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Bonjour,

Le programme de colles portera sur l'algèbre en dimension finie :

• Théorème de la base incomplète: constructions de bases par l'extérieur et l'intérieur;
• Bases canoniques usuelles;
• Applications aux sous-espaces vectoriels: bases et supplémentaires, bases d'une somme de s.e.v.;
• Applications aux familles de vecteurs: rang d'une famille;
• Rang d'un morphisme et théorème du rang.

Attention je réserve pour plus tard, pour Monsieur Hermans, le privilège de traiter le chapitre sur les matrices de morphismes et les matrices de passage. En particulier on ne peut pas exiger des étudiants d exploiter les matrices pour réaliser des changements de base. Ils savent le faire avec des systèmes :)

Pour les exemples on se concentrera sur K^n et les polynômes puis les suites et les fonctions si tout se passe bien.

On se retrouve le 3 juin.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la rentrée, les suites définies par une récurrence d'ordre un, u_{n+1} = f(u_n), en rapport avec les limites de fonctions et la continuité:

• construction graphique des termes successifs;
• sens de variation en fonction des variations de f;
• application du théorème de convergence monotone;
• éventuellement une question de Python pour voir si l'étudiant sait correctement utiliser une boucle pour calculer les termes successifs d'une suite.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

La semaine prochaine sera entièrement consacrée aux matrices et au premier chapitre d'algèbre linéaire. Je rappelle qu'à ce stade, nous n'avons pas encore étudié formellement les espaces vectoriels de dimension finie.

Au menu:

• familles libres et génératrices: utiliser un système ou des notions géométriques pour caractériser qu'une famille est libre ou génératrice;
• sous-espaces vectoriels: caractérisation, somme, somme directe, supplémentaires;
• morphismes: caractérisation, calcul du noyau, de l'image;
• opérations sur les matrices;
• écriture matricielle d'un système;
• écriture matricielle d'une combinaison linéaire d'une famille de vecteurs de K^n;
• application canoniquement associée à une matrice et matrice canoniquement associée à un morphisme de K^p vers K^n: calcul du noyau, de l'image, caractérisation de l'injectivité, de la surjectivité;
• calcul du rang d'une matrice et interprétations diverses: caractériser si les colonnes sont libres, génératrices, caractériser les solutions d'un système, caractériser l'injectivité, la surjectivité de l'application canoniquement associée.

Si l'étudiant est à l'aise, on pourra aborder les polynômes de matrices.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une question de cours sur les matrices, et un exercice sur les limites de fonctions et la continuité.

Dans le détail, pour la petite question sur les matrices, on pourra aborder:

• les propriétés des opérations sur les matrices;
• formulation matricielle d'un système linéaire;
• formulations matricielles autour des familles de vecteurs de R^n;
• un calcul d'inverse pas trop dur de matrice 2x2 ou 3x3.

Et pour l'exercice sur les fonctions:

• des calculs de limites;
• une étude complète de fonction (en exploitant éventuellement les invariants);
• les prolongements par continuité;
• des applications du TVI (par exemple le nombre de solutions d'une équation);
• l'algorithme de dichotomie (si l'envie vous en prend, vous pouvez même glisser une question de Python).

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Voilà vos scripts corrigés.