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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques spécifiques : feuille d'exercices \no 3 (dérivavion globale)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Lors du transport de l’électricité depuis un générateur vers un récepteur, les câbles électriques fonctionnent comme des résistances et dissipent
par effet Joule une partie de l’énergie destinée au récepteur. La puissance perdue par effet Joule dépend de l’intensité du courant et de la résistance du câble.
\begin{enumerate}[1)]
\item Dans un réseau électrique donné dont l’intensité peut varier entre 1 A et 5 A, on a obtenu la formule suivante, reliant la puissance $P$ dissipée, en watts, et l’intensité I du courant, en ampères : \[P(I)=0,3I^2-2,4I+9.\]
Déterminer la valeur de l’intensité du courant pour laquelle la puissance dissipée est minimale.

\item Dans un second réseau électrique différent du premier, l’intensité peut varier entre 1 A et 4,5 A, et on a :
\[P(I )=0,3I^2-3I+14.\]
Déterminer la valeur de l’intensité du courant pour laquelle la puissance dissipée est minimale.

\end{enumerate}

\subsection{}
Une coopérative laitière produit et vend jusqu’à \numprint{2000} litres de lait par jour. La fonction $f$, définie sur [0~;~2]
par $f (x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x^2+8x$ , modélise le bénéfice journalier réalisé, en centaines d’euros, en fonction de la quantité
de lait $x$ produite et vendue, en milliers de litres.
\begin{enumerate}[1)]
\item Vérifier que $f '(x) = (x - 2)(x - 4)$.

\item En déduire que le bénéfice journalier est croissant.

\item La coopérative souhaite augmenter sa production de \numprint{1000} litres. Elle suppose que son bénéfice va suivre
le modèle donné par la fonction $f$. Son bénéfice va-t-il continuer à augmenter pour chaque litre supplémentaire produit et vendu entre \numprint{2000} et \numprint{3000} litres ?

\end{enumerate}

\subsection{}
La population d’abeilles dans un rucher a été étudiée pendant trois ans.\\
Les résultats obtenus ont permis de réaliser la courbe suivante.
\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=0.15,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,32)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(4,30)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(4,30)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{3}{x^3-9*x^2+27*x}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0)(\n,30)}
\multido{\n=0+10}{4}{\psline(0,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
L’apiculteur aimerait connaître l’évolution possible du nombre d’abeilles pour les prochaines années.\\
La courbe étant celle de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 - 9x 2 + 27x$, que répondre à cet apiculteur ?

\subsection{\textcolor{blue}{Coût marginal et coût moyen minimum}}

Une entreprise fabrique un produit cosmétique. Son coût total de fabrication $C_T$ , en milliers d’euros, dépend de la quantité $q$, en tonnes, de produit fabriqué.\\
Il peut être modélisé par la fonction $C_T$ définie sur [0~;~10] par :
\[C_T(q) = q^3- 12q^2 + 60q.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item  Déterminer $C_T'(q)$ et montrer que \[C_T'(q) = 3(q - 4)^2 + 12.\]

\item En déduire les variations de $C_T$ sur [0~;~10].

\item Le coût moyen par tonne est égal à : $C_M(q) = \dfrac{C_T(q)}{q}$, avec $q > 0$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Calculer $C_M(4)$. Interpréter le résultat.

\item Déterminer l’expression du coût moyen $C_M$ en fonction de $q$.

\item Déterminer la quantité fabriquée pour laquelle le coût moyen est minimal.
\end{enumerate}

\item Le coût marginal de fabrication est le coût induit par une variation de la production. Il peut se calculer en dérivant le coût total. On a $C_m(q) = C_T'(q)$.\\
Déterminer $C_m(q)$ pour tout réel $q$.

\item Résoudre l’équation $C_m(q) = C_M(q)$ sur l’intervalle ]0~;~10].

\item Commenter l’affirmation : \og{}Le coût moyen est minimal lorsqu’il est égal au coût marginal. \fg{}

\end{enumerate}


\end{multicols}\label{fin}
\end{document}  