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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices de bac \\(conditionnement et indépendance)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2015 (extrait)}}
Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg.

On suppose que les deux évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que 

$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.

Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,3.4)
%\psgrid
\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
\rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B}
\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant
uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité
que le circuit A soit défaillant avant un an.
\item Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'un
au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit
défaillant avant un an.
\end{enumerate}
\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2013 (extrait)}}
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième. 

\bigskip


\medskip
 
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80\,\% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20\,\% chez le fournisseur B.

\medskip
 
10\,\% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20\,\% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
 
On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item évènement A : \og la boîte provient du fournisseur A \fg{} ; 
\item évènement B : \og la boîte provient du fournisseur B \fg{} ; 
\item évènement S : \og la boîte présente des traces de pesticides \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ? 
		\item Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
	\end{enumerate} 
\item On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. 

Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Liban juin 2018}}
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 
$\dfrac{1}{4}$ ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
\item[$\bullet~~$] La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement \og la $n\up{e}$ partie est gagnée \fg{} et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.
\item  On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :

\begin{center}
\tiny
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$p_n$& 1 &\np{0,4375} &\np{0,3906} &\np{0,4023} &\np{0,3994} &\np{0,4001} &\np{0,3999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
Quelle conjecture peut -on émettre ?
\item  On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		\item La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Pondichéry avril 2013 (extrait)}}
Dans une entreprise, on s'intéresse à  la probabilité\index{probabilité} qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent 
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à  $0,04$. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à  $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à  l'aide d'un arbre\index{arbre de probabilités} de probabilité. 
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre\index{arbre de probabilités} de probabilité donné ci-dessous
		
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
	  }
}
\end{center}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  1,
		
		 $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. 
		\item Montrer que la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à  1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
		
En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. 
		\item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme\index{algorithme}  suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
Variables		& K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ 
Initialisation 	&P prend la valeur $0$\\ 
				&J prend la valeur $1$\\ 
Entrée			& Saisir la valeur de K\\ 
Traitement		&Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ 
				&\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\
				&\quad  J prend la valeur J $+ 1$\\ 
				&Fin tant que \\
Sortie			&Afficher J \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

À quoi correspond l'affichage final J ?
 
Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

%\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2012}}
%Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des
%hommes adhèrent à la section tennis. On sait également que $30$ \% des
%membres de cette association adhèrent à la section tennis.
%
%\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard un membre de cette association et on note :
%\begin{itemize}
%\item $F$ l'évènement \og le membre choisi est une femme\fg,
%\item $T$ l'évènement \og le membre choisi adhère à la section tennis \fg.
%\end{itemize}
%
%\begin{enumerate}
%\item Montrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $\frac{2}{5}$.
%\item On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.
%
%Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?
%\end{enumerate}
%
%\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}
%
%\medskip
%
%Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent
%une loterie.
%\begin{enumerate}
%\item Chaque semaine, un membre de l'association est choisi au hasard de manière indépendante pour tenir la loterie.
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer la probabilité pour qu'en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
%		\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_n$ la probabilité pour qu'en $n$ semaines consécutives, il y ait au moins un membre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.
%
%Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $p_n = 1 - \left (\frac{7}{10}\right)^n$.
%		\item Déterminer le nombre minimal de semaines pour que $p_n \geqslant 0,99$.
%	\end{enumerate}
%\item  Pour cette loterie, on utilise une urne contenant $100$ jetons ; $10$ jetons exactement sont gagnants et rapportent $20$ euros chacun, les autres ne rapportent rien.
%
%Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer $5$~\euro{} puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l'urne : il reçoit alors $20$ euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l'urne.
%
%On note $X$ la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des $5$ \euro) réalisé par un joueur lors d'une partie de cette loterie.
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
%		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  
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\end{document}  