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13 décembre 2018

Programme des khôlles (du 17 au 21 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons continué d'explorer les équations différentielles. Nous avons vu les fonctions à valeurs complexes, leurs dérivées et la formule de dérivation d'exp(u) avec u à valeurs complexes. Cela nous a permis de justifier le passage aux fonctions complexes pour la résolution d'équations linéaires homogènes du second ordre à coefficients constants et également de déterminer des solutions lorsque le second membre est sous la forme exp(ax)cos(bx) ou exp(ax)sin(bx).

En fin de semaine, nous avons abordé la géométrie dans l'espace, et les règles d'incidence que j'ai formulées dans un cadre non vectoriel.

Les étudiants pourront donc être interrogés de manière extensive sur les équations différentielles du premier ordre à coefficient variable ou du second ordre à coefficients constants. Quelques questions de cours portant sur les règles d'incidence pourront également être posées (positions relatives de deux droites, d'une droite et d'un plan, de deux plans, caractérisation du parallélisme d'une droite et d'un plan, de deux plans) hors du cadre vectoriel. Pour le moment nous n'avons pas encore traité beaucoup d'exemples sur la géométrie dans l'espace.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

11 décembre 2018

Mise à jour du formulaire

J'ai mis à jour le formulaire, j'y ai ajouté les primitives et quelques formules sur les complexes.

P. Fournié

06 décembre 2018

Programme des khôlles (du 10 au 14 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons étudié les équations différentielles linéaires:

  • propriétés des primitives, calcul de primitives de fonctions usuelles, calcul de primitives lorsqu'il est possible d'identifier une formule de dérivation composée;
  • du premier ordre à coefficient variable (y'-ay=b, avec a et b des fonctions): structure des solutions, résolution de l'équation homogène, recherche de solutions à l'aide de la méthode de la constante variable, mise en oeuvre du principe de superposition;
  • du second ordre à coefficients constants: résolution de l'équation homogène à partir de l'équation caractéristique, recherche de solutions particulières lorsque le second membre est une exponentielle, un polynôme, un produit d'une exponentielle et d'un polynôme;
  • utilisation des fonctions à valeurs complexes: définition de la dérivation d'une fonction à valeurs complexes, dérivation d'une fonction exp(f(t)) avec f à valeurs complexes; exploitation de ces résultats pour le recherche de solutions particulières lorsque le second membre est de la forme P(x)cos(ax) avec P un polynôme.

En travaux dirigés, nous avons essentiellement cherché et corrigé des exercices de résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre nécessitant d'utiliser la méthode de variation de la constante. En classe, nous avons également résolu quelques équations différentielles du second ordre à coefficients constants avec ou sans passage par les complexes. La mise en oeuvre de résolutions à l'aide d'intégration par parties ou de changement de variable sera abordée au second semestre.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

01 décembre 2018

Menu du prochain DST

Chers étudiants,

Le prochain DST durera quatre heures et portera sur tous les chapitres de l'année, à l'exception de la géométrie dans l'espace.

Il y aura un problème portant sur la résolution d'équations différentielles et l'analyse des solutions, un problème portant sur une ou plusieurs études de fonctions (un peu comme l'exercice 1 du dernier DM), un problème portant sur les complexes et la géométrie du plan et enfin un exercice de dénombrement et de sommes.

Pour aborder sereinement ce devoir, vous devez être capables de:

  • résoudre des inéquations, en particulier les inéquations nécessitant de dresser des tableaux de signes, de faire des disjonctions de cas, ou des inéquations trigonométriques (planche n°1 et 1bis);
  • maîtriser les notions de colinéarité, orthogonalité, le produit scalaire et les applications;
  • déterminer des équations de droites, des intersections de droites, définies de différentes manières;
  • déterminer des équations de cercles, des intersections de droites et de cercles;
  • connaître le vocabulaire des droites du triangle (déterminer des équations de médianes, de médiatrices, de hauteurs);
  • connaître les principales transformations géométriques, déterminer des images de points sur des cas particuliers, des images de droites, de cercles;
  • connaître le vocabulaire des fonctions et des applications (injectivité, sujectivité, bijectivité, sens de variation, majorant, fonction bornée, image directe, image réciproque);
  • étudier une fonction en exploitant les invariances (parité, imparité, périodicité), la composition, déterminer son sens de variation, ses limites;
  • connaître les fonctions usuelles (trigonométriques, exponentielle, logarithme, trigonométriques réciproques) ainsi que les limites remarquables associées;
  • déterminer l'amplitude et la phase d'une expression de la forme a cos(omega x) + b sin(omega x);
  • étudier une fonction pour résoudre une inéquation;
  • maîtriser les techniques de calcul sur les complexes (opérations usuelles, conjugué, module, argument);
  • déterminer et exploiter les différentes formes d'un nombre complexe;
  • relier un problème sur les nombres complexes à un problème de géométrie du plan;
  • utiliser les complexes pour linéariser ou développer des expressions trigonométriques;
  • connaître et exploiter les formules du binôme de Newton, de somme des termes d'une suite géométrique, de somme des termes d'une suite arithmétique;
  • savoir compter le nombre d'injections, de bijections, d'applications entre deux ensembles finis;
  • savoir compter le nombre de combinaisons, connaître les formules liées aux coefficients binomiaux (triangle de Pascal, nombre de parties d'un ensemble);

Bonnes révisions.

P. Fournié

30 novembre 2018

Corrigé du DM sur les fonctions

Voir l'énoncé et le corrigé.

Résoudre des équations différentielles avec XCas

Voilà la syntaxe pour résoudre y''+y'+y=cos(2x):

desolve(y''+y'+y=cos(2*x),y)

Attention, les solutions proposées par XCas n'ont pas toujours un format commode!

P. Fournié

Programme des khôlles (du 3 au 7 décembre)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons achevé le cours sur les complexes en explorant les liens entre complexes et géométrie du plan: critère de colinéarité, d'orthogonalité, calcul d'angles, de longueurs.

Nous avons également vu comment résoudre un problème sur les nombres complexes en le traduisant en termes géométriques (ex: trouver les nombres z tels que (z-i)/(z-2) est réel revient à déterminer l'équation de la droite qui passe par les points (0,1) et (2,0)).

D'autre part, nous avons expliqué comment linéariser ou développer des expressions trigonométriques en exploitant les identités (cos(x) = (e^(ix)+e^(-ix))/2...) et la formule de Moivre.

Enfin, nous avons rapidement défini U et U_n et revu comment résoudre des équations de la forme z^n=alpha.

Les étudiants pourront donc être interrogé sur l'ensemble du chapitre sur les complexes.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

 

 

25 novembre 2018

Sujet et corrigé du DST n°3

Voici le sujet et son corrigé.

22 novembre 2018

Programme des khôlles (du 26 au 30 novembre)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons commencé le cours sur les complexes. En particulier, nous avons revu les techniques simples de calcul: addition, multiplication, quotient, recherche de formes algébriques grâce au conjugué. Puis nous avons abordé la notion d'argument, de module, ainsi que les écritures exponentielles et trigonométriques (incl. la formule de Moivre). L'une des séance était consacrée aux propriétés de la fonction argument (qui transforme les produits en somme) et à ses applications pour le calcul des puissances de complexes et la résolution d'équations du type z^n = a. Nous avons également énoncé les résultats de factorisation dans C d'un polynôme du second degré à coefficients réels.

En travaux dirigés, nous avons résolu des exercices plus compliqués sur les études de fonctions et les inéquations. À ce titre, vous pouvez consulter la planche n°6 du recueil d'exercices ainsi que les corrections associées.

La semaine prochaine, les étudiants pourront donc être interrogés sur des études de fonctions ou sur le début du cours sur les complexes: calcul des trois formes d'un nombre complexe, calcul de module et d'argument d'un nombre complexe, polynômes du second degré à coefficients réels. Pour le moment, on n'interrogera pas les étudiants sur le plan complexe ni sur la résolution d'équations du second degré à coefficients complexes car ces notions ont été traitées cette semaine. Je n'ai également pas encore formellement introduit la notation U, ni U_n.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

20 novembre 2018

Sujet et comptes rendus du TP sur les listes

Vous trouverez le sujet du TP sur les listes.

Les comptes-rendus sont à déposer sur ce répertoire en ligne.

Bon courage.

P. Fournié

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