Je vous rappelle l'impasse dans laquelle je me suis retrouvé devant vous cet après-midi (je n'ai pas le fichier sur moi). 

On suppose que {u;v} est l'ensemble des solutions de [ax²+bx+c=0; inconnue x] et que a n'est pas nul. On VEUT prouver que pour n'importe quel nombre x: ax²+bx+c = a(x-u)(x-v). 

Du fait de ma dyscalculie, j'ai "navigué à vue" de la manière suivante en voulant improviser une démarche Inessienne: 

Forall x: (ax²+bx+c )  = (ax²+bx+c) - (au²+bu+c) = (x-u)(a(x+u)+b). 

Si v n'est pas le même nombre que u alors tout va bien, car v-u n'est pas nul,

donc a(v+u)+b = 0, donc  (x-u)(a(x+u)+b) = a(x-u)(x-v)

Par contre, si u=v, je ne peux pas me permettre cet argument. 

J'ai bien envie de NE PAS réparer cette impasse, car il est DANS VOTRE intérêt de continuer de chercher!!! 

En même temps, j'hésite car c'est le début de l'année. Je coupe la poire en deux et je vous donne une solution non-Inessienne***, et je l'écris en encre blanche sur fond blanc. 

*** cela vous permet de chercher une solution Inessienne (cadire par un enchainement de calculs littéraux sans présence de réflexion logique)

On sait que que 0 est l'unique solution de l'équation suivante: 

[a(x+u)²+b(x+u)+c=0; inconnue x]

Comme pour tout x: 

a(x+u)²+b(x+u)+c = ax²+bx+c+au²+bu+2ux = x(ax+b+2u)

donc 0 est LA SEULE solution de [x(ax+b+2u) =0; inconnue x]

donc POUR TOUT NOMBRE x : x(ax+b+2u) = ax²

donc pour tout nombre x: a(x+u)²+b(x+u)+c = ax²

donc pour tout nombre x: a((x-u)+u)²+b((x-u)+u)+c = a(x-u)²

donc pour tout nombre x: ax²+bx+c = a(x-u)²

Attention, cette preuve n'est pas "Inessienne" dans le sens que j'use d'une subtile remarque en disant que le fait que 0 est le seul nombre x tel que ax+b+2u=0 entraine forcément que b+2u=0. Je vous invite à ne surtout pas faire l'erreur grave de penser que c'est parce que a fois 0+b+2u=0