<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : corrigÃ©s A et B du contrÃ´le sur les fonctions affines et sommes de vecteurs}}\end{center}

\bigskip

\noindent Pour aller au corrigÃ© du sujet A, cliquer sur \hyperlink{sujetA}{\textbf{\textcolor{blue}{sujet A}}}\\
Pour aller au corrigÃ© du sujet B, cliquer sur \hyperlink{sujetB}{\textbf{\textcolor{blue}{sujet B}}}

\newpage
\hypertarget{sujetA}{\textbf{\textcolor{red}{}}}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© PremiÃ¨re : corrigÃ© du sujet A du contrÃ´le }}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Quelle est l'expression de $f'(x)$ pour chacune des fonctions suivantes ?

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^5=x^n$ avec $n=5$ ; $f'(x)=nx^{n-1}=5x^4$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x):=5x^4}}$

\item $f(x)=3x+7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3}}$ (fonction affine)

\item $f(x)=13$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=0}}$ (fonction constante)

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^4}=\dfrac{1}{x^n}$ ($x\neq 0$) avec $n=4$ ; $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{4}{x^5}}}$

\item $f(x)=\sqrt{x}$ ($x&gt;0$) donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Une fonction $f$ vÃ©rifie $f(3)=7$ et $f'(3)=2$.\\
%Quelle est l'Ã©quation de la tangente Ã&nbsp; la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 3.
L'Ã©quation de la tangente en $a$ est $y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a)$.\\
Avec $a3$ : $y=f'(3)(x-3)+f(3)\Leftrightarrow y=2(x-3)+7\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=2x+1}}$.



\subsection{\textcolor{blue}{(10 points)}}
Calculer les expressions de la dÃ©rivÃ©e des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=3x^2+6x-1$ ; $f'(x)=3\times 2x+6$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=6x+6=6(x+1)}}$

\item $f(x)=(3x+7)\sqrt{x}$ (pour $x&gt;0$).\\
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x=3x+7\\v(x)=\sqrt{x})\end{cases}$\\
Alors : $f'=(uv)'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=3\\v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{cases}$.\\
D'oÃ¹ : $f'(x)=3\sqrt{x}+(3x+7)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+3x+7}{Ã©\sqrt{x}}=\dfrac{6x+3x+7}{2\sqrt{x}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{9x+7}{2\sqrt{x}}}}$

\item $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-8}$ (pour $x\neq8$).\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x+3\\v(x)=x-8\end{cases}$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=2\\v'(x)=1\end{cases}$.\\
Alors : $f'((x)=\dfrac{2(x-8)-1\times (2x+3)}{(x-8)^2}=\dfrac{2\cancel{}x-16-\cancel{2x}-3}{(x-8)^2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{19}{(x-8)^2}}}$

\item $f(x)=\dfrac{2x-5}{x^2}$ (pour $x\neq 0$)\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x-5\\v(x)=x^2\end{cases}$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=2\\v'(x)=2x\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{2x^2-2x(2x-5)}{\left(x^2\right)^2}=\dfrac{2x^2-4x^2+10x}{x^4}=\dfrac{-2x^2+10x}{x^4}=\dfrac{2x(-x+5)}{x^4}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{2(-x+5)}{x^3}}}$

\item $f(x)=(7x-2)^5$.\\
$f=u(ax+b)$ avec $\begin{cases}a=7\\b=-2\\u(x)=x^5\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=a\times u'(ax+b) $ avec $u'(x)=5x^4$.\\
On en dÃ©duit : $f'(x)=7\times 5(7x-2)^4$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=35(Ã¨x-2)^4}}$

\item $f(x)=\dfrac{3x^2+5x-2}{x^2+1}$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=3x^2+5x-2\\v(x)=x^2+1\end{cases}$.\\`
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=6x+5\\v'(x)=2x\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{(6x+5)\left(x^2+1\right)-2x\left(3x^2+5x-2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\\
=\dfrac{6x^3+6x+5x^2+5-\left[6x^3+10x^2-4x\right]}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{6x^3+6x+5x^2+5-6x^3-10x^2+4x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{-5x^2+10x+5}{\left(x^2+1\right)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5\left(-x^2+2x+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}}}$
\end{enumerate}



\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Une fonction $f$ a pour reprÃ©sentation graphique la courbe $\mathscr{C}_f$ ; celle-ci est reprÃ©sentÃ©e ci-dessous, ainsi que les tangentes Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ aux points $A$, $B$ et $C$.
\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-5)(9,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-5,-5)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-5)(9,5)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-5,-4)(-4,-4)(-4,-1)(-3,1)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-3,1)(-2,3)(-2,2)(-1,2)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-1,2)(0,2)(3,4)(4,1)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](4,1)(5,-2)(7,3)(8,-2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-3,1)(-1,2)(4,1)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(-4,-1)(-2,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(3,4)(5,-2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(-2,2)(0,2)
\uput[u](-3,1){A}
\uput[u](-1,2){B}
\uput[ur](4,1){C}
\uput[u](7,0.3){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
%Que valent $f'(-3)$, $f'(-1)$ et $f'(4)$ ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f'(-3)=2}}$ (coefficient directeur de la tangente au point A d'abscisse -3)

\item $\boxed{\textcolor{red}{f'(-1)=0}}$ (tangente horizontale en B)

\item $\boxed{\textcolor{red}{f'(4)=-3}}$ (coefficient directeur de la tangente au point C d'abscisse -4)
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


\setcounter{subsection}{0}
\hypertarget{sujetB}{\textbf{\textcolor{red}{}}}
\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© PremiÃ¨re : corrigÃ© du sujet B du contrÃ´le }}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Quelle est l'expression de $f'(x)$ pour chacune des fonctions suivantes ?

\begin{enumerate}
\item $f(x)=x^7=x^n$ avec $n=7$ donc $f'(x)=nx^{n-1}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=7x^6}}$

\item $f(x)=7x+3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=7}}$ (fonction affine)

\item $f(x)=15$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=0}}$ (fonction constante)

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$ ($x\neq 0$) ; $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n=3$ donc $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ d'oÃ¹ : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{3}{x^4}}}$

\item $f(x)=\sqrt{x}$ ($x&gt;0$) donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Une fonction $f$ vÃ©rifie $f(2)=5$ et $f'(2)=4$.\\
%Quelle est l'Ã©quation de la tangente Ã&nbsp; la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 2.
L'Ã©quation de la tangente en $a$ est $y=f'(a)\left(x-a\right)+f(a)$.\\
Avec $a=2$ : $y=f'(2)(x-2)+f(2)\Leftrightarrow y=4(x-2)+5\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=4x-3}}$.



\subsection{\textcolor{blue}{(10 points)}}
Calculer les expressions de la dÃ©rivÃ©e des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=5x^2+7x-2$ ; $f'(x)=5\times 2x+7=10x+7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=10x+7}}$

\item $f(x)=(5x+4)\sqrt{x}$ (pour $x&gt;0$) ; \\
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x)=5x+4\\v(x=\sqrt{x})\end{cases}$.\\
$f'=(uv)'=u'v+uv'$ saved $\begin{cases}u'(x)=5\\v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=5\sqrt{x}+(5x+4)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{5\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+5x+4}{2\sqrt{x}}=\dfrac{10x+5x+4}{2\sqrt{x}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{15x+4}{2\sqrt{x}}}}$

\item $f(x)=\dfrac{3x+5}{x-9}$ (pour $x\neq 98$)\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=3x+5\\v\left[(x)=x-9\right]\end{cases}$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=3\\v'(x)=1\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{3(x-9)-(3x+5)}{(x-9)^2}=\dfrac{3x-27-3x-5}{(x-9)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{32}{(x-9)^2}}}$

\item $f(x)=\dfrac{3x-2}{x^2}$ (pour $x\neq 0$)\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=3x-2\\v(x)=2x\end{cases}$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=3\\v'(x)=2x\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{3x^2-2x(3x-2)}{\left(x^2\right)^2}=\dfrac{3x^2-6x^2+4x}{x^4}=\dfrac{-3x^2+4x}{x^4}=\dfrac{x(-3x+4)}{x^4}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{-3x+4)}{x^3}}}$


\item $f(x)=(5x-3)^6$ : $f(x)=u(ax+b)$ avec $\begin{cases}a=5\\b=-3\\u(x)=x^6\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=a\times u'(ax+b)$ avec $u'(x)=6x^5$.\\
D'oÃ¹ : $f'(x)=5\times 6(5x-3)^5==30(5x-3)^5$. $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=30(5x-3)^5}}$.

\item $f(x)=\dfrac{5x^2+7x-2}{x^2+1}$\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=5x^2+7x-2\\v(x)=x^2+1\end{cases}$.\\`
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=10x+7\\v'(x)=2x\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=\dfrac{(10x+7)\left(x^2+1\right)-2x\left(5x^2+7x-2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\\
=\dfrac{10x^3+10x+7x^2+7-\left[10x^3+14x^2-4x\right]}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{10x^3+10x+7x^2+7-10x^3-14x^2+4x}{\left(x^2+1\right)^2}=\dfrac{-7x^2+14x+7}{\left(x^2+1\right)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7\left(-x^2+2x+1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}}}$


\end{enumerate}



\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Une fonction $f$ a pour reprÃ©sentation graphique la courbe $\mathscr{C}_f$ ; celle-ci est reprÃ©sentÃ©e ci-dessous, ainsi que les tangentes Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ aux points $A$, $B$ et $C$.
\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-5)(9,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-5,-5)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-5)(9,5)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-5,-4)(-4,-4)(-4,-1)(-3,1)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-3,1)(-2,3)(-2,2)(-1,2)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](-1,2)(0,2)(3,4)(4,1)
\psbezier[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](4,1)(5,-2)(7,3)(8,-2)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-3,1)(-1,2)(4,1)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(-4,-1)(-2,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(3,4)(5,-2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(-2,2)(0,2)
\uput[u](-3,1){A}
\uput[u](-1,2){B}
\uput[ur](4,1){C}
\uput[u](7,0.3){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

%Que valent $f'(-3)$, $f'(-1)$ et $f'(4)$ ?

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f'(-3)=2}}$ (coefficient directeur de la tangente au point A d'abscisse -3)

\item $\boxed{\textcolor{red}{f'(-1)=0}}$ (tangente horizontale en B)

\item $\boxed{\textcolor{red}{f'(4)=-3}}$ (coefficient directeur de la tangente au point C d'abscisse -4)
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>