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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{TS : exercices de bac \\(conditionnement et indépendance)}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2015 (extrait)}}
%Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2.
%On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg.
%
%On suppose que les deux événements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que 
%
%$P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.
%
%Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous :
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(10,3.4)
%%\psgrid
%\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
%\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
%\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
%\rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B}
%\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
%\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant
%uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité
%que le circuit A soit défaillant avant un an.
Les évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants, donc :

$P\left(D_1 \cap D_2 \right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2 \right)  = 0,39 \times 0,39 = \boxed{\textcolor{red}{\np{0,1521}}}$.

\item %Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'unau moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit
%défaillant avant un an.
Ici la probabilité est égale à :

$P\left(D_1 \cup D_2 \right) =  P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) - P\left(D_1 \cap D_2 \right) = 0,39 + 0,39 - \np{0,1521} = \boxed{\textcolor{red}{\np{0,6279}}}$.

\item $\overline{D_2}=\left(D_1\cap \overline{D_2}\right)\cup\left(\overline{D_1}\cap \overline{D_2}\right)$ (réunion d'évenements incompatibles) donc $p\left(\overline{D_2}\right)=p\left(D_1\cap \overline{D_2}\right)+p\left(\overline{D_1}\cap\overline{D_2}\right)$ d'où :


\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Asie juin 2013 (extrait)}}

%\medskip
% 
%Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80\,\% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20\,\% chez le fournisseur B.

\medskip
 
%10\,\% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20\,\% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.
% 
%On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : 
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item évènement A : \og la boîte provient du fournisseur A \fg{} ; 
%\item évènement B : \og la boîte provient du fournisseur B \fg{} ; 
%\item évènement S : \og la boîte présente des traces de pesticides \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.
Le grossiste a deux fournisseurs et il y a dans chaque boîte des traces de pesticides ou non. On a donc un arbre $2 \times 2$ :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=4pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$0,8$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{$0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{$0,9$}
 		}
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{$0,2$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{$0,2$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{$0,8$}
 		}
}

\end{center} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ?
En suivant la troisième branche :
		
$p\left(B \cap S\right)  = p(B) \times p_{B}\left(S \right) = 0,2 \times 0,2 = \boxed{\textcolor{red}{0,04}}$. 
		\item %Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
On calcule de même :

$p\left(A \cap \overline{S}\right)  = p(A) \times p_{A}\left(\overline{S} \right) = 0,8 \times 0,9 = 0,72$.

$\{A~;~B\}$ étant une partition de l'univers, on a donc :

$p\left(\overline{S}\right) = p\left(A \cap \overline{S}\right)  + 	p\left(B \cap \overline{S}\right)  = 0,72 + 0,16 = \boxed{\textcolor{red}{0,88}}$.
\end{enumerate} 
\item %On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. 

%Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
Il faut donc calculer :

$p_{S}(B) = \dfrac{p(S \cap B)}{p(S)}$.

On a vu que $p\left(\overline{S}\right) = 0,88$, donc $p(S) = 1 - p\left(\overline{S}\right) = 0,12$.

Donc $p_{S}(B) =\dfrac{0,2 \times 0,2}{0,12} = \dfrac{4}{12}=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{1}{3}}} \approx 0,33$ au centième près.
\end{enumerate}

\bigskip
 

\subsection{\textcolor{blue}{Liban juin 2018}}
Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

\medskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]  Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est 
$\dfrac{1}{4}$ ;
\item[$\bullet~~$] Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
\item[$\bullet~~$] La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement \og la $n\up{e}$ partie est gagnée \fg{} et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.


\begin{enumerate}
\item %Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
Illustrons la situation par un arbre :

\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_1$}\taput{ $\dfrac14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{ $\dfrac14$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_2}$}\tbput{ $\dfrac34$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{G_1}$}\tbput{ $\dfrac34$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_2$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_2}$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}


\end{center}

Alors : En appliquant la formule des probabilités totales :

\noindent $p_2=p\left(G_2\right)=p_{G_1}\left(G_2\right)p\left(G_1)\right)+p_{\overline{G_1}}\left(G_2\right)p\left(G_1\right)\\
=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{7}{16}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{p_2 = \dfrac{7}{16}}}$

\item %Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.

Arbre : 
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$G_n$}\taput{ $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{ $\dfrac14$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{ $\dfrac34$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{G_n}$}\tbput{ $1-p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$G_{n+1}$}\taput{ $\dfrac12$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{G_{n+1}}$}\tbput{ $\dfrac12$}
}
}
\end{center}
\medskip

D'après la formule des probabilités totales :

$p_{n+1}=p\left(G_{n+1}\right)=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\left(1-p_n\right)=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}$

Donc : \[\boxed{\textcolor{red}{p_{n+1}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}}}\]

\item  On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ :

%\tiny
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$p_n$& $\dfrac{1}{4}$ &\numprint{0,4375} &\numprint{0,3906} &\numprint{0,4023} &\numprint{0,3994} &\numprint{0,4001} &\numprint{0,3999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\normalsize
%Quelle conjecture peut -on émettre ?
On peut conjecturer que la suite converge vers 4.

\item  On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n_{n+1}=p_{n+1}-\dfrac{2}{5}\\
		=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{10}=-\dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{5}\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{4}u_n}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=-\dfrac{1}{4}u_n}}$.
		
		La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=-\dfrac{1}{4}}}$.
		
		\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		$u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{3}{20}}}$.
		
		Comme la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, on a, pour tout $n$, $u_n=u_1q^{n-1}=-\dfrac{3}{20}\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
		
		On en déduit : $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{5}-\dfrac{3}{20}\times \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}}}$.
		
		\item %La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
		$-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$ d'où $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}p_n=\dfrac{2}{5}=\boxed{\textcolor{red}{0,4}}$ donc la conjecture faite à partir du tableau est validée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\label{fin}
\end{document}   
