\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Probabilités conditionnelles, indépendance, loi binomiale}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{ Probabilités conditionnelles, événements indépendants}}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Conditionnement par un événement}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit $p$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et soit A un événement tel que $p(A)\neq 0$. Pour tout événement B, on appelle probabilité de B sachant A le réel noté $p_A(B)$ défini par : \[p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}.\]
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Conséquences}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A\cap B)=p_A(B)\times p(A)$

\item $p_B(A)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(B)}$ donc $p(A\cap B)=p_B(A)\times p(B)$.

\item On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{p_A(B)\times p(A)=p_B(A)\times p(B)}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Exemple :}} On lance successivement deux fois un dé tétraédrique équilibré (non truqué)numéroté de 1 à 4. On note les résultats dans l'ordre. Par exemple : $(4 ;1)$.\\
L'univers $\Omega$ est l'ensemble de tous les couples possibles. $\Omega =\{(i ;j), i\in\{1 ;2 ;3 ;4\}, j\in\{1 ;2 ;3 ;4\}\}.$\\
Comme le dé est équilibré, on a une loi équirépartie : tous les résultats sont équiprobables. Chaque couple a une probabilité de $\frac{1}{16}$ d'apparaître.\\
Soient les événements suivants : \\
A : \og Le premier tirage a donné 3\fg{}.\\
B : \og La somme des deux résultats est supérieure ou égale à 7. \fg{}\\
On a : $p(A)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ ; $p(A\cap B)=\frac{1}{16}$.\\
Alors : $p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}=\frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$ (probabilité d'avoir une somme supérieure ou égale à 7 sachant que le premier nombre est 3.)\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarques :}} \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p_A(A)=\frac{p(A\cap A)}{p(A)} =\frac{p(A)}{p(A)}=1$ (l'événement A sachant A est certain).

\item Si A et B sont incompatibles, $p_A(B)=0$ ; en effet : $p_A(B)=\frac{p(A\cap B)}{p(A)}=\frac{0}{p(A)}=0$.

\item $p_A(\overline{B})=1-p_A(B)$.

\item $p(A\cap B)=p_{A}(B)\times p(B)$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} Au jeu, l'objectif d'un tricheur est d'obtenir un conditionnement ; par exemple, au poker, sachant qu'il a vu l'as de trèfle dans la main de son voisin de gauche, la probabilité que le voisin de droite ait un carré d'as est nulle.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Utilisation d'un arbre}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : on dispose de trois urnes, contenant chacune cinq boules, rouges ou noires.\\
Dans la première, il y a 3 boules rouges et 2 noires.\\
Dans la deuxième, il y a 2 boules rouges et 3 noires.\\
Dans la troisième, il y a 1 boules rouges et 4 noires.\\
Julien lance un dé : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item s'il obtient \og{}1\fg{}, il extrait au hasard une boule de l'urne 1.

\item s'il obtient \og{}3 ou 5\fg{}, il extrait au hasard une boule de l'urne 2.

\item s'il obtient \og{}2, 4 ou 6\fg{}, il extrait au haasard une boule de l'urne 3.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge et provienne de l'urne 1?

\item Quelle est la probabilité que la boule tirée soit rouge ?
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent \textcolor{red}{\textbf{Solution}}.\\
Résumons la situation par un arbre :
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=15mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$U_1$}\taput{ $\dfrac16$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{ $\dfrac35$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\tbput{ $\dfrac25$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$U_2$}\taput{ $\dfrac13$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{ $\dfrac25$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\tbput{ $\dfrac35$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$U_3$}\tbput{ $\dfrac12$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$R$}\taput{ $\dfrac15$}
\Tdot~[tnpos=r]{$N$}\tbput{ $\dfrac45$}}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La probabilité cherchée est $p\left(R \cap U_1\right)=p_{U_1}(R)\times p\left(U_1\right)=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{10}$

\item $R$ est la réunion des événements incompatibles $R \cap U_1$, $R \cap U_2$ et $R \cap U_3$.\\
On a alors : $p(R)=p\left(R \cap U_1\right)+p\left(R \cap U_2\right)+p\left(R \cap U_3\right)$, d'où :\\
$p(R)=p_{U_1}(R)\times p\left(U_1\right)+p\left(p_{U_2}(R)\times p\left(U_2\right)\right)+p\left(p_{U_3}(R)\times p\left(U_3\right)\right)$ appelée formule des probabilités totales.\\
On trouve $p(R)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{15}=\dfrac{2}{10}+\dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{2}{15}=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : $\boxed{\textcolor{red}{p(R)=\dfrac{1}{3}}}$
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Événements indépendants}}
\begin{minipage}{18cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux événements A et B sont indépendants si, et seulement si, $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Exercice}} (\textbf{\textcolor{red}{à savoir faire}}) :\\
Montrer que si $A$ et $B$ sont indépendants, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi, de même que $A$ et $\overline{B}$ ou $\overline{A}$ et $B$.\\

Montrons l'indépendance de $\overline{A}$ et $\overline{B}$ :\\
Par hypothèse, $A$ et $B$ sont indépendants, donc $p(A\cap B)=p(A)p(B)$.\\
Alors : $p\left(\overline{A}\cap\overline{B}\right)=p\left(\overline{A\cup B}\right)=1-p(A\cup B)=1-\left[p(A)+p(B)-p(A\cap B)\right]=1-p(A)-p(B)+p(A)p(B)\\
=(1-p(A))\times (1-p(B))=p(\overline{A})\times p(\overline{B})$ donc $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants.\\

\begin{minipage}{13cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient A et B deux événements tels que $p(A)\neq 0$ et $p(B)\neq 0$.\\
A et B sont indépendants si et seulement si $p_A(B)=p(B)$.\\
A et B sont indépendants si et seulement si $p_B(A)=p(A)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textcolor{red}{Démonstration :}\\
 On a : $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ et $p(A\cap B)=p_A(B)\times p(A)$ d'o˘ : $ p(A)\times p(B)= p_A(B)\times p(A)$ soit $p(B)=p_A(B)$ en divisant par p(A).\\
 
\noindent \textcolor{blue}{\textbf{Remarque :}} Si A et B sont de probabilité non nulle, leur indépendance signifie que la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de réalisation de l'autre.

\subsection{\textcolor{red}{Loi binomiale}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Schéma de Bernoulli}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire à deux issues, appelées en général succès et échec.\\
Si $p$ est la probabilité d'un succès, la probabilité d'un échec est $q=1-p$.\\

\noindent On appelle schéma de Bernoulli une répétition de $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, les épreuves successives étant indépendantes.\\
Les paramètres sont $n$ (nombre d'épreuves) et $p$, probabilité d'un succès
\end{bclogo}


\bigskip

\noindent On peut représenter la situation par un arbre pondéré.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple avec trois épreuves :}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
}
}
\end{center}

On a : $p\left(S\cap\overline{S}\cap S\right)=p(1-p)p=p^{2}(1-p)$

\subsection{\textcolor{red}{Variable aléatoire}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une variable aléatoire $X$ est une fonction définie sur un univers $\Omega$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Exemple}}
Soit l'expérience aléatoire : \og{}On lance un dé à six faces et on regarde le résultat.\fg{}.\\
 L'ensemble de toutes les issues possibles est  $\Omega = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}$, qu'on appelle l'univers des possibles ou tout silplement unnivers.\\
On considère alors le jeu suivant :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item - Si le résultat est pair, on gagne 2 \euro.

\item Si le résultat est 1, on gagne 3 \euro.

\item Si le résultat est 3 ou 5, on perd 4 \euro.
\end{enumerate}
On a défini ainsi une variable aléatoire $X$ sur $\Omega = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}$ qui peut prendre les valeurs 2, 3 ou –4.\\
On a donc : $X(1) = 3$, $X(2) = 2$, $X(3) = –4$, $X(4) = 2$, $X(5) = -4$, $X(6) = 2$.\\
On résume les probabilités correspondant aux différentes valeurs orises par la variable aléatoire dans un tableau, qui donne la \textbf{\textcolor{blue}{loi de probabilité }}de $X$:\\

\begin{center}
$\begin{array}{|*{4}{l|}}\hline
x_i&-4&2&3\\
\hline
p\left(X=x_i\right)&\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Espérance, variance et écart-type}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soit une variable aléatoire $X$ définie sur un univers $\Omega$ et prenant les valeurs $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$.\\
La loi de probabilité de $X$ associe à toute valeur $x_i$ la probabilité $p_i = p\left(X = x_i\right)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'espérance mathématique de la loi de probabilité de $X$ est : \[E(X)=p_1x_11 +p_2 x_2 +\cdots+p_n x_n =\sum_{i=1}^{i=n} p_ix_i\]

\item La variance de la loi de probabilité de $X$ est :
\[V(X)=p_1\left(x_1 –E(X)\right)^2 +p_2\left(x_2 –E(X)\right)^2 +\cdots+p_n\left(x_n –E(X)\right)^2 =\sum_{i=1}^{i=n}p\left(x_i -E(X))\right)^2\]

\item L'écart-type de la loi de probabilité de $X$ est : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : En utilisant l'identité remarquable $\left(x_i-E(X)\right)^2=x_i^2-2x_iE(X)+\left(E(X)\right)^2$ poiur chaque valeur de i, on obtient :\\
$V(X)=\sum_i=1^{i=n}p_ix_i^2-(E(X))^2$ qu'on résule par : $V(X)=E\left(X^2\right)-\left(E(X)\right)^2$ (espérance du carré moins carré de l'espérance)




\subsection{\textcolor{red}{Loi binomiale}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Retour sur l'exemple précédent}}
Notons $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès au cours des trois épreuves. On a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(X=3)=p(SSS)=p^3$

\item $p(X=2)=p\left(\left(SS\overline{S}\right) \cup \left(S\overline{S}S\right) \cup \left(\overline{S}SS\right)\right)=3p^2q$

\item $p(X=1)=p\left(\left(S\overline{S}\overline{S}\right) \cup \left(\overline{S}S\overline{S}\right) \cup \left(\overline{S}\overline{S}S\right)\right)=3pq^2$

\item $p(X=0)=q^3$
\end{enumerate}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Cas général}}
\noindent Soit $n$ un entier naturel.
Imaginons la répétition de $n$ épreuves identiques de Bernoulli.\\
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès au cours des $n$ épreuves.\\
Soit $k$ un entier ($0\leqslant k\leqslant n$).\\
Chaque chemin qui compte $k$ succès et donc $n-k$ échecs a une probabiité égale à $p^k(1-p)^{n-k}$.\\
$\binom{n}{k}$ compte le nombre de positions possibles des $k$ succès parmi les $n$ positions possibles de $S$ et $\overline{S}$, donc le nombre de chemins contenant $k$ succès .\\

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On dit que $X$  suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$. (on peut écrire $X\hookrightarrow\mathscr{B}(n~;~p)$).\\
Pour tout $k$ avec $0\leqslant k\leqslant n$, $p(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$
\end{bclogo}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Espérance}}


\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés (admises)}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $E(X)=np$ (espérance)

\item $V(X)=npq$ (variance) où $q=1-p$

\item $\sigma(X)=\sqrt{npq}$ (écart-type).
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\subsection{\textcolor{red}{Exemple : exercice de bac blanc}}
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs.\\
On a trouvé (première partie) que la probabilité d'avoir un conifère est $p=0,525$.

On choisit au hasard un échantillon de $10$~arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à  un tirage avec remise de $10$~arbres dans le stock.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale\index{loi binomiale} dont on précisera les paramètres. 
		\item Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères? 

On arrondira à  $10^{-3}$. 
		\item Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
		 
On arrondira à  $10^{-3}$.

\item Quelle est l'espérance de cette loi ?\\
Interpréter le résultat.
	\end{enumerate} 

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Correction}}
On a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues, donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,525$.\\
On a alors $p(X=k)=\binom{10}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\binom{10}{k}\times 0,525^{k}\times 0,475^{10-k}}}$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères? 
%On arrondira à $10^{-3}$. 
La probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères est :\\
$p(X=5)=\binom{10}{5}\times 0,525^{5}\times 0,475^{5}\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{0,243\text{ à }10^{-3}\text{ près}}}$.


\item %Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
		 
%On arrondira à $10^{-3}$.
La probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus est :\\
$p(X\leqslant 8)=1-[p(X=9)+p(X=10)]\approx \boxed{\textcolor{red}{0,984}}$.\\
On peut aussi calculer directement $p(X\leqslant 8)$ avec la fonction BinomialFRep de la calculatrice (menu Distrib).\\
On tape BinomialFrep(n,p,k) pour calculer $p(X\leqslant k)$.
	\end{enumerate} 

\subsection{\textcolor{red}{Exemple : Bac Métropole juin 2012}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Énoncé}}

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{3mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, 
\item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, 
\item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{\ldots}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}		 		
}
\end{center} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. 
		\item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg.
		 
Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
	\end{enumerate} 
\item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate} 		 
\item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
	\end{enumerate} 	

\subsubsection{\textcolor{blue}{Correction}}
%Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reÁus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

%On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
%On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{3mm}
%\begin{itemize}
%\item D : \og{}Le candidat est retenu sur dossier\fg{}, 
%\item E$_{1}$ : \og{}Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien\fg{}, 
%\item E$_{2}$ : \og{}Le candidat est recrut?\fg{}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{0,4}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{0,7}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{0,25}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,75}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{0,3}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6}		 		
}
\end{center}
\medskip
 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
On a $p\left(E_{1}\right) = p\left(D \cap E_{1}\right) = p(D) \times p_{D}\left(E_{1}\right) = 0,4 \times 0,7 = 0,28$. 
		\item %On note $F$ l'évènement \og{}Le candidat n'est pas recruté\fg{}.
		 
%Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit :

$p(F) = p\left(\overline{D}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{1}}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{2}}\right) = 0,6 + 0,4 \times 0,3 + 0,4 \times 0,7 \times 0,75 = 0,6 + 0,12 + 0,21 = 0,93$. D'o\`u $p\left(\overline{F}\right) = 1 - p(F) = 1 - 0,93 = 0,07$.

On peut directement calculer la probabilité d'être recruté, soit :

$p\left(\overline{F}\right) = p\left(D \cap E_{1}\cap E_{2}\right) = 0,4 \times 0,7 \times 0,25 = 0,07$.

D'o\`u $p(F) = 1 - p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,07 = 0,93$.
	\end{enumerate} 
\item %Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
%On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.  La variable $X$ suit donc une loi binomiale $(\mathcal{B},n=5,\:p=0,07)$. 
		\item %Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
		On a $p(X = 2) = \binom{5}{2}0,07^2 \times 0,93^3  = 10 \times 0,07^2 \times 0,93^3 \approx \np{0,0394} \approx 0,039$ à $10^{-3}$ près
	\end{enumerate} 		 
\item %Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
On reprend ici la loi binomiale mais avec $n$ candidats chacun ayant une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.

La probabilité qu'aucun ne soit retenu est égale à : $\binom{0}{n}\times 0,07^0 \times 0,93^n = 0,93^n$.

La probabilité qu'un au moins des $n$ candidats soit recruté est donc égale à $1 - 0,93^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - 0,93^n > 0,999 \iff 0,001 > 0,93^n \iff \ln 0,001 > n \ln 0,93$ \:(par croissance de la fonction $\ln$) \\
$\iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93}$ car $\ln 0,93 < 0$.

Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93} \approx 95,1$.

Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un candidat.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  
 
 
