L'exercice n°2 du sujet du Concours Général de cette année avait pour thème une version simplifiée du Problème de Dirichlet, dans un cas discret. C'est un joli exercice, que je vous incite à chercher.
Je vous conseille également vivement de visionner la vidéo (limpide !) d'Olivier Druet sur le même sujet (publiée récemment sur le site Images des Mathématiques). À noter l'utilisation du Principe du Maximum, qui est utile dans bien des situations en Mathématiques !