctions, R^n, C. Dans un second temps, nous avons vu les sous-espaces vectoriels: intersection, somme, somme directe, supplémentaires et nous avons également vu les familles de vecteurs: espace engendré, familles libres et liées. Nous avons exploré de nombreux exemples et contre exemples tirés des chapitres précédents: lieux géométriques, solutions de systèmes, solutions d'équations différentielles. Cela a été l'occasion de revoir des notions de géo 2D et 3D, ainsi que des techniques de résolution de systèmes.

En TD, nous avons essentiellement traité des exercices en lien avec la borne supérieure, la partie entière et les suites (sans les limites).

Au menu de cette colle:

• en guise d'introduction: des exemples et contre exemples d'espace vectoriel, de sous-espace vectoriels (maîtriser le critère de stabilité par combinaison linéaire);
• un ou plusieurs exercices portant sur la borne supérieure, la partie entière, les suites qui seront l'occasion de remobiliser les techniques d'étude de fonctions.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Nous avons la semaine dernière terminé le cours sur les systèmes linéaires et les familles de vecteurs de R^n.

La semaine prochaine, les étudiants pourront être interrogés sur ce chapitre et on pourra en profiter pour retravailler sur la géométrie, les équations différentielles. On pourra demander aux étudiants:

• de donner les définitions formelles de famille libre, d'espace engendré, de famille génératrice. Attention, je n'ai pas encore parlé de base de R^n.
• de résoudre un système et éventuellement de donner les solutions sous forme de droites, plans en précisant les vecteurs de direction;
• de déterminer le rang d'un système, d'une matrice grâce au pivot de Gauss;
• d'exploiter le rang pour déterminer si une famille de vecteurs est libre, génératrice;
• dans les cas R^2 et R^3: de réinvestir les notions de géométrie pour valider les résultats obtenus sur les familles de vecteurs;
• de formuler un problème sous forme de système: on pourra en particulier revenir sur les équations différentielles, les identifications de polynômes (factorisation d'un polynôme à l'aide de racines évidentes);

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine dernière nous avons achevé le cours de géométrie dans l'espace. On pourra donc interroger les étudiants sur l'ensemble du chapitre de géométrie dans l'espace:

• équations paramétriques de droites et de plans: déterminer des positions relatives, calculer des éventuelles intersections;
• critères de coplanarité et de colinéarité;
• produit vectoriel et applications: fabrication de b.o.n.d;
• produit scalaire et applications: projection orthogonale; plan défini par un point et un vecteur normal;
• équations cartésiennes de plans, de sphères et systèmes d'équations pour les droites: savoir passer d'un type de représentation à l'autre, déterminer des positions de relatives, des éventuelles intersections;
• critères permettant de déterminer les positions relatives plan-plan, plan-droite, droite-droite;
• produit mixte et applications: critère de coplanarité, déterminer si des vecteurs forment une base.

Attention, les formules de distance point-plan et point-droite ne sont plus au programme de TSI1!

En fin de colle, on pourra interroger les étudiants sur des applications plus techniques: plan tangent à une sphère, intersection sphère-plan, plan médiateur...

Bonnes semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: les nombres complexes et les équations différentielles du premier ou du second ordre à coefficients constants. Voilà le détail:

• connaître et exploiter les 3 formes d'un nombre complexe;
• connaître les propriétés du conjugué, des parties réelles et imaginaires, du module, de l'argument;
• linéariser et développer une expression trigonométrique en exploitant les formules de Moivre, d'Euler et du binôme de Newton;
• factoriser un polynôme du second degré à coefficients complexes:
• résoudre une équation z^n = alpha avec alpha complexe, en particulier dans le cas alpha=1;
• calculer une primitive, éventuellement en exploitant les formules de dérivation composée.
• résoudre une équation différentielle linéaire du premier ou du second ordre à coefficients constants;

Pour le moment la correspondance entre C et le plan n'est pas au programme, pas plus que la plongée dans les complexes pour résoudre une équation différentielle.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine, les colles porteront de nouveau sur les études de fonctions, ainsi que sur le raisonnement par récurrence. Nous avons étudié en classe les fonctions usuelles suivantes: trigonométriques réciproques, exponentielle et logarithme, fonction x -> a^x avec a>0, fonction partie entière. Les calculs de limites avec des croissances comparées, des taux d'accroissement ou des changements de variables sont également exigibles. Attention, le théorème des valeurs intermédiaires ainsi que la continuité n'ont pas encore été étudiés (programme du second semestre).

En question de cours, on pourra demander aux étudiants de démontrer l'un des résultats suivants par récurrence:

• formule explicite d'une suite arithmétique de raison r;
• formule explicite d'une suite géométrique de raison q;
• inégalité de Bernoulli
• formule des nombres triangulaires 1+2+...+n = n(n+1)/2

On pourra proposer en exercice une étude de fonction, des résolutions d'inéquations $f(x)>g(x)$, des calculs de limites.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié