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18 juin 2019

Énoncé et corrigé du concours blanc

Bonjour,

Voici l'énoncé du dernier concours blanc, ainsi que son corrigé.

N'oubliez pas le DM! Et bonnes vacances!

P. Fournié

07 juin 2019

Programme du concours blanc

Bonjour,

Au menu de ce concours blanc:

  • toute l'algèbre, ainsi que la géométrie: espaces vectoriels, polynômes, matrices, systèmes linéaires, équations différentielles (techniquement c'est aussi de l'algèbre), géométrie 2D et 3D;
  • le dénombrement et les probabilités;
  • les développements limités, les accroissements finis, Rolle, et le chapitre sur l'intégration.

Je me réserve le droit de modifier (légèrement) ou de préciser ce programme d'ici mardi.

Bonnes révisions.

P. Fournié

05 juin 2019

Programme des khôlles (du 10 juin au 14 juin)

Bonjour,

Il n'y aura normalement plus de colles la semaine prochaine sauf pour les groupes qui doivent rattraper une interrogation orale.

Au menu de la semaine prochaine, pour tous ces chanceux, le début du cours sur l'algèbre linéaire: définition d'un espace vectoriel, définition et propriétés de sous-espaces vectoriels (intersection, somme, somme directe, espace supplémentaire), définition et propriétés des familles de vecteurs (famille libre, génératrice, base, espace engendré).

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Énoncé et corrigé du DST n°8

Voilà l'énoncé. Et son corrigé.

Bonne lecture.

P. Fournié

30 mai 2019

Programme des khôlles (du 3 juin au 7 juin)

Bonjour,

La semaine dernière nous avons achevé le cours sur l'intégration en explorant les techniques de calcul suivantes:

  • décomposition en éléments simples pour les fonctions rationnelles (3 exemples traités en cours);
  • intégration par parties;
  • changement de variable.

Enfin, nous avons vu les applications de l'intégration aux développements limités: intégration d'un développement limité d'ordre n, formule de Taylor avec reste intégral.

En parallèle, en TD, nous avons continué d'exploiter les résultats fondamentaux de ce chapitre: inégalité et égalité de la moyenne, relation de Chasles, positivité de l'intégrale, théorème fondamental de l'analyse. Nous avons également mis en oeuvre les techniques de calcul énoncées en cours: IPP, et changement de variable.

Les étudiants pourront ainsi être interrogés sur l'ensemble de ce chapitre, ainsi que sur les développements limités (comment retrouver le développement limité d'arctangente, d'arcsinus, par intégration).

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

23 mai 2019

Programme des khôlles (du 27 au 31 mai)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons commencé le cours sur l'intégration. On a ainsi défini l'intégrale d'une fonction continue sur un segment comme la limite de la somme de Riemann des rectangles à gauche. Puis nous avons exploré les premières propriétés de l'intégrale: linéarité, positivité, égalité et inégalité de la moyenne, inégalité triangulaire avant de terminer la semaine par l'énoncé du magnifique théorème fondamental de l'analyse ainsi que de deux de ces corollaires: existence d'une primitive pour une fonction continue, calcul pratique d'intégrale à l'aide des primitives.

Les étudiants pourront donc être interrogés sur l'ensemble de ces notions. On pourra en profiter pour revenir sur les formules de somme d'entiers et somme de carrés d'entiers pour déterminer des sommes de Riemann de fonctions affines et du second degré. On pourra également revenir sur les notions de primitives et sur les formules usuelles à connaître, dans le cadre de calculs pratiques d'intégrales. À ce stade cependant, pas de changement de variable, ni d'intégration par parties.

En outre, en TD, nous avons continué de calculer des développements limités et nous avons manipulé de manière plus approfondie les notations de landau. Les étudiants pourront donc être de nouveau interrogés sur ces techniques.

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

17 mai 2019

Programme du prochain DST

Bonjour,

Ce devoir sur table portera essentiellement sur:

  • Les polynômes et les matrices. N'oubliez pas de réviser le cours sur les systèmes et la géométrie car le chapitre sur les matrices s'appuie sur ces deux chapitres. Revoyez également les techniques liées à la résolution d'équations sur des polynômes complexes, en particulier les équations X^n=1.
  • Les développements limités, le début du cours sur l'intégration (jusqu'au théorème fondamental de l'analyse), et les études de fonctions. Je me réserve le droit d'introduire des suites dans ces exercices d'études de fonctions.

Et bien sûr, il y aura certainement des sommes et des produits donc révisez bien l'addition et la multiplication ;)

Bon courage.

P. Fournié

Script Python pour le calcul de sommes de riemann (RK)

def riemann(f,a,b,n):
    s=0 # s contient la somme des aires des rectangles
    for i in range(n):
        r=((b-a)/n)*f(a+(i/n)*(b-a)) # r contient l'aire d'un rectangle
        s=s+r
    return s

def f(x):
    return (1-x**2)**0.5 # c'est la fonction arc de cercle


print(2*riemann(f,-1,1,100)) # affiche l'approximation de pi pour 100 rectangles

 

16 mai 2019

Programme des khôlles (du 20 au 24 mai)

Bonjour,

La semaine dernière, nous avons achevé le cours sur les matrices par l'étude des matrices carrées: inversibilité en lien avec la résolution de systèmes, matrices triangulaires supérieures ou bien inférieures (stabilité par addition et multiplication, critères d'inversibilité). Enfin, nous avons abordé l'image et de noyau d'une matrice, ainsi que l'application linéaire canoniquement associée à une matrice. Nous en avons profité pour établir toute une liste de critères équivalents concernant l'injectivité de cette application, ainsi que d'une liste de critères équivalents concernant la surjectivité de cette application.

En pratique, les étudiants doivent être en mesure

  • de s'appuyer sur les notions de rang ou de déterminant (en 2D et en 3D) pour savoir si une matrice est inversible;
  • d'inverser une matrice A en résolvant AX=Y;
  • de décrire géométriquement le noyau et l'image d'une matrice (en 2D et en 3D);
  • de déterminer la matrice associée à une application linéaire donnée de K^p vers K^n;
  • de calculer des inverses de matrices à partir d'équations polynômiales simples.

Bonne semaine à toutes et à tous,

P. Fournié

Mises à jour du cours et des exercices

J'ai mis à jour le recueil d'exercices ainsi que les notes de cours. Pour ceux qui aiment le calcul mental, j'ai également ajouté à cette archive les derniers calculs mentaux effectués.

Bonne lecture et, si vous décelez des erreurs, merci de me les signaler.

P. Fournié

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