28 janvier 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 28 janvier 2025, 10:06 - Programme des DSTs
Voici les démonstrations qui pourront être restituées au concours blanc.
- Sur les complexes:
- montrer que arg(zz') = arg(z) + arg(z') pour z et z' non nuls;
- montrer que les vecteurs images de deux complexes non nuls z et z' sont orthogonaux si et seulement si z/z' est un imaginaire pur
- En algèbre linéaire:
- montrer que pour A et B deux s.e.v. A+B est un s.e.v.
- montrer que A et B sont supplémentaires dans E si et seulement tout vecteur de E s'écrit de manière unique comme une somme d'un élément de A et d'un élément de B (sens direct uniquement).
- montrer que l'espace engendré par une famille de vecteurs est un s.e.v.
- montrer qu'une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit à 0.
- Sommes:
- binôme de Newton par récurrence.
- factorisation de a^n-b^n.
24 janvier 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 24 janvier 2025, 19:12 - Khôlles
Bonjour,
Au menu des colles de cette semaine:
- une question de cours d'algèbre linéaire:
- être capable de montrer qu'un ensemble n'est pas un K-e.v. sur des cas simples: la définition formelle et complète d'un e.v. ne sera pas exigée;
- sous-espaces vectoriels: critère de stabilité par combinaison linéaire, somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires;
- familles de vecteurs: espace engendré, famille libre, génératrice, base.
On demandera par exemple aux étudiants de montrer que tel ou tel ensemble est sous-espace vectoriel de R^2 ou R^3 en le guidant bien, ou bien de décrire la somme de deux s.e.v., ou de montrer que deux s.e.v. sont supplémentaires par le critère d'existence et d'unicité de la décomposition d'un vecteur comme somme de vecteurs de ces deux sous-espaces. Ce sera aussi l'occasion de réviser les notions vues dans l'espace R^n.
- un exercice sur la borne supérieure, les suites et la fonction partie entière:
- déterminer la borne supérieure d'un ensemble.
- comprendre la définition d'une suite par une récurrence d'ordre un ou deux.
- déterminer le sens de variation d'une suite définie par récurrence d'ordre un ou explicitement.
- déterminer si une suite est majorée, minorée, bornée.
- connaître la définition de partie entière, son sens de variation, ses limites et raisonner sur les inégalités en lien avec cette fonction.
Ce sera surtout l'occasion de remobiliser les notations et les raisonnements sur les ensembles, les études de fonctions, les encadrements et le raisonnement par récurrence. Pour le moment, nous n'avons pas vu les limites, nous n'avons pas non plus abordé les techniques formelles d'études ou de tracés de suites définies par une recurrence u_{n+1} = f(u_n). Nous ferons cela plus tard.
Bonne semaine à toutes et tous.
P. Fournié
23 janvier 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 23 janvier 2025, 21:33 - TP
Vous trouverez ici le sujet ainsi que le script prérempli à modifier et compléter. Pour vous inspirer, vous pouvez regarder ce chapitre sur les systèmes.
Vous rendrez vos travaux sur ce serveur avec le mot de passe TP_pivot_2025 avant vendredi 7 février 2025.
Bon courage.
P. Fournié
17 janvier 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 17 janvier 2025, 10:11 - Khôlles
Bonjour à tous,
Voici le programme des colles à venir:
- en question de cours, restituer l'une des définitions suivantes: borne supérieure, sens de variation, majoration d'une suite, suite bornée, stationnaire, périodique, proposer des exemples.
- en exercice: famille libre, espace engendré, famille génératrice de vecteurs de R^n, calcul de rang et application des systèmes. On valorisera dans le cas n=2 ou n=3 les approches multiples d'un problème donné. Par exemple, prouver qu'un vecteur est combinaison linéaire de deux autres vecteurs de R^3 par une résolution de système ET un calcul de produit mixte. On pourra utiliser la notation matricielle pour résoudre les systèmes proposés.
Ce chapitre sur R^n est l'occasion d'introduire en douceur l'algèbre linéaire.
Bonne semaine à toutes et tous.
P. Fournié
07 janvier 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 07 janvier 2025, 14:42 - Programme des DSTs
Voici les démonstrations qui pourront être demandées au prochain DST.
- Par récurrence:
- binôme de Newton;
- nombres triangulaires.
- Sur les complexes:
- montrer que arg(zz') = arg(z) + arg(z') pour z et z' non nuls;
- montrer que les vecteurs images de deux complexes non nuls z et z' sont orthogonaux si et seulement si z/z' est un imaginaire pur.
- Géométrie:
- montrer que le déterminant de deux vecteurs dans le plan correspond à l'aire signée du parallélogramme délimité par ces deux vecteurs.
- Primitives et équations différentielles:
- prouver la structure des solutions d'une équation différentielle.
Bonnes révisions.
P. Fournié
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 07 janvier 2025, 12:58 - Khôlles
Bonjour,
On interrogera la semaine prochaine les étudiants sur les systèmes linéaires:
- mettre en oeuvre l'algorithme du pivot de Gauss;
- déterminer le rang d'un système, d'une matrice;
- exprimer les solutions d'un système, et dans le cas R^2 ou R^3, interpréter ces solutions comme des droites, des plans, des points.
La question de cours portera sur les familles de l'espace R^n: définitions formelles d'une famille libre, liée, de l'espace engendré par une famille.
On pourra proposer un second exercice connexe nécessitant de poser un système: intersection de lieux géométriques, recherche de solutions particulières d'équations différentielles, factorisation de polynômes, décomposition de fractions (guider l'étudiant) pour déterminer une primitive...
Bonne semaine à toutes et à tous.
P. Fournié
06 janvier 2025
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 06 janvier 2025, 10:18 - Programme des DSTs
Au menu du prochain DST:
- la géométrie de l'espace:
- règles d'incidences (intersections et positions relatives) sur les plans et les droites;
- famille de vecteurs: coplanarité, colinéarité, famille libre, base;
- équations paramétriques de droites, de plans;
- produit scalaire, vectoriel, mixte et applications;
- équations cartésiennes de plans, système d'équations de droites, équations de sphères;
- recherche d'intersections éventuelles;
- projections orthogonales et application aux calculs de distance.
- calcul d'angles.
- les complexes:
- les trois formes d'un complexe;
- les définitions et propriétés du conjugué, du module, de l'argument (De Moivre entre autres);
- la correspondance entre C et le plan (affixe, image, interprétation du module, de l'argument, caractérisation de la colinéarité, de l'orthogonalité);
- les applications à la trigonométrie;
- la résolution d'équations: de type z^n = alpha ou az^2+bz+c = 0 entre autres.
- les équations différentielles, les primitives et les intégrales:
- calculer une primitive, une intégrale;
- résoudre une équation linéaire du premier ou du second ordre à coefficients constants: structure des solutions, résolution de l'équation homogène, déterminer une solution particulière;
- résolution avec conditions initiales dans le cadre d'un problème de Cauchy.
- les études de fonctions.
- les sommes:
- les coefficients binomiaux;
- les calculs de sommes usuelles: termes de suites arithmétiques, géométriques, binôme de Newton.
- le raisonnement par récurrence, éventuellement appliqué aux sommes.
- les systèmes linéaires.
J'ai mis à jour les notes de cours. Vous pouvez également consulter le recueil d'exercices.
Bonnes révisions.
P. Fournié
21 décembre 2024
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 21 décembre 2024, 17:15 - TP
Vous trouverez vos scripts dans ce répertoire en ligne avec le mot de passe TP_sommes. Voici également une proposition de corrigé.
Bonne réception.
P. Fournié
18 décembre 2024
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 18 décembre 2024, 18:46 - Programme des DSTs
Programme des vacances
Pendant les vacances, n'oubliez pas de bien vous reposer pendant quelques jours (entre quatre et sept jours).
Concernant les mathématiques, voici votre travail, dans l'ordre décroissant de priorité:
- Chercher tous les exercices de la planche n°12 et rédiger en DM les questions 3, 5 et 6 de l'exercice 5 de cette planche pour le vendredi 10 janvier;
- Revoir les chapitres et faire des fiches sur les études de fonctions, la géométrie et les complexes. Voici quelques thèmes non exhaustifs de fiches: "équations paramétriques et cartésiennes", "le produit scalaire et projection orthogonale", "les familles de vecteurs, le produit vectoriel et le déterminant", "invariants et études de fonctions", "composition et études de fonctions", "utilisation des complexes en trigonométrie"...
- Refaire les DMs, les DSTs qui ont posé problème;
- Travailler les techniques de calcul de collège qui posent problème; fractions, puissances, racines, distributivité;
- Vous pouvez aussi télécharger le dernier paquet de cartes Anki qui contient les principales notions vues pendant cette période.
Pour travailler les études de fonctions.
Il y a des centaines de sujets d'études de fonctions disponibles sur le site de l'APMEP. J'ai par exemple regardé l'année 2000 et l'année 2005 et j'ai sélectionné ces sujets dont les corrigés sont disponibles sur le même site:
- Pondichéry, juin 2000, problème: partie A.
- Pondichéry, mai 2001, problème
- Amérique du Nord, juin 2001, problème
- Antille-Guyane, juin 2001, problème
- Amérique du Nord, juin 2005, exercice 3
- Centres étrangers, juin 2005, exercice 4, partie I.
- Réunion, juin 2005, exercice 5
- Métropole, juin 2005, exercice 4
- Polynésie, juin 2005, exercice 3
Certains de ces problèmes contiennent aussi des questions que vous ne pouvez pas aborder (intégration entre autres) mais l'essentiel est là.
Par Pierre-Alexandre Fournié (Lycée Richelieu, Rueil Malmaison (92)) le 18 décembre 2024, 11:29 - Khôlles
Bonjour,
Au menu des colles de la rentrée, équations différentielles linéaires du premier et du second ordre à coefficients constants. Si l'étudiant est à l'aise et que le contexte le permet, on pourra faire un tour du côté de l'exponentielle complexe.
En question de cours, on proposera l'un des calculs trigonométriques suivants en exploitant les complexes: linéarisation, développement, factorisation, somme des cos(ka), somme des sin(ka), avec la technique de l'angle moitié.
Bonnes fêtes de fin d'année.
P. Fournié