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Bonjour à toutes et tous,

Au menu des colles de la semaine prochaine: une question de cours et un exercice d'application en algèbre linéaire et un second exercice nécessitant de mener un raisonnement par récurrence.

En algèbre, nous avons abordé les notions suivantes:

• espaces vectoriels et les exemples à connaître: R^n, suites, fonctions;
• sous-espaces vectoriels, caractérisation par la stabilité par combinaisons linéaires, intersection, somme et somme directe;
• familles libres, génératrices, bases, espaces engendrés;
• morphismes: iso, endo, auto, noyau et image, caractérisation de l'injectivité, de la surjectivité avec le noyau et l'image.

Pour le moment, nous n'avons pas étudié les matrices, ni les polynômes, ni les notions liées à la dimension. Les exemples doivent donc uniquement concerner R^n, C, les suites ou les fonctions.

Concernant la récurrence, on pourra proposer un exercice portant sur des sommes, des produits, une suite définie par récurrence d'ordre un. On pourra demander à un étudiant de conjecturer puis prouver le sens de variation de telle suite monotone. Idem pour les majorations éventuelles. Pour le moment, les limites, les points fixes, l'étude des suites définies par une récurrence u_{n+1} = f(u_n) n'ont pas été vues formellement.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

Au menu des colles de cette semaine:

1. une question de cours d'algèbre linéaire:
   • être capable de montrer qu'un ensemble n'est pas un K-e.v. sur des cas simples: la définition formelle et complète d'un e.v. ne sera pas exigée;
   • sous-espaces vectoriels: critère de stabilité par combinaison linéaire, somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires;
   • familles de vecteurs: espace engendré, famille libre, génératrice, base.

On demandera par exemple aux étudiants de montrer que tel ou tel ensemble est sous-espace vectoriel de R^2 ou R^3 en le guidant bien, ou bien de décrire la somme de deux s.e.v., ou de montrer que deux s.e.v. sont supplémentaires par le critère d'existence et d'unicité de la décomposition d'un vecteur comme somme de vecteurs de ces deux sous-espaces. Ce sera aussi l'occasion de réviser les notions vues dans l'espace R^n.

2. un exercice sur la borne supérieure, les suites et la fonction partie entière:
   • déterminer la borne supérieure d'un ensemble.
   • comprendre la définition d'une suite par une récurrence d'ordre un ou deux.
   • déterminer le sens de variation d'une suite définie par récurrence d'ordre un ou explicitement.
   • déterminer si une suite est majorée, minorée, bornée.
   • connaître la définition de partie entière, son sens de variation, ses limites et raisonner sur les inégalités en lien avec cette fonction.

Ce sera surtout l'occasion de remobiliser les notations et les raisonnements sur les ensembles, les études de fonctions, les encadrements et le raisonnement par récurrence. Pour le moment, nous n'avons pas vu les limites, nous n'avons pas non plus abordé les techniques formelles d'études ou de tracés de suites définies par une recurrence u_{n+1} = f(u_n). Nous ferons cela plus tard.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour à tous,

Voici le programme des colles à venir:

• en question de cours, restituer l'une des définitions suivantes: borne supérieure, sens de variation, majoration d'une suite, suite bornée, stationnaire, périodique, proposer des exemples.
• en exercice: famille libre, espace engendré, famille génératrice de vecteurs de R^n, calcul de rang et application des systèmes. On valorisera dans le cas n=2 ou n=3 les approches multiples d'un problème donné. Par exemple, prouver qu'un vecteur est combinaison linéaire de deux autres vecteurs de R^3 par une résolution de système ET un calcul de produit mixte. On pourra utiliser la notation matricielle pour résoudre les systèmes proposés.

Ce chapitre sur R^n est l'occasion d'introduire en douceur l'algèbre linéaire.

Bonne semaine à toutes et tous.

P. Fournié

Bonjour,

On interrogera la semaine prochaine les étudiants sur les systèmes linéaires:

• mettre en oeuvre l'algorithme du pivot de Gauss;
• déterminer le rang d'un système, d'une matrice;
• exprimer les solutions d'un système, et dans le cas R^2 ou R^3, interpréter ces solutions comme des droites, des plans, des points.

La question de cours portera sur les familles de l'espace R^n: définitions formelles d'une famille libre, liée, de l'espace engendré par une famille.

On pourra proposer un second exercice connexe nécessitant de poser un système: intersection de lieux géométriques, recherche de solutions particulières d'équations différentielles, factorisation de polynômes, décomposition de fractions (guider l'étudiant) pour déterminer une primitive...

Bonne semaine à toutes et à tous.

P. Fournié

Vous trouverez vos scripts dans ce répertoire en ligne avec le mot de passe TP_sommes. Voici également une proposition de corrigé.

Bonne réception.

P. Fournié