<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© : contrÃ´le sur les suites numÃ©riques (2 heures) }}\end{center}
\emph{Le barÃ¨me est sur 30 points ; je multiplierai la note par $\dfrac{2}{3}$ pour avoir une note sur 20.\\
Pensez Ã&nbsp; Ã©crire votre nom sur la copie, visiblement en \textbf{CAPITALES}.}

\bigskip


\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Pour chacune des suites $\left(u_n\right)$ suivantes, calculer les quatre premiers termes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=n^2-1$

\item $u_n=5-\dfrac{3}{n+1}$ (donner les rÃ©sultats sous forme de fractions irrÃ©ductibles)
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite dÃ©finie par :\\
$\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=3u_n^2-1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}$.

\bigskip

\noindent Calculer les termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite dÃ©finie par \\
$\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=u_n+5n+1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}$.\\

\bigskip

\noindent Ã‰tudier les variations de cette suite.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
La suite $\left(u_n\right)$ est dÃ©finie par $u_n=n^2+2n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item En dÃ©duire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Une ludothÃ¨que possÃ¨de 100 jeux de sociÃ©tÃ© en 2019.\\
Chaque annÃ©e, elle donne 5\:\% de ses jeux Ã&nbsp; une Å“uvre de charitÃ© et dÃ©cide d'acheter 10 nouveaux jeux.

\begin{enumerate}[1)]
\item Combien aura-t-elle de jeux en 2020 ?

\item On note $u_n$, le nombre de jeux de sociÃ©tÃ© de la ludothÃ¨que en $2019+n$.\\
Donner l'expression de  $u_ {n+1}$ en fonction de $u_n$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}

\begin{enumerate}[1)]
\item Rappeler la dÃ©finition d'une suite arithmÃ©tique.

\item $\left(u_n\right)$ est la suite arithmÃ©tique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r=4$.\\
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.

\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmÃ©tique telle que $u_5=23$ et $u_{16}=67$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est sa raison $r$ ? %r=4

\item Calculer $u_ {24}$ %$u_{24}=99$
\end{enumerate}

%\subsection{}
%Leila avait 10 jeux vidÃ©o en janvier 2019. Depuis depuis fÃ©vrier 2019, elle dÃ©cide d'acheter deux nouveaux jeux le premier jour de chaque mois.\\
% On note $u_n$ le nombre de jeux vidÃ©o de Leila en fin de mois, $n$ mois aprÃ¨s janvier.
%
%\begin{enumerate}
%\item DÃ©terminer la valeur de $u_0$.
%
%\item Justifie que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite arithmÃ©tique  et dÃ©terminer sa raison.
%
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmÃ©tique de raison  $r=3$ et de premier terme $u_0=4$.\\
Calculer la somme des 30 premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite gÃ©omÃ©trique de premier terme $u_0=2$  et de raison $q=3$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

\item Calculer $u_{10}$.

\item Calculer la somme $1+3+3^2+\cdots+3^{9}$.
\end{enumerate}

%\subsection{}
%Une ville comptait \numprint{10000} habitants en 2018. Chaque annÃ©e, le nombre d'habitants augmente de 10\:\% par rapport Ã&nbsp; l'annÃ©e prÃ©cÃ©dente.\\
%On note $u_n$ le nombre d'habitants en $2018+n$.
%
%\begin{enumerate}
%\item Donner la valeur de $u_0$ et de $u_1$.
%
%\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique et prÃ©ciser sa raison.
%
%\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(7 points)}}%\no 111 page 70 sÃ©samath
Le 1\ier{} janvier 2019, Olivier veut dÃ©poser \numprint{5000} \euro{} sur un compte en banque.\\
Il  a le choix entre deux propositions.\\

\begin{enumerate}
\item On lui propose un compte Ã©pargne avec des intÃ©rÃªts Ã&nbsp; \textbf{taux fixe}. Chaque annÃ©e, le 31 dÃ©cembre, la banque lui verserait 110 \euro{} sur son compte Ã©pargne.\\
On note $u_n$ la somme sur le compte le 1\ier{} janvier $2019+n$.

\begin{enumerate}
\item DÃ©terminer la valeur de $u_0$ et de $u_1$.

\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?

\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ en justifiant.

\item Combien aurait-il sur son compte Ã©pargne en 2040 ?

\end{enumerate}

\item On lui propose un compte en Ã©pargne avec des intÃ©rÃªts Ã&nbsp; \textbf{taux composÃ©s}.\\
Chaque annÃ©e le 31 dÃ©cembre, la banque lui verse sur son compte Ã©pargne 2\:\% de la somme disponible sur le compte, qui viennent s'ajouter Ã&nbsp; la somme de l'annÃ©e prÃ©cÃ©dente pour former le nouveau capital.\\.
On note $v_n$, la somme sur le compte le 1\ier{} janvier $2019+n$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la valeur de $v_0$ ?

\item Montrer que  $v_1=1,02v_0$.

\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ en justifiant.

\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?

\item Combien aurait-il sur son compte en banque en 2040 ?

\end{enumerate}

\item S'il dÃ©cide de laisser l'argent sur son compte pendant cinq ans, quelle offre est la plus intÃ©ressante ?

\item Ã€ l'aide de la calculatrice, dÃ©terminer Ã&nbsp; partir de combien d'annÃ©es il est plus intÃ©ressant de choisir l'offre avec des intÃ©rÃªts Ã&nbsp; taux composÃ©s ?
\end{enumerate}

%\subsection{}
%On considÃ¨re la suite dÃ©finie par $u_0=65$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1}=0,8u_n+18$.
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_ 1$ et $u_2$.
%
%\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-90$.
%\begin{enumerate}
%\item DÃ©montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique, de raison  $q=0,8$.\\
%On prÃ©cisera la valeur de $v_0$.
%
%\item Exprimer $v_n$ en fonction de $v_0$.
%
%\item DÃ©montrer alors que, pour tout naturel $n$, on a : $u_n=90-25\times 0,8^n$.
%
%\item DÃ©terminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
%\end{enumerate}
%
%\item On considÃ¨re l'algorithme ci-dessous :
%\begin{center}
%\fbox{\begin{minipage}{5cm}
%$u\leftarrow 65$\\
%$n\leftarrow 0$\\
%Tant que \dotfill\\
%\phantom{}\hspace{1cm}$u\leftarrow \dotfill$\\
%\phantom{}\hspace{1cm}$n\leftarrow \dotfill$\\
%\end{minipage}}
%\end{center}
%Recopier et complÃ©ter cet algorithme, afin qu'il dÃ©termine le plus petit entier naturel, tel que $u_n&gt;85$.
%
%\item Quelle est la valeur de la variable $n$ aprÃ¨s l'exÃ©cution de cet algorithme ?
%
%\item La sociÃ©tÃ© sociÃ©tÃ© Blocagette propose la livraison d'un panier, qui contient des fruits et des lÃ©gumes lÃ©gumes issus de l'agriculture biologique. Les clients peuvent souscrire un abonnement de 52 \euro{} pour des paniers bio hebdomadaires.\\
%En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit Ã&nbsp; cet abonnement.\\
%Les statisticiens de la sociÃ©tÃ©Blocagette  font des les hypothÃ¨ques suivantes : 
%
%\begin{itemize}
%\item d'un mois Ã&nbsp; l'autre, environ 20\:\% des abonnements sont rÃ©siliÃ©s ;
%
%\item Chaque mois, 18 particuliers supplÃ©mentaires souscrivent Ã&nbsp; l'abonnement
%\end{itemize}
%
%Selon ce modÃ¨le, la recette mensuelle de la sociÃ©tÃ© Blocagette va-t-elle dÃ©passer \numprint{4420} \euro{} durant l'annÃ©e 2018 ? Justifie la rÃ©ponse.
%
%\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>