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Cher.e.s étudiants.

Profitez bien des vacances pour reprendre des forces. Mais n'oubliez pas qu'à la rentrée vous attend un concours blanc dont le programme se trouve ici.

Pendant ces vacances, voici par ordre décroissant de priorité, un programme de travail:

• réviser le concours blanc;
• faire des fiches d'algèbre linéaire,sur les probabilités et sur les suites;
• exercices 8 et 10 du cours sur les polynômes;
• exercices 1, 2, 7, 15, 16, 8, 12, 9, 3-6 planche n°17 sur les suites, par ordre décroissant de priorité.

Si vous avez des difficultés à travailler chez vous, voici une liste de bibliothèques accessibles avec une pièce d'identité et la carte d'étudiant.

Bonnes vacances! Revenez en forme.

P. Fournié

Au menu de ce devoir:

• Les systèmes linéaires et l'espace R^n: résoudre un système avec le pivot de Gauss, déterminer un espace engendré, caractériser si une famille est libre, génératrice à partir de son rang, faire éventuellement le lien avec la géométrie du plan et de l'espace.
• Algèbre linéaire: tout le premier chapitre, incluant les sous-espaces vectoriels, les sommes et sommes directes de s.e.v., les familles de vecteurs, les applications linéaires. Bien connaître en particulier les exemples vus dans R^2, R^3, avec les fonctions, les suites. Également, savoir formuler un problème avec un système ou exploiter le rang d'une matrice pour déterminer si une famille est libre, génératrice.
• Le probabilités: définir un univers équiprobable et dénombrer des situations, formules usuelles de probabilité de l'union, du contraire. Probabilités conditionnelles: formules de Bayes, des probabilités totales, indépendance.
• Les équations différentielles.
• Les complexes, les applications en trigonométrie, la correspondance entre C et le plan.

Le programme du concours blanc sera assez proche de celui de ce devoir.

Bonnes révisions.

P. Fournié

Bonjour à toutes et tous,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une question de cours et un exercice d'application en algèbre linéaire et un second exercice nécessitant de mener un raisonnement par récurrence.

En algèbre, nous avons abordé les notions suivantes:

• espaces vectoriels et les exemples à connaître: R^n, suites, fonctions;
• sous-espaces vectoriels, caractérisation par la stabilité par combinaisons linéaires, intersection, somme et somme directe;
• familles libres, génératrices, bases, espaces engendrés;
• morphismes: iso, endo, auto, noyau et image, caractérisation de l'injectivité, de la surjectivité avec le noyau et l'image.

Pour le moment, nous n'avons pas étudié les matrices, ni les polynômes, ni les notions liées à la dimension. Les exemples doivent donc uniquement concerner R^n, C, les suites ou les fonctions.

Concernant la récurrence, on pourra proposer un exercice portant sur des sommes, des produits, une suite définie par récurrence d'ordre un. On pourra demander à un étudiant de conjecturer puis prouver le sens de variation de telle suite monotone. Idem pour les majorations éventuelles. Pour le moment, les limites, les points fixes, l'étude des suites définies par une récurrence u_{n+1} = f(u_n) n'ont pas été vues formellement.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de cette semaine:

1. une question de cours d'algèbre linéaire:
   • être capable de montrer qu'un ensemble n'est pas un K-e.v. sur des cas simples: la définition formelle et complète d'un e.v. ne sera pas exigée;
   • sous-espaces vectoriels: critère de stabilité par combinaison linéaire, somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires;
   • familles de vecteurs: espace engendré, famille libre, génératrice, base.

On demandera par exemple aux étudiants de montrer que tel ou tel ensemble est sous-espace vectoriel de R^2 ou R^3 en le guidant bien, ou bien de décrire la somme de deux s.e.v., ou de montrer que deux s.e.v. sont supplémentaires par le critère d'existence et d'unicité de la décomposition d'un vecteur comme somme de vecteurs de ces deux sous-espaces. Ce sera aussi l'occasion de réviser les notions vues dans l'espace R^n.

2. un exercice sur la borne supérieure, les suites et la fonction partie entière:
   • déterminer la borne supérieure d'un ensemble.
   • comprendre la définition d'une suite par une récurrence d'ordre un ou deux.
   • déterminer le sens de variation d'une suite définie par récurrence d'ordre un ou explicitement.
   • déterminer si une suite est majorée, minorée, bornée.
   • connaître la définition de partie entière, son sens de variation, ses limites et raisonner sur les inégalités en lien avec cette fonction.

Ce sera surtout l'occasion de remobiliser les notations et les raisonnements sur les ensembles, les études de fonctions, les encadrements et le raisonnement par récurrence. Pour le moment, nous n'avons pas vu les limites, nous n'avons pas non plus abordé les techniques formelles d'études ou de tracés de suites définies par une recurrence u_{n+1} = f(u_n). Nous ferons cela plus tard.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié