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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices III et IV de la feuille d'exercices \no 2}}\end{center}

\setcounter{subsection}{2}
\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie -- 2013}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On représente le graphe probabiliste associé à la situation: 

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.8)(6,1.2)
\Rnode{H}{$H$} \hskip 4cm \Rnode{P}{$P$}%           définition des sommets
\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%    paramètres
\ncarc{->}{H}{P} \Aput{0,14}%                       arc pondéré partant de H
\ncarc{->}{P}{H} \Aput{0,06}%                       arc pondéré partant de P
\nccircle[angleA=90]{->}{H}{4mm}   \Bput{0,86}%     boucle autour de H
\nccircle[angleA=-90]{->}{P}{.4cm} \Bput{0,94}%     boucle autour de P
\end{pspicture}

		\item 		
D'après le cours,  la matrice de transition est
$\boxed{\textcolor{red}{M=
\begin{pmatrix}
0,86 & 0,14 \\ 0,06 & 0,94
\end{pmatrix}}}$
		
	\end{enumerate} 

\item On appelle $E_{n} = \left(h_{n}\quad  p_{n}\right)$ la matrice ligne de l'état probabiliste de l'année $2010 + n$;
donc $h_n$ désigne la probabilité qu'un habitant de Girouette vote pour le parti Hirondelle l'année $2010+n$, et $p_n$ désigne la probabilité qu'un habitant de Girouette vote pour le parti Phenix cette même année.
 
On a donc $\boxed{\textcolor{red}{E_{0} = (0,7\quad 0,3)}}$.
 
$E_1=E_0 \times M = 
\begin{pmatrix} 0,7 & 0,3 \end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} 0,86 & 0,14 \\ 0,06 & 0,94 \end{pmatrix}\\
\phantom{E_1} =
\begin{pmatrix}
0,7 \times 0,86 + 0,3 \times 0,06 & 0,7 \times 0,14 + 0,3 \times 0,94
\end{pmatrix} =
\boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix}
0,62 & 0,38
\end{pmatrix}}}$

Donc en 2011, la probabilité qu'un habitant de Girouette vote pour le parti Hirondelle est $0,62$ et la probabilité qu'il vote pour le parti Phenix est de $0,38$. On peut dire aussi que le parti Hirondelle recueille $62\,\%$ des voix, et le parti Phenix $38\,\%$.

$E_4 = E_3 \times M = E_2 \times M \times M = E_1 \times M \times M \times M = \boxed{\textcolor{red}{E_1 \times M^3}}$

\`A la calculatrice, on trouve 
$E_4 \approx 
\boxed{\textcolor{red}{\begin{pmatrix} 0,46& 0,54 \end{pmatrix}}}$

On peut dire  qu'en 2014 le parti Hirondelle devrait recueillir à peu près $46\,\%$ des voix, et le parti Phenix $54\,\%$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a : $h_{n+1} = 0,8h_{n} + 0,06$. 
Comme $E_{n+1}=E_n \times M$, on peut dire que 		
$\left\lbrace 		
\begin{array}{l @{\ =\ } l}
h_{n+1} & 0,86\,h_n + 0,06\,p_n\\
p_{n+1} & 0,14\,h_n+0,94\,p_n
\end{array}
\right. $

Donc $h_{n+1}=0,86\,h_n+0,06\,p_n$; or, pour tout entier $n$, $h_n+p_n=1$ donc $p_n=1-h_n$. 
On peut donc écrire:  \\
$h_{n+1}=0,86h_n+0,06\left(1-h_n\right( = 0,86h_n + 0,06 - 0,06h_n = \boxed{\textcolor{red}{0,8h_n + 0,06}}$.

		\item On définit la suite $\left(u_{n}\right)$ par : pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = h_{n} - 0,3$.

$u_{n+1}=h_{n+1}-0,3 = 0,8h_n+0,06-0,3$; or $u_n=h_n-0,3$ donc $h_n=u_n+0,3$.

$u_{n+1}=0,8\left(u_n+0,3\right(+0,06-0,3 = 0,8u_n+0,24+0,06-0,3=\boxed{\textcolor{red}{0,8u_n}}$

$u_0=h_0-0,3=0,7-0,3=0,4$

Donc la suite $\left(u_n\right($ est une suite \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de premier terme $u_0=0,4$ et de raison $q=0,8$.


		\item 		
D'après le cours, on peut dire que, pour tout entier $n$, $u_n=u_0 \times q^n = \boxed{\textcolor{red}{0,4 \times 0,8^n}}$.
Or $h_n=u_n+0,3$ donc, pour tout entier $n$, $h_n=\boxed{\textcolor{red}{0,3+0,4\times 0,8^n}}$.		
		
	\end{enumerate} 
	
\item  
On cherche le plus petit entier $n$ tel que $h_n<0,32$ ce qui revient à résoudre l'inéquation $0,3 + 0,4\times 0,8^n < 0,32$.

$\begin{array}{@{} l @{\ \iff\ } l @{\ \iff\ } l}
0,3 + 0,4\times 0,8^n < 0,32 & 0,4\times 0,8^n < 0,02 & 0,8^n < \dfrac{0,02}{0,4}\\[5pt]
 &  0,8^n < 0,05 & \ln\left(0,8^n\right( < \ln 0,05\\[5pt]
 &  n\ln 0,8 < \ln 0,05 & n > \dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,8} \text{ car } \ln 0,8<0
\end{array}$

$\dfrac{\ln 0,05}{\ln 0,8} \approx 13,4$ donc $n=14$; la probabilité qu'un électeur choisi au hasard vote pour le parti Hirondelle sera inférieure à $0,32$ à partir de 14 années.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}}: on peut trouver à la calculatrice que $h_{13} \approx 0,322 >0,32$ et que $h_{14} \approx 0,318<0,32$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{France, septembre 2004}}

On considère une grande population d'acheteurs de yaourts. \\
On suppose que l'effectif de cette population est stable.\\
Une entreprise commercialise des yaourts sous la marque Y. \\
$30\%$ des acheteurs de yaourts achètent la marque Y. \\
L'entreprise décide de faire une campagne publicitaire pour
améliorer ses ventes. \\
Au bout d'une semaine, une enquête indique que :

$\bullet~20\%$ des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente
des yaourts des autres marques achètent maintenant des yaourts Y.

$\bullet~10\%$ des acheteurs de yaourts qui achetaient la semaine précédente
des yaourts Y achètent maintenant des yaourts des autres marques.

  L'entreprise continue sa campagne publicitaire. On fait l'hypothèse
que l'évolution des résultats obtenus à l'issue de la première semaine de campagne
publicitaire est la même les semaines suivantes.

\begin{enumerate} \item %Dessiner le graphe probabiliste correspondant à cette situation.
Notons $Y$ l'événement \og{}acheter des yaourts de la marque Y\fg{} et $\overline{}$ l'événement \og{}acheter des yaourts d'un autre marque\fg{}.\\
On obtient le graphe probabiliste :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,2.1)
\cnodeput(1,1){A}{$Y$}
\cnodeput(6,1){B}{$\overline{Y}$}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{0,9}
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{0.4cm}\Bput{0,8}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\Aput{0,1}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\Aput{0,2}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Soit $X_0 = \begin{pmatrix}0,3 &  0,7\end{pmatrix}$ la matrice ligne décrivant l'état initial de
la population.

\begin{enumerate} \item %Donner la matrice de transition (notée A) associée au graphe précédent.
La matrice de transition (notée A) associée au graphe probabiliste précédent est $\boxed{\textcolor{red}{A=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,2&0,8\end{pmatrix}}}$

\item %Déterminer la probabilité qu'un acheteur de yaourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque Y.
Si on note $X_n$ la matrice correspondant à l'état probabiliste au bout de $n$ semaines de campagne publicitaire, on a $\boxed{\textcolor{red}{P_2=P_0\times A^2}}$.\\
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{P_2=\begin{pmatrix}0,487&0,513\end{pmatrix}}}$.\\
La probabilité qu'un acheteur de yaourts choisi au hasard après deux semaines de campagne publicitaire, achète des yaourts de la marque $Y$ est donc \boxed{\textcolor{red}{0,487}}.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
       \item %Vérifier que $A=N+0,7R$, où $N=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}&\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} &\frac{1}{3} \end{pmatrix}$ et $R=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$
       On pose $N=\begin{pmatrix} \frac{2}{3}&\frac{1}{3} \\\\ \frac{2}{3} &\frac{1}{3} \end{pmatrix}$ et $R=\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\ \\ -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$.\\
       Alors : $N+0,7R=N+\dfrac{7}{10}R=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{10}\times \dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{10}\times \dfrac{1}{3}\\\\
\dfrac{2}{3}-\dfrac{7}{10}\times \dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{10}\times \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{30}&\dfrac{1}{3}-\dfrac{7}{30}\\\\
\dfrac{2}{3}-\dfrac{14}{30}&\dfrac{1}{3}+\dfrac{14}{30}\end{pmatrix}\\
=\begin{pmatrix}\dfrac{9}{10}&\dfrac{1}{10}\\\\\dfrac{1}{5}&\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,9&0,1\\0,2&0,8\end{pmatrix}=A$\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{A=N+0,7R}}$

	\item %Calculer $N^2$, $R^2$, $NR$ et $RN$ puis en déduire $A^n$, pour $n$ entier naturel.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 	À la calculatrice, on trouve $N^=N$, $R^2=R$, $NR=RN=0$

\item Alors : $A^2=(N+0,7R)^2=(N+0,7R)(N+0,7R)=N^2+0,7NR+0,7RN+0,7^2R^2\\
=N^2+0,7\times 0+0,7\times 0+0,7^2R^2=\boxed{\textcolor{red}{N+0,7^2R}}$ puisque $N^2=N$ et $R^2=R$.\\

\bigskip

$A^3=(N+0,7R)\left(N+0,7^2R\right)=N^2+0,7^2NR+0,7RN+0,7^3R^2=N+0+0+0.7^3R=\boxed{\textcolor{red}{N+0,7^3R}}$.\\

\bigskip

On en déduit, en généralisant que, pour tout $n\geqslant 0$, $\boxed{\textcolor{red}{A^n=N+0,7^nR}}$.\\


Donc$\boxed{\textcolor{red}{A^n=\begin{pmatrix}\dfrac{2+0,7^n}{3}&\dfrac{1-0,7^n}{3}\\\\
\dfrac{2-2\times 0,7^n}{3}&\dfrac{1+0,7^n}{3}\end{pmatrix}}}$
\end{enumerate}


\item %L'entreprise peut-elle espérer atteindre une part de marché de $70\%$ ? Justifier.
Alors $X_n=P_0A^n= \begin{pmatrix}0,3 &  0,7\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{2+0,7^n}{3}&\dfrac{1-0,7^n}{3}\\\\
\dfrac{2-2\times 0,7^n}{3}&\dfrac{1+0,7^n}{3}\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}0,3\times\dfrac{2+0,7^n}{3}+0,7\times  \dfrac{2-2\times 0,7^n}{3}&0,3\times \dfrac{1-0,7^n}{3}+0,7\times \dfrac{1+0,7^n}{3}\end{pmatrix}$.\\
La probabilité qu'à la n\ieme{} semaine, un acheteur achète des yaourts de la marque $Y$ est\\
%
$a_n=0,3\times\dfrac{2+0,7^n}{3}+0,7\times  \dfrac{2-2\times 0,7^n}{3}=\dfrac{2\times 0,3+0,3\times 0,7^n+0,3\times 2-0,3\times 0,7^n}{3}\\
=\dfrac{2+(0,3-2\times 0,7)\times 0,7^n}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2-1,1\times 0,7^n}{3}}}$.\\

\bigskip

$-1<0,7<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,7^n=0$ d'où $\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0,3\times \dfrac{2}{3}+0,7\times \dfrac{2}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}\approx 66,7\:\%}}$ et $\left(a_n\right)$ est une suite croissante.\\
Cette probabilité n'atteindra donc \textbf{\textcolor{red}{jamais}} 70\:\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  