.·: des maths, à l'école et au-delà :·.

Voici mon projet de 3ème année de licence de mathématiques, fait en binôme. C'est un projet d'analyse (48 pages) traitant en particulier de la dimension de Hausdorff (sorte de généralisation de la dimension euclidienne, permettant de donner des dimensions non entières à certains objets, fractales entre autres) et de l'ensemble triadique de Cantor (souvent appelé aussi poussière de Cantor).

Suite un certain nombre de sollicitations après une publication sur mathematex, je le mets en ligne ici.

http://blog.crdp-versailles.fr/peronno/public/projet-hausdorff.pdf

Bonne lecture. Toute remarque et critiques constructives sont les bienvenues.


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Autosimilarité,
ensemble triadique de Cantor
et dimension de Hausdorff



Projet de troisième année de licence de mathématiques
présenté fin mai 2007 par
Louis Iôôs et Sébastien Peronno
Professeur : Stéphane Ginouillac

Table des matières

Introduction

1 Mesure et dimension de Hausdorff - autosimilarité
1.1 Mesure et dimension de Hausdorff
1.1.1 Mesure de Hausdorff
1.1.2 Propriétés de la mesure de Hausdorff
1.1.3 La dimension de Hausdorff
1.2 Autosimilarité
1.2.1 Définition de l'autosimilarité
1.2.2 Propriétéde l'autosimilarité
1.2.3 Dimension d'un ensemble autosimilaire

2 Étude d'une fractale : l'ensemble triadique de Cantor
2.1 Les ensembles de Cantor
2.1.1 Définition
2.1.2 Propriétés générales des ensembles de Cantor
2.2 Approche topologique de l'ensemble triadique de Cantor K3
2.2.1 Définition de K3
2.2.2 μ-Mesure de K3
2.2.3 Dimension de K3
2.3 Approche numérique de K3
2.3.1 Développements triadiques, définition de K3 avec ces développements
2.3.2 Bijection avec [0,1]
2.3.3 Autosimilarité et autres propriétés

3 Pour aller plus loin...
3.1 Le « Cantor abstrait » 'K'
3.1.1 Définition de 'K'
3.1.2 'K' et K3 sont homéomorphes
3.2 Fonction singulière de Lebesgue
3.2.1 Définition de la fonction
3.2.2 Propriétés de cette fonction

Remerciements

Bibliographie