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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle sur les inéquations du second degré}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{ \textcolor{blue}{(6 points)}}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $x(x-2)<0$.

\bigskip

\item $2x^2-5x+2\geqslant 0$.

\bigskip

\item  $(4x-5)^2\geqslant  (6x+1)^2 $.

\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{ \textcolor{blue}{(4,5 points)}}
On veut résoudre l'inéquation $\dfrac{-3x^2-4x+7}{2x+1}\geqslant 0$.
\begin{enumerate}
\item Trouver l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de l'expression $\dfrac{-3x^2-4x+7}{2x+1}$.

\item Étudier le signe du numérateur selon les valeurs de $x$.

\item Étudier le signe du dénominateur.

\item Renseigner un tableau de signes rassemblant les signes du numérateur et du dénominateur.

\item Conclure.
\end{enumerate}



\end{multicols}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2x^2-7x-7$ et $g(x=-x^2+3x+1)$.\\
Les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont représentées ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-14)(6,10)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-14)(6,10)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-5,-14)(6,10)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1.6}{5}{2*x^2-7*x-7}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-2.5}{5.6}{-x^2+3*x+1}
\uput[r](4.8,5){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](5,-9){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item Graphiquement, que peut-on dire de la position relative des deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.

\item On veut retrouver ces résultats algébriquement.
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation  $3x^2-10x-8\geqslant 0$.

\item En déduire (\textbf{en expliquant le rapport avec la question a)} !) les abscisses des points des courbes pour lesquels $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{center}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
Un terrain rectangulaire a pour longueur 30 \si{\metre} et largeur 12\si{\metre}.\\
On se propose d'aménager un chemin de largeur $x$ (partie hachurée), en mètre, le long de deux côtés consécutifs comme le montre la figure. 
La largeur $x$ du chemin doit être supérieure à 0,8 \si{\metre} et on souhaite que la partie restante du terrain ait une aire supérieure à 280 \si{\square\metre} .

\begin{enumerate}[a)]
\item Indiquer un intervalle dans lequel se trouve la largeur $x$ du chemin.

\item Vérifier que la condition sur l'aire de la partie restante se traduit par l'inéquation $x^2 - 42x + 80\geqslant 0$.

\item Résoudre cette inéquation et en déduire les valeurs possibles de la largeur $x$ du chemin. 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2,yunit=0.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-5)(35,17)
\psframe(30,12)
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(30,0)(30,12)(27,12)(27,3)(0,3)
\psline{<->}(0,-2)(30,-2)
\uput[d](15,-2){30 \si{\metre}}
\psline{<->}(32,0)(32,12)
\uput[r](32,6){12 \si{\metre}}
\psline{<->}(27,14)(30,14)
\uput[u](28.5,14){$x$}
\psline{<->}(-2,0)(-2,3)
\uput[l](-2,1.5){$x$}


\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
On veut résoudre l'inéquation \[\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x-1}-\dfrac{1}{x}>0.\]
\begin{enumerate}

\item Quel est l'ensemble $\mathscr{D}$ de définition ?

\item Montrer que, pour tout $x\in\mathscr{D}$, cette inéquation équivaut à \[\dfrac{-x^2-x+1}{x(2x+1)(3x-1)}>0.\]

\item Étudier le signe du numérateur.

\item Étudier le signe des facteurs du dénominateur.

\item En récapitulant tous les renseignements dans un seul tableau de signe, résoudre cette inéquation.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  