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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle sur les inéquations du second degré}}\end{center}



\subsection{ \textcolor{blue}{(6 points)}}
%Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item Résolvons $x(x-2)<0$ :\\
$x(x-2)$ est un polynôme du second degré avec deux racines évidentes 0 et 2.\\
Il est du signe du coefficient de $x^2$, 1, donc positif, à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatifs entre les racines.\\
L'ensemble, des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]0~;~2[}}$.

\bigskip

\item Résolvons $2x^2-5x+2\geqslant 0$.\\
Le discriminant est $\Delta=(-5)^2-4\times 2\times 2=25-16=9>0$.\\
Il y a deux racines : $x_1=\dfrac{5-\sqrt{9}}{2\times 2}=\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{9}}{4}=2$.\\
$2x^2-5x+2$ est du  signe de 2 (positif) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{1}{2}&&2&&\pI\\
\hline
2x^2-5x+2&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

L'ensemble, des solutions de l'inéquation est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~\dfrac{1}{2}\right] \cup [2~;~+\infty[}}$.
\bigskip

\item  Résolvons $(4x-5)^2\geqslant  (6x+1)^2 $.\\
$(4x-5)^2\geqslant  (6x+1)^2 \Leftrightarrow (4x-5)^2-  (6x+1)^2 \geqslant 0$.\\
On reconnaît la différence de deux carrés ; on applique la troisième identité remarquable. On obtient :\\
$\left[(4x-5)+(6x+1)\right]\left[(4x-5)-(6x+1)\right]\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \left(4x-5+6x+1\right)\left(4x-5-6x-1\right)\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \left(10x-4\right)\left(-2x-6\right)\geqslant 0\\
\Leftrightarrow 2\left(5x-2\right)\times 2\left(-x-3\right)\geqslant 0\\
\Leftrightarrow 4\left(5x-2\right)\left(-x-3\right)\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \left(5x-2\right)\left(-x-3\right)\geqslant 0$ (en divisant par 4, positif).\\
Il y a deux racines évidentes : $\dfrac{2}{5}$ et $-3$.\\
Le coefficient de $x^2$ dans l'expression $\left(5x-2\right)\left(-x-3\right)$ est -5, négatif.\\
L'expression est du signe de - 5, négative, à l'extérieur, des racines est positive entre les racines.\\
L'ensemble, des solutions de l'inéquation est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[-3~;~\dfrac{2}{5}\right]}}$.

\end{enumerate}


\subsection{ \textcolor{blue}{(4,5 points)}}
On veut résoudre l'inéquation $\dfrac{-3x^2-4x+7}{2x+1}\geqslant 0$.
\begin{enumerate}
\item %Trouver l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de l'expression $\dfrac{-3x^2-4x+7}{2x+1}$.
Une fraction ne peut avoir un dénominateur nul.\\
Or $2x+1$ s'annule pour $x=-\dfrac{1}{2}$.\\
L'ensemble de définition est donc : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}}}$.

\item %Étudier le signe du numérateur selon les valeurs de $x$.
Signe de $-3x^2-4x+7$ :\\
$\Delta=(-4)^2-4\times (-3)\times 7=16+84=100>0$.\\
Le numérateur a deux racines : $x_1=\dfrac{4-\sqrt{100}}{2\times (-3)}=\dfrac{-6}{-6}=1$ et $x_2=\dfrac{4+\sqrt{100}}{-6}=-\dfrac{7}{3}$.\\
Il est du signe de -3, négatif, à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et positif entre les racines.

\item %Étudier le signe du dénominateur.
$2x+1>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}$.

\item %Renseigner un tableau de signes rassemblant les signes du numérateur et du dénominateur.
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{7}{3}&&-\dfrac{1}{2}&&1&&\pI\\
\hline
-3x^2-4x+7&&-&\z&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline
2x+1&&-&\l&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\dfrac{-3x^2-4x+7}{2x+1}&&+&\z&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Conclure.
On veut que l'expression soit supérieure ou égale à 0.\\
L'ensemble, des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{7}{3}\right] \cup \left]-\dfrac{1}{2}~;~1\right]}}.$
\end{enumerate}





\subsection{ \textcolor{blue}{(3,5 points)}}
On considère les deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x)=2x^2-7x-7$ et $g(x=-x^2+3x+1)$.\\
Les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$ sont représentées ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-14)(6,10)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-14)(6,10)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-5,-14)(6,10)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1.6}{5}{2*x^2-7*x-7}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-2.5}{5.6}{-x^2+3*x+1}
\uput[r](4.8,5){$\mathscr{C}_f$}
\uput[r](5,-9){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}
\item %Graphiquement, que peut-on dire de la position relative des deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
Graphiquement, il semble que $\mathscr{C_f}$ soit au-dessus de $\mathscr{C_g}$ sur $]-\infty~;~-0,7] \cup [4~;~+\infty]$ et en dessous sur $[-0,6~;~4]$.

\newpage


\item On veut retrouver ces résultats algébriquement.
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'inéquation  $3x^2-10x-8\geqslant 0$.\\
Résolvons l'inéquation  $3x^2-10x-8\geqslant 0$.\\
$\Delta=(-10)^2-4\times 3\times (-8)=100+96=196>0$.\\
Il y a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{10-\sqrt{196}}{2\times 3}=\dfrac{10-14}{6}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{2}{3}}}$ et $x_2=\dfrac{10+14}{6}=\boxed{\textcolor{red}{4}}$.\\
$3x^2-10x-8$ est du signe de 3, positif, à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.\\
L'inéquation a pour solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{2}{3}\right] \cup \left[4~;~+\infty\right[}}$.

\item %En déduire (\textbf{en expliquant le rapport avec la question a)} !) les abscisses des points des courbes pour lesquels $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$.
Les abscisses des points pour lesquels $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sont solutions de l'inéquation \\
$f(x)\geqslant g(x)$.\\
Or : $f(x)\geqslant g(x)\Leftrightarrow 2x^2-7x-7\geqslant g(x=-x^2+3x+1)\Leftrightarrow 2x^2-7x-7+x^2-3x-1\geqslant 0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{3x^2-10x-8\geqslant 0}}$.\\
On retrouve l'inéquation résolue à la question 2. a).\\
$\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{2}{3}\right] \cup \left[4~;~+\infty\right[$.\\
Comme $-\dfrac{2}{3}\approx -0,7$, on retrouve les résultats trouvés graphiquement.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{center}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
%Un terrain rectangulaire a pour longueur 30 \si{\metre} et largeur 12\si{\metre}.\\
%On se propose d'aménager un chemin de largeur $x$ (partie hachurée), en mètre, le long de deux côtés consécutifs comme le montre la figure. 
%La largeur $x$ du chemin doit être supérieure à 0,8 \si{\metre} et on souhaite que la partie restante du terrain ait une aire supérieure à 280 \si{\square\metre} .

\begin{enumerate}[a)]
\item %Indiquer un intervalle dans lequel se trouve la largeur $x$ du chemin.
$x$ doit être supérieur à O,8 et il est clair que $x\leqslant 12$ donc $x\in\left]0,8~;~12\right]$.

\item %Vérifier que la condition sur l'aire de la partie restante se traduit par l'inéquation $x^2 - 42x + 80\geqslant 0$.
Calculons l'aire de la partie restante ; il s'agit d'un rectangle, de longueur $30-x$ et de largeur $12-x$.\\
Son aire vaut $(30-x)(12-x)$.\\
Cette aire doit être supérieure à 280 donc on a :\\
$(30-x)(12-x)\geqslant 280\Leftrightarrow (30-x)(12-x)-280\geqslant 0\Leftrightarrow 360-30x-12x+x^2-280\geqslant 0\\
\boxed{\textcolor{red}{\Leftrightarrow x^2-42x+80\geqslant 0}}$.

\item %Résoudre cette inéquation et en déduire les valeurs possibles de la largeur $x$ du chemin. 
Résolvons cette inéquation : \\
$\Delta=(-42)^2-4\times 1\times 60=\numprint{1764}-320=1444>0$.\\
Il y a deux racines : $x_1=\dfrac{42-\sqrt{\numprint{1444}}}{2}=\dfrac{42-38}{2}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ et $x_2=\dfrac{42+38}{2}=\boxed{\textcolor{red}{40}}$.\\
$x^2-42x+80$ est positif (du signe de 1, coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.\\
Compte-tenu des conditions trouvées à la question 1., on doit avoir $0,8\leqslant x\leqslant 2 $ ; $\boxed{\textcolor{red}{x\in\left[0,8~;~2\right]}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.2,yunit=0.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-5)(35,17)
\psframe(30,12)
\pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(30,0)(30,12)(27,12)(27,3)(0,3)
\psline{<->}(0,-2)(30,-2)
\uput[d](15,-2){30 \si{\metre}}
\psline{<->}(32,0)(32,12)
\uput[r](32,6){12 \si{\metre}}
\psline{<->}(27,14)(30,14)
\uput[u](28.5,14){$x$}
\psline{<->}(-2,0)(-2,3)
\uput[l](-2,1.5){$x$}


\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
On veut résoudre l'inéquation \[\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x-1}-\dfrac{1}{x}>0.\]
\begin{enumerate}

\item %Quel est l'ensemble $\mathscr{D}$ de définition ?
Les trois dénominateurs doivent être différents de 0, or ils s'annulent respectivement pour $x=-\dfrac{1}{2}$, $x=\dfrac{1}{3}$ et $x=0$.\\
l'ensemble de définition est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{1}{2}~;~0~;~\dfrac{1}{3}\right\}}}$.

\item %Montrer que, pour tout $x\in\mathscr{D}$, cette inéquation équivaut à \[\dfrac{-x^2-x+1}{x(2x+1)(3x-1)}>0.\]
On suppose que $x\in\mathscr{D}$.\\
Alors : \\
$\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{1}{3x-1}-\dfrac{1}{x}>0\\
\Leftrightarrow \dfrac{x(3x-1)}{x(2x+1)(3x-1)}+\dfrac{x(2x+1)}{x(2x+1)(3x-1)}-\dfrac{(2x+1)(3x-1)}{x(2x+1)(3x-1)}>0\\
\Leftrightarrow \dfrac{x(3x-1)+x(2x+1)-(2x+1)(3x-1)}{x(2x+1)(3x-1)}>0\\
\Leftrightarrow \dfrac{3x^2-x+2x^2+x-\left[6x^2-2x+3x-1\right]}{x(2x+1)(3x-1)}>0\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-x^2-x+1}{x(2x+1)(3x-1)}>0}}$

\item %Étudier le signe du numérateur.
Étudions le signe de $-x^2-x+1$.\\
$\Delta=5>0$.\\
Il y a deux racines : $x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{-2}=-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx 0,61$ et $x_2=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx -1,62$.\\
Ce numérateur est négatif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et positif entre les racines

\item %Étudier le signe des facteurs du dénominateur.
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item Le signe de $x$ est \og{}évident\fg{}.

\item $2x+1>0\leqslant x>-\dfrac{1}{2}$

\item $3x-1>0\Leftrightarrow x>\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}

\item %En récapitulant tous les renseignements dans un seul tableau de signe, résoudre cette inéquation.
Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}&&-\dfrac{1}{2}&&0&&\dfrac{1}{3}&&-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}&&\pI\\
\hline
-x^2-x+1&&-&\z&+&\bb&+&\bb&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline
x&&-&\l&-&\bb&-&\bb&+&\bb&+&\l&+&\\
\hline
3x-1&&-&\l&-&\bb&-&\bb&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
2x+1&&-&\l&-&\bb&+&\bb&+&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\dfrac{-x^2-x+1}{x(2x+1)(3x-1)}&&+&\z&-&\bb&+&\bb&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
On veut que le quotient soit strictement positif :\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{-1}{2}~;~-0\right[ \cup \left]\dfrac{1}{3}~;~-\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right[}}$
\label{fin}
\end{document}  