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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/3}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Rappels sur la fonction exponentielle}}\end{center}

%\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Définition et propriétés}}
Il existe une fonction unique $f$, définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\begin{cases}f'=f\\f(0)=1\end{cases}$.\\
Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et est notée $\exp$.

\bigskip

\begin{minipage}{5cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\exp(x)>0$
\end{bclogo}

\end{minipage}

\bigskip
\begin{minipage}{11cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\exp'=\exp>0$ donc la fonction $\exp$ est croissante.

\end{bclogo}

\end{minipage}
\subsection{\textcolor{blue}{Propriétés algébriques}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Relation fonctionnelle}}
\begin{minipage}{11 cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Relation fonctionnelle}}
Pour tous $x\in\mathbb{R}$ et $y\in\mathbb{R}$ : $\exp(x)\times \exp(y)=\exp(x+y)$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\subsubsection{\textcolor{red}{Exponentielle d 'une différence}}
\begin{minipage}{11cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous $x\in\mathbb{R}$ et $y\in\mathbb{R}$ : $=\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\end{bclogo}
\end{minipage}



\subsubsection{\textcolor{red}{Exponentielle et puissances}}



\begin{minipage}{11cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\left[\exp(x)\right]^n=\exp(nx)$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{Justification}} :on effectue une démonstration par récurrence et on applique la propriété fonctionnelle.

\newpage


\subsubsection{\textcolor{red}{Notation $\bf{\mathrm{e}^{x}}$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et notation}}
On appelle $\mathrm{e}$ le nombre $\mathrm{e}^{1}$ donc $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : \\
$\mathrm{e}\approx \numprint{2.7182818284590452353602874713526624977572470937000}$. (Avec 50 décimales)\\
$\mathrm{e}\approx 2,72$ suffit la plupart du temps !\\
$\mathrm{e}$ est un nombre irrationnel (pas de période dans l'écriture décimale) et c'est même un nombre transcendant (solution d'aucune équation polynomiale, comme $\pi$)
\end{bclogo}

D'après la propriété précédente, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\exp(n)=\exp(n\times 1)=\left[\exp(1)\right]^n=\mathrm{e}^{n}$.\\
On admet que l'on peut généraliser cette notation, en posant :\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x)=\mathrm{e}^{x}}}$


\subsection{\textcolor{blue}{Propriétés algébriques avec cette nouvelle écriture}}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Résumé des propriétés :}}
Pour tout réel $x$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $\exp (x)>0$

\item $\exp (0)=1$

\item $\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$

\item $\exp '(x)=\exp (x)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}


\subsection{\textcolor{blue}{Étude de la fonction exponentielle :}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Sens de variation :}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction exponentielle est croissante sur $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration : }}La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp'=\exp$, donc pour tout réel $x$, $\exp'(x)>0$ puisque $\exp(x)>0$.
\noindent
La fonction $\exp$ est donc croissante.
\noindent

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}

\subsubsection{\textcolor{red}{Limites à l'infini}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (admis)}}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$
\end{bclogo}
\end{minipage}
\noindent
\bigskip



\newpage


\textbf{\textcolor{blue}{Conséquences :}}

\begin{enumerate}

\item Pour tout $a>0$, $\exp(a)>0$

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp a=\exp b\Leftrightarrow a=b$.

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\exp a< \exp b\Leftrightarrow a<b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :

\begin{enumerate}

\item $\exp$ est croissante et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$ donc $\exp$ est une fonction positive.
\item 
\begin{enumerate}
\item $a=b\Rightarrow \exp(a)=\exp(b)$ comme pour n'importe quelle fonction.

\item $\exp(a)=\exp(b)\Rightarrow a=b $ car la fonction $\exp$ est croissante
\end{enumerate}


\item Même démonstration que dans le cas d'égalité
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Croissances comparées}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}=0$ pour $n\in\mathbb{N}^*$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty$  pour $n\in\mathbb{N}^*$
\end{enumerate}


\end{multicols}\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative $\mathscr{C}$}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{\textcolor{red}{Remarques}} : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la tangente à $\mathscr{C}$ en 0 passe par le point de coordonnées $(-1~;~0)$

\item la tangente à $\mathscr{C}$ en 1 passe par le point de coordonnées $(0~;~1)$

\item $\forall x\in\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{x>0}$ donc $\mathscr{C}$ est au-dessus de l'axe des abscisses, qui est asymptote à la courbe en $-\infty$.
\end{enumerate}

Justification : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la tangente à $\mathscr{C}$ en 0 a pour équation = $y=exp'(0)(x-0)+\exp(0)\iff \boxed{\textcolor{red}{y=x+1}}$

\item la tangente à $\mathscr{C}$ en 1 a pour équation = $y=exp'(1)(x-1)+\exp(1)\iff y=\mathrm{e}(x-1)+\mathrm{e}\iff \boxed{\textcolor{red}{y=\mathrm{e}x}}$ ; cette tangente passe donc par l'origine du repère.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(3,10)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-1)(3,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-1)(3,10)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5}{2.25}{EXP(x)}
\psplotTangent[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,arrows=<->]{0}{2}{EXP(x)}
\psplotTangent[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,arrows=<->]{1}{4}{EXP(x)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,1)(1,2.71828)
\uput[r](2,7.4){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}

\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  