\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Rappels et compléments sur la dérivation}}\end{center} \tableofcontents \subsection{\textcolor{red}{Composée de deux fonctions}} \subsubsection{\textcolor{blue}{Exemple : }} Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{2x+5}$.\\ Si on veut calculer $f(3)$, on commence par calculer $2\times 3+5$ \textbf{puis} $\sqrt{2\times 3+5}$.\\ Schématiquement : on commence par calculer $2x+5$ puis $\sqrt{2x+5}.\\ $$f:x\mapsto 2x+5\mapsto \sqrt{2x+5}$.\\ On applique donc d'abord la fonction $x\mapsto 2x+5$, puis la fonction racine carrée. On dit qu'on a composé la fonction affine par la fonction racine carrée. \subsubsection{\textcolor{blue}{Notations}} Notons $u$ la fonction carré : $u(x)=3x+5$ et $v$ la fonction racine carrée : $v(x)=\sqrt{x}$.\\ Schématiquement : $f:x\xrightarrow[]{u} y=2x+5\xrightarrow[]{v} \sqrt{y}=\sqrt{2x+5}$.\\ On note : $f=v\circ u$, composée de $u$ par $v$.\\ Donc : $v\circ u(x)=v\left(u\left(x\right)\right)$.\\ \danger : \fbox{\textcolor{red}{on commence par la fonction écrite la plus à droite}}. \newpage \subsubsection{\textcolor{blue}{Exercice}} Écrire les fonctions suivantes comme composée de deux fonctions : \begin{enumerate}[a)] \item $f(x)=\left(x^2+3x+5\right)^2$.\\` $f=u\circ v$ avec $v(x)=x^2+3x+5$ et $u(x)=x^2$ \item $g(x)=\mathrm{e}^{x^2+3}$\\ $f=u\circ v$ avec $v(x)=x^2$ et $u(x)=\mathrm{e}^{x}$ \item $h(x)=\sqrt{x^2+1}$\\ $f=u\circ v$ avec $v(x)=x^2+1$ et $u(x)=\sqrt{x}$ \end{enumerate} \subsection{\textcolor{red}{Dérivée de la composée de quelques fonctions :}} \subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $\mathbf{f\circ g}$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème admis}} Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $J$ et $f$ une fonction définie et dérivable sur $J$.\\ Alors $f\circ g$ est dérivable et $\left(f\circ g\right)'=g'\times \left(f'\circ g\right)$.\\ Pour tout $x\in I$, $\left(f\circ g\right)'(x)=g'(x)\times f'(g(x))$. \end{bclogo} \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : Soit $x_0$ un réel de l'intervalle $I$.\\ On doit montrer que $\dfrac{f\circ g(x)-f\circ g\left(x_0\right)}{x-x_0}$ admet une liste finie quand $x$ tend vers $x_0$.\\ Or : $\dfrac{f\circ g(x)-f\circ g\left(x_0\right)}{x-x_0}=\dfrac{f\circ g(x)-f\circ g\left(x_0\right)}{\textcolor{red}{g(x)-g\left(x_0\right)}}\times \dfrac{\textcolor{red}{g(x)-g\left(x_0\right)}}{x-x_0} $.\\ $g$ est dérivable en $x_0$ donc $\lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{g(x)-g\left(x_0\right)}{x-x_0}=g'\left(x_0\right)$..\\ $g$ est continue en $x_0$, donc $\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=g\left(x_0\right)$.\\ $f$ est dérivable en $f\left(x_0\right)$ donc $\lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f\circ g(x)-f\circ g\left(x_0\right)}{\textcolor{red}{g(x)-g\left(x_0\right)}}=f'\left(g\left(x_0\right)\right)=f'\circ g\left(x_0\right)$.\\ On en déduit que : $(f\circ g)'=g'\times f'\circ g$ \subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $\mathbf{x\mapsto \sqrt{u(x)}}$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Soit $u$ une fonction définie, positive et dérivable sur un intervalle I., de fonction dérivée $u'$.\\ La fonction $f$ définie sur I par $f:x\mapsto\sqrt{u(x)}$ est dérivable en tout nombre $x$ tel que $u(x)\neq 0$ et \\ $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$. \end{bclogo} \bigskip %\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\ % % %\textcolor{blue}{Démonstration : }\\ %Soit $x\in I$ tel que $u(x)>0$. Soit J un intervalle de I contenant I.\\ %Soit $h$ un réel non nul, tel que $x+h\in J$.\\ %Soit $A(h)=\dfrac{\sqrt{u(x+h)-u(x)}}{h}$ et on étudie la limite quand $h$ tend vers 0.\\ %$A(h)=\dfrac{\left[\sqrt{u(x+h)}-\sqrt{u(x)}\right]\times \textcolor{red}{\left[\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}\right]}}{\textcolor{red}{\left[\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}\right]}}= %\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h\left[\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}\right]}$ (avec $\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}>0$).\\ %Or, $\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}\right)=u'(x)$ ; $\lim_{h\rightarrow 0}u(x+h)=u(x)$ par continuité de $u$ donc $\lim_{h\rightarrow 0}\left[\sqrt{u(x+h)}+\sqrt{u(x)}\right]=2\sqrt{x}$.\\ %On en déduit que $\lim_{h\rightarrow 0}A(h)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ cqfd.\\ On applique la formule de dérivations d'une fonction composée avec $g=u$ et $f:x\mapsto \sqrt{x}$. \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} $f(x)=\sqrt{3x^{2}+5x+7}$ définie sur $\mathbb{R}$.\\ $f(x)=\sqrt{u(x)}$ avec $u(x)=3x^{2}+5x+7$ et $u'(x)=6x+5$.\\ Alors : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{6x+5}{2\sqrt{3x^{2}+5x+7}}}}$.\\ \subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $x\mapsto u^{n}(x)$, $n\in\mathbb{N}^{*}$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$. Soit $u'$ sa fonction dérivée. et soit $n$ un entier relatif non nul.\\ La fonction $u^{n}$ est dérivable et $\left(u^{n}\right)'=nu'\times u^{n-1}$. \end{bclogo} \bigskip On applique la formule de dérivation d'une fonction composée avec $g=u$ et $f(x)=x^n$. \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} Soit $f:x\mapsto \left(3x^{2}+5x-7\right)^{5}$ ; $f=u^{5}$ avec $u(x)=\left(3x^{2}+5x-7\right)^{5}$.\\ On a alors $f'=\left(u^{7}\right)'=7u'u^{7-1}=7u'u^6$ avec $u'(x)=6x+5$.\\ Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=7(6x+5)\left(3x^{2}+5x-7\right)^{6}}}$. \subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $\dfrac{1}{u}$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Soit $u$ une fonction définie, non nulle et dérivable sur un intervalle $I$. Soit $u'$ sa fonction dérivée. et soit $n$ un entier relatif non nul.\\ La fonction $\dfrac{1}{u^{n}}$ est dérivable et $\left(u^{n}\right)'=-n\times \dfrac{u'}{u^{n+1}}$. \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : Soit $f:x\mapsto \dfrac{1}{\left(x^{2}+x+1\right)^{5}}$ sur $\mathbb{R}$.\\ On a $f(x)=\dfrac{1}{\left(x^{2}+x+1\right)^5}$ donc $f=\dfrac{1}{u^n}$ avec $\left\{\begin{array}{l}n=5\\u(x)=x^{2}+x+1\end{array}\right.$.\\ $f'=-n\dfrac{u'}{u^{n+1}}=-5\times \dfrac{u'}{u^6}$ avec $u'(x)=2x+1$.\\ Par conséquent : $f'(x)=-\dfrac{5(2x+1)}{\left(x^{2}+x+1\right)^{6}}$ \newpage \subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de la fonction $x\mapsto f(ax+b)$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Soient $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ et deux nombres $a$ et $b$.\\ La fonction $g:x\mapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et a pour dérivée $g'x\mapsto a\times f'(ax+b)$. \end{bclogo} On applique la formule de dérivation d'une fonction composée avec $g(x)=ax+b$. \textbf{\textcolor{red}{Exemple : }} Soit $f:x\mapsto \cos(2x+3)$ ; $f'(x)=2\cos'(2x+3)=\boxed{\textcolor{red}{-2\sin(2x+3)}}$. \subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $\mathrm{e}^{u}$}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} On suppose $u$ dérivable sur jun intervalle $I$.\\ Alors $\mathrm{e}^{u}$ est dérivable et $\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\mathrm{e}^{u}$ \end{bclogo} \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} Soit $f(x)=\mathrm{e}^{x^2+\frac1x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$.\\ $f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$.\\ $f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)=2x-\dfrac{1}{x^2}$.\\ Alors : $f'(x)=\left(2x-\dfrac{1}{x^2}\right)\mathrm{e}^{x^2+\frac1x}=\boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{x^3-1}{x^2}\right)\mathrm{e}^{x^2+\frac1x}}}$ \subsection{\textcolor{red}{Convexité d'une fonction}} \subsubsection{\textcolor{blue}{Activité B page 1}} \subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction convexe}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et si la dérivée $f'$ est elle-même dérivable, on note $f''$ la dérivée de $f'$, donc $f''=\left(f'\right)'$. \end{bclogo} \bigskip {\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.\\ On dit que $f$ est \textbf{\textcolor{red}{convexe}} sur $I$ lorsque $\mathscr{C}_f$ est en dessous de chacune de ses sécantes (ou cordes) entre deux points d'intersection.\\ On dit que $f$ est \textbf{\textcolor{red}{concave}} sur $I$ lorsque $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de chacune de ses sécantes (ou cordes) entre deux points d'intersection. \end{bclogo} Exemple : c'est le cas de la fonction carré, représentée ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=0.65,algebraic=true} \begin{pspicture*}(-3,-1)(3,9) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3,9) \psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200,linecolor=red]{-2.9}{3.9}{x^2} \psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](-2,4)(2.3153827092276362,5.360997090190309) \uput[r](2,4){$\mathscr{C}$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,4) \rput[bl](-1.92,4.2){$A$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2.3153827092276362,5.360997090190309) \rput[bl](2.4,5.56){$B$} \end{pspicture*} \end{center} Exemple de fonction concave : la fonction racine carrée, représentée ci-dessous : \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-1)(9,4) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(9,4) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(9,4) \psplot[linecolor=red,linewidth=2pt,plotpoints=499]{0}{9}{sqrt(x)} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0.4,.63)(5,2.236) \psline[linewidth=2pt,linecolor=blue](0.4,.63)(5,2.236) \uput[d](6,2.45){$\mathscr{C}_f$} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux fois dérivable.\\ Les quatre propriétés suivantes sont équivalentes : \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $f$ est convexe sur $I$. \item La courbe représentative de $f$ est entièrement située au-dessus de ses tangentes. \item $f'$ est croissante sur $I$. \item $f''$ est positive sur $I$ \end{enumerate} \end{bclogo} \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration partielle}} : montrons que si $f''$ est positive, $\mathscr{C}$ est au-dessus de ses tangentes.\\ Soit $a$ un réel de $I$ ; l'équation de la tangente est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\ Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=f(x)-\left[f'(a)(x-a)+f(a)\right]$ (différence des ordonnées d'un point de $\mathscr{C}$ et d'un point de la tangente en $a$ de même abscisse).\\ $g$ est deux fois dérivable comme différence de fonctions deux fois dérivables.\\ $g'(x)=f'(x)-f'(a)$ car la dérivée de la fonction affine $x\mapsto f'(a)(x-a)+f(a)$ est $f'(a)$, coefficient directeur de la tangente.\\ Alors = $g''(x)=f''(x)$.\\ Par hypothèse, $f''(x)\geqslant 0$ donc $g''(x)\geqslant 0$.\\ On en déduit que $g'$ est croissante, avec $g'(a)=f'(a)-f'(a)=0$.\\ $g$ est donc décroissante pour $x\leqslant a$ puis croissante pour $x\geqslant a$, avec $g(a)=0$.\\ On en déduit le tableau de variation de $g$ : \begin{center} \begin{variations} x&&&a&&\\ \hline g'(x)&&-&\z&&+&\\ \hline \m{g(x)}&&\d&0&\c&\\ \hline \end{variations} \end{center} Le minimum de $g$ est 0, donc $g(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in I$. \bigskip \noindent $\mathscr{C}$ est bien au-dessus de sa tangente. \noindent \textbf{\textcolor{red}{Illustration ci-dessous}} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-9.278243902439023,-10.190458536585366)(13.887648780487806,8.040995121951221) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=2,Dy=2,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-2)(10,9) \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=200]{-4}{9}{x^(2)/10} \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue]{-4}{9}{(-1.2358401388309066--0.7030903608586613*x)/1} \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](7.6624553858264495,0)(7.6624553858264495,5.871322253978077) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](7.6624553858264495,5.871322253978077)(0,5.871322253978077) \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](7.6624553858264495,4.151558383453205)(0,4.151558383453205) \psdots[dotstyle=*](3.5154518042933063,1.2358401388309062) \rput[bl](3.629209756097562,1.4963707317073178){$A$} \psdots[dotstyle=*](7.6624553858264495,5.871322253978077) \rput[bl](7.758556097560977,6.119160975609757){$M$} \psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](7.6624553858264495,0) \rput[bl](7.758556097560977,0.19783414634146407){$x$} \psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.6624553858264495,4.151558383453205) %\rput[bl](7.758556097560977,4.353151219512196){$B$} \psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0,5.871322253978077) \uput[l](-0.3,5.87){$f(x)$} \psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](0,4.151558383453205) \uput[l](-0.3,4.15){$f'(a)(x-a)+f(a)$} %\rput[bl](3.8110048780487817,6.300956097560977){$i$} %\rput[bl](3.8110048780487817,4.58688780487805){$j$} \uput[d](3.52,0){$a$} \uput[l](-0.2,1.24){$f(a)$} \psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](3.52,0)(3.52,1.24) \psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,1.24)(3.52,1.24) \uput[u](-2,0.4){$\mathscr{C}$} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $f$ est concave si $f'$ est décroissante ou si $f''<0$ \subsubsection{\textcolor{blue}{Point d'inflexion}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Un point d'inflexion est un point où la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente.\\ La fonction change alors de convexité ; elle passe de fonction convexe à concave oui réciproquement. \end{bclogo} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}} Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $I$.\\ La courbe $\mathscr{C}_f$ admet un point d'inflexion au point abscisse $a$ si, et seulement si, $f''$ s'annule en changeant de signe en $a$. \end{bclogo} \subsubsection{\textcolor{blue}{Exemple 1}} $f(x)=x^3$.\\ $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=6x$ qui change de signe en 0.\\ $\mathscr{C}$ admet un point d'inflexion en 0. La courbe traverse sa tangente en O. \begin{center} \psset{xunit=1.5,yunit=0.7,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-2,-8)(2,8) \psaxes[linewidth=0.8pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-8)(2,8) %\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-8)(2,8) \psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{2}{x^3} \psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{<->}(-0.5,0)(0.5,0) \end{pspicture} \end{center} \newpage \subsubsection{\textcolor{blue}{Exemple 2}} Soit la fonction $f$définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-6x^2+3x+1$.\\ Soit $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.\\ $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f''( x ) = 6x-12=6(x-2)$.\\ $f''$ s'annule donc une seule fois en changeant de signe en $x=2$\\ Le point M de coordonnées (2~;~-9)est donc le seul point d'inflexion de la courbe, comme on peut le vérifier sur sa représentation graphique. \begin{center} \psset{xunit=1.5,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-20)(6,8) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=4]{->}(0,0)(-1,-20)(6,8) %\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-20)(5,4) \psplot[linecolor=blue]{-1}{5.5}{x^3-6*x^2+3*x+1} % \psplotTangent{2}{2}{\F} \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1}{3}{9-9*x} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,-9) \uput[r](2,-9){$M$} \end{pspicture} \end{center} \label{fin} \end{document}