<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© : corrigÃ© du contrÃ´le sur les suites numÃ©riques }}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}


\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Pour chacune des suites $\left(u_n\right)$ suivantes, calculer les quatre premiers termes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=n^2-1$ :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0^2-1=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$

\item $u_1=0=1^2-1=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\item $u_2=2^2-1=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\item $u_3=3^2-1=\boxed{\textcolor{red}{8}}$
\end{enumerate}

\item $u_n=5-\dfrac{3}{n+1}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=5-\dfrac{3}{0+1}=5-3=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $u_1=5-\dfrac{3}{1+1}=5-\dfrac{3}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{2}}}$

\item $u_2=5-\dfrac{3}{2+1}=5-\dfrac{3}{3}=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $u_3=5-\dfrac{3}{3+1}=5-\dfrac{3}{4}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{17}{4}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite dÃ©finie par :\\
$\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=3u_n^2-1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}$.

\bigskip

%\noindent Calculer les termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=3u_0^2-1=3\times 0^2-1=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$

\item $u_2=3u_1^2-1=3\times (-1)^2-1=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $u_3=3u_2^2-1=3\times 2^2-1=\boxed{\textcolor{red}{11}}$

\item $u_4=3u_3^2-1=3\times 11^2-1=3\times 121-1=\boxed{\textcolor{red}{362}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2  points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite dÃ©finie par \\
$\begin{cases}u_0=0\\u_{n+1}=u_n+5n+1\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}$.\\

\bigskip

%\noindent Ã‰tudier les variations de cette suite.
Pour tout $n&lt;\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=5n+1&gt;0$ (puisque $n\geqslant 0$), donc la site $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
La suite $\left(u_n\right)$ est dÃ©finie par $u_n=n^2+2n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer $u_{n+1}-u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
$\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=\left[(n+1)^2+2(n+1)\right]-\left[n^2+2n\right]=\left[n^2+2n+1+2n+2\right]-n^2-2n\\
=\cancel{n^2}+\cancel{2n}+1+2n+2-\cancel{n^2}-\cancel{2n}=2n+3&gt;0$.\\

\item %En dÃ©duire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
On en dÃ©duit que la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Une ludothÃ¨que possÃ¨de 100 jeux de sociÃ©tÃ© en 2019.\\
Chaque annÃ©e, elle donne 5\:\% de ses jeux Ã&nbsp; une Å“uvre de charitÃ© et dÃ©cide d'acheter 10 nouveaux jeux.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Combien aura-t-elle de jeux en 2020 ?
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une baisse de 5\:\% est $\boxed{\textcolor{red}{C=1-\dfrac{5}{100}=0,95}}$.\\
En 2020, le nombre de jeux est donc : \\
$100\times 0,95+10=\boxed{\textcolor{red}{105}}$

\item On note $u_n$, le nombre de jeux de sociÃ©tÃ© de la ludothÃ¨que en $2019+n$.\\
%Donner l'expression de  $u_ {n+1}$ en fonction de $u_n$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,95u_n+10}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Rappeler la dÃ©finition d'une suite arithmÃ©tique.
Une suite $\left(u_n\right)$ est arithmÃ©tique s'il existe un nombre $r$, appelÃ© raison de la suite, temps que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n+r$ (c'est du cours !)

\item $\left(u_n\right)$ est la suite arithmÃ©tique de premier terme $u_0=2$ et de raison $r=4$.\\
%Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=u_0+r=2+4=\boxed{\textcolor{red}{6}}$

\item $u_2=u_1+r=6+4=\boxed{\textcolor{red}{10}}$

\item $u_3=u_2+r=10+4=\boxed{\textcolor{red}{14}}$
\end{enumerate}

\item %Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$, $u_n=u_0+nr$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_n=2+4n=4n+2}}\textbf{}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmÃ©tique telle que $u_5=23$ et $u_{16}=67$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est sa raison $r$ ? 
On sait que $u_n=u_p+(n-p)r$ donc \\
$u_{16}=u_5+(16-5)r$ donc $67=23+11r$ d'oÃ¹ \\
$r=\dfrac{44}{11}=4$ : $\boxed{\textcolor{red}{r=4}}$.

\item %Calculer $u_ {24}$ %$u_{24}=99$
$u_{24}=u_{16}+(24-16)r=67+8r=67+8\times 4\\
=67+32=99$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{24}=99}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmÃ©tique de raison  $r=3$ et de premier terme $u_0=4$.\\
%Calculer la somme des 30 premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
On sait que $u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\left(\dfrac{u_0+u_n}{2}\right)$.\\
Alors : $u_0+\cdots+u_{29}=(29+1)\times \dfrac{u_0+u_{29}}{2}\\
=30\times \dfrac{4+(4+29\times 3)}{2}=30\times \dfrac{95}{2}=15\times 95=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1425}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite gÃ©omÃ©trique de premier terme $u_0=2$  et de raison $q=3$.
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On a : $u_n=u_0\times q^n=\boxed{\textcolor{red}{2\times 3^n}}$

\item %Calculer $u_{10}$.
$u_{10}=2\times 3^{10}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{118098}}}$.

\item On sait que $1+q+\cdots+q^n=\dfrac{q^{n+1})-1}{q-1}$.\\
Avec $q=3$ et $n=9$, on trouve $1+3+\cdots+3^9\\
=\dfrac{3^{10}-1}{3-1}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{29524}}}$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(7 points)}}%\no 111 page 70 sÃ©samath
Le 1\ier{} janvier 2019, Olivier veut dÃ©poser \numprint{5000} \euro{} sur un compte en banque.\\
Il  a le choix entre deux propositions.\\

\begin{enumerate}
\item On lui propose un compte Ã©pargne avec des intÃ©rÃªts Ã&nbsp; \textbf{taux fixe}. Chaque annÃ©e, le 31 dÃ©cembre, la banque lui verserait 110 \euro{} sur son compte Ã©pargne.\\
On note $u_n$ la somme sur le compte le 1\ier{} janvier $2019+n$.

\begin{enumerate}
\item %DÃ©terminer la valeur de $u_0$ et de $u_1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{u_0=5000}}$ (d'aprÃ¨s l'Ã©noncÃ©).

\item $u_1=u_0+110+\numprint{5000}+110=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5110}}}$.
\end{enumerate}

\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=u_n+110}}$.

\item La suite $\left(u_n\right)$ est arithmÃ©tique, de raison $r=110$ et de premier terme $u_0=\numprint{5000}$.

\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ en justifiant.
Puisque $\left(u_n\right)$ est arithmÃ©tique, \\
$u_n=u_0+nr=\numprint{5000}+110n$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\numprint{5000}+110n}}$.

\item %Combien aurait-il sur son compte Ã©pargne en 2040 ?
2040 correspond Ã&nbsp; $n=21$ ; \\
$u_{21}=\numprint{5000}+21\times 110=\numprint{7310}$.\\
En 2040, il aura \numprint{7310} \euro.

\end{enumerate}

\item On lui propose un compte en Ã©pargne avec des intÃ©rÃªts Ã&nbsp; \textbf{taux composÃ©s}.\\
Chaque annÃ©e le 31 dÃ©cembre, la banque lui verse sur son compte Ã©pargne 2\:\% de la somme disponible sur le compte, qui viennent s'ajouter Ã&nbsp; la somme de l'annÃ©e prÃ©cÃ©dente pour former le nouveau capital.\\.
On note $v_n$, la somme sur le compte le 1\ier{} janvier $2019+n$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la valeur de $v_0$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{v_0=5000}}$

\item %Montrer que  $v_1=1,02v_0$.
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une hausse de 2\:\% est \\
$C=1+2\:\%=1+\dfrac{2}{100}=\boxed{\textcolor{red}{1,02}}$.\\
Par consÃ©quent : $v_1=1,02v_0=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5100}}}$.

\item %Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ en justifiant.
Chaque annÃ©e, le coefficient multiplicateur reste le mÃªme, donc : $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=1,02v_n}}$, pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item %Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
On en dÃ©duit que la suite $\left(v_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique, de raison $q=1,02$ et de premier terme $v_0=\numprint{5000}$.

\item %Combien aurait-il sur son compte en banque en 2040 ?
On sait que, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n$.\\
En 2040, il aurait : \\
$v_{21}=\numprint{5000}\times 1,02^{21}\approx \boxed{\textcolor{red}{7578,33\text{~\euro}}}$

\end{enumerate}

\item %S'il dÃ©cide de laisser l'argent sur son compte pendant cinq ans, quelle offre est la plus intÃ©ressante ?
$\boxed{\textcolor{red}{u_5=5550~\text{\euro}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{v_5\approx 5520,40~Â&nbsp;\text{\euro}}}$\\
Au bout de 5 ans, la premiÃ¨re offre est plus intÃ©ressante.

\item %Ã€ l'aide de la calculatrice, dÃ©terminer Ã&nbsp; partir de combien d'annÃ©es il est plus intÃ©ressant de choisir l'offre avec des intÃ©rÃªts Ã&nbsp; taux composÃ©s ?
La deuxiÃ¨me offre, avec des intÃ©rÃªts Ã&nbsp;, taux composÃ©s, est plus intÃ©ressant Ã&nbsp; partir de 11 ans.\\
$\boxed{\textcolor{red}{u_{11}=\numprint{6210}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{v_{11}\approx \numprint{6216,87}}}$
\end{enumerate}





\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>