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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques spécifiques : correction de la feuille d'exercices \no 3 (dérivavion globale)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Lors du transport de l’électricité depuis un générateur vers un récepteur, les câbles électriques fonctionnent comme des résistances et dissipent
par effet Joule une partie de l’énergie destinée au récepteur. La puissance perdue par effet Joule dépend de l’intensité du courant et de la résistance du câble.
\begin{enumerate}[1)]
\item Dans un réseau électrique donné dont l’intensité peut varier entre 1 A et 5 A, on a obtenu la formule suivante, reliant la puissance $P$ dissipée, en watts, et l’intensité I du courant, en ampères : \[P(I)=0,3I^2-2,4I+9.\]
%Déterminer la valeur de l’intensité du courant pour laquelle la puissance dissipée est minimale.
$P'(I)= 0,6I-2,4$.\\
Or $0,6I-2,4=0\iff 0,6I=2,4$
\begin{center}
\begin{variations}
I&1&&4&&5\\
\hline
P'(I)&&-&\z&+&\\
\hline
P(I)&&\d&&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
La puissance dissipée est donc minimale lorsque l’intensité est égale à 4 Ampères.

\item Dans un second réseau électrique différent du premier, l’intensité peut varier entre 1 A et 4,5 A, et on a :
\[P(I )=0,3I^2-3I+14.\]
%Déterminer la valeur de l’intensité du courant pour laquelle la puissance dissipée est minimale.
$P'(I)= 0,6I-3$.\\
Or $0,6I-3=0\iff 0,6I=3\iff I=30,6=5$.\\
On a donc : 
\begin{center}
\begin{variations}
I&1&&4,5\\
\hline
P'(I)&&-&\\
\hline
P(I)&&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection{}
Une coopérative laitière produit et vend jusqu’à \numprint{2000} litres de lait par jour. La fonction $f$, définie sur [0~;~2]
par $f (x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x^2+8x$ , modélise le bénéfice journalier réalisé, en centaines d’euros, en fonction de la quantité
de lait $x$ produite et vendue, en milliers de litres.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Vérifier que $f '(x) = (x - 2)(x - 4)$.
$f'(x)=x^2-6x+8$.\\
Or $(x-2)(x-4)=x^2-4x-2x+8 =x^2-6x+8=f'(x) 2.$\\
$x-2>0\iff x>2$ ; $x-4>0\iff x>4$
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&2&&4\\
\hline
x-2&&-&\z&+&\\
\hline
x-4&&-&\l\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z\\
\hline
f(x)&&\c&&\d\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item %En déduire que le bénéfice journalier est croissant.
Sur l’intervalle [0~;~2] le bénéfice journalier est croissant.

\item %La coopérative souhaite augmenter sa production de \numprint{1000} litres. Elle suppose que son bénéfice va suivre
%le modèle donné par la fonction $f$. Son bénéfice va-t-il continuer à augmenter pour chaque litre supplémentaire produit et vendu entre \numprint{2000} et \numprint{3000} litres ?
La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle [2~;~3], donc le bénéfice journalier va diminuer pour chaque litre supplémentaire produit et vendu entre \numprint{2000} et \numprint{3000} litres.
\end{enumerate}

\subsection{}
La population d’abeilles dans un rucher a été étudiée pendant trois ans.\\
Les résultats obtenus ont permis de réaliser la courbe suivante.
\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=0.15,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,32)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(4,30)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(4,30)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{3}{x^3-9*x^2+27*x}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0)(\n,30)}
\multido{\n=0+10}{4}{\psline(0,\n)(4,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}
%L’apiculteur aimerait connaître l’évolution possible du nombre d’abeilles pour les prochaines années.\\
%La courbe étant celle de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 - 9x 2 + 27x$, que répondre à cet apiculteur ?
$f'(x)=3x^2-18x+27=3(x-3)^2$.\\
Donc $f'(x)$ est positif pour tout réel $x$.\\
$f$ est donc croissante sur $\mathbb{R}$. Ainsi la population d’abeilles va croître au-delà des trois premières années.
\end{multicols}
\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Coût marginal et coût moyen minimum}}

Une entreprise fabrique un produit cosmétique. Son coût total de fabrication $C_T$ , en milliers d’euros, dépend de la quantité $q$, en tonnes, de produit fabriqué.\\
Il peut être modélisé par la fonction $C_T$ définie sur [0~;~10] par :
\[C_T(q) = q^3- 12q^2 + 60q.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item  %Déterminer $C_T'(q)$ et montrer que \[C_T'(q) = 3(q - 4)^2 + 12.\]
$C_T'(q)=3q^2-24q+60=3\left(q^2-8q+20\right)=3\left[(q-4)^2-16+20\right]=\boxed{\textcolor{red}{3(q-4)^2+12}}$

\item %En déduire les variations de $C_T$ sur [0~;~10].
$3(q-4)^2+12>0$ donc $C_T$ est croissante.

\item Le coût moyen par tonne est égal à : $C_M(q) = \dfrac{C_T(q)}{q}$, avec $q > 0$.
\begin{enumerate}[a)]
\item %Calculer $C_M(4)$. Interpréter le résultat.
$C_M(4)=\dfrac{C_T(4)}{4}=\dfrac{112}{4}=\boxed{\textcolor{red}{28}}$.\\
Si l’entreprise fabrique 4 tonnes de produit, le coût moyen par tonne est égal à \numprint{28000} euros.

\item %Déterminer l’expression du coût moyen $C_M$ en fonction de $q$.
$\boxed{\textcolor{red}{C_M(q) = q^2-12q+60}}$.

\item %Déterminer la quantité fabriquée pour laquelle le coût moyen est minimal.
$\boxed{\textcolor{red}{C_M'(q) = 2q-12}}$.\\
Donc $C_M’(q) > 0 \iff  2q-12>0\iff  q>6$
\begin{center}
\begin{variations}
q&0&&6&&10\\
\hline
C_M'(q)&&-&\z&+&\\
\hline
C_M&&\d&24&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Le coût moyen est donc minimal lorsque l’entreprise fabrique 6 tonnes de produit.
\end{enumerate}

\item Le coût marginal de fabrication est le coût induit par une variation de la production. Il peut se calculer en dérivant le coût total. On a $C_m(q) = C_T'(q)$.\\
%Déterminer $C_m(q)$ pour tout réel $q$.
$C_m(q) = 3q^2-24q +60$

\item %Résoudre l’équation $C_m(q) = C_M(q)$ sur l’intervalle ]0~;~10].
$C_m(q) = C_M(q)\iff 3q^2-24q+60 = q^2-12q+60 \iff  2q^2-12q = 0 \iff  2q(q-6)= 0 \iff q = 0\text{ ou }q= 6$.\\
Donc, sur l’intervalle ]0 ; 10], l’équation a pour solution $q = 6$.

\item %Commenter l’affirmation : \og{}Le coût moyen est minimal lorsqu’il est égal au coût marginal. \fg{}
D’après la question précédente, on remarque que le coût moyen et le coût marginal sont égaux pour une fabrication de 6 tonnes de produit.
Or, d’après la question 1. b), le coût moyen est minimal pour une telle quantité fabriquée. Donc l’affirmation est \textbf{\textcolor{red}{vraie}}.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  