<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Ã‰volution linÃ©aire}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Notion de suite}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Une suite $u$, ou $\left(u_n\right)$, est une fonction $u$ dÃ©finie sur $\mathbb{N}$ qui Ã&nbsp; tout entier naturel $n$ associe un rÃ©el notÃ© $u(n)$.\\
Ce terme $u(n)$ est appelÃ© le terme de \textbf{rang} $n$ ou terme gÃ©nÃ©ral de la suite $u$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarques}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  Une suite peut aussi Ãªtre dÃ©finie Ã&nbsp; partir dâ€™un certain rang, par exemple Ã&nbsp; partir du rang 1.

\item Une suite est aussi notÃ©e $\left(u_n\right)$ dont le terme de rang $n$ est $u_n$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Suite arithmÃ©tique}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Une suite $u$ est une suite arithmÃ©tique sâ€™il existe un nombre rÃ©el $r$ tel que, pour tout $n$, $u(n + 1) = u(n) + r$, le premier terme $u(0)$ ou $u(1)$ Ã©tant donnÃ©.\\
Le nombre $r$ est appelÃ© la raison de la suite $u$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} Une suite est donc arithmÃ©tique si lâ€™on passe dâ€™un terme au suivant en ajoutant un mÃªme nombre
au prÃ©cÃ©dent, ou si la diffÃ©rence entre deux termes successifs est constante.\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}
Soit la suite arithmÃ©tique $u$ dÃ©finie par $u(0) = 3$ et de raison $r = 5$.\\
En ajoutant 5 au terme prÃ©cÃ©dent, on obtient :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u(0) = 3$

\item $u(1) = u(0)+3=8$

\item $u(2)=u(1)+5 =13$

\item $u(3) =u(2)+5=18$

\item $u(4) = u(3)+5=23$

\item $u(5) = u(4)+5=28$
$\vdots$
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ© (terme de -rang $n$)}}

Soit $n\in\mathbb{N}$ (ou $\mathbb{N}^*$) et $r\in\mathbb{R}$.\\
Le terme de rang $n$ (ou terme gÃ©nÃ©ral) dâ€™une suite arithmÃ©tique $u$ de raison $r$ est donnÃ© par :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $u(n) = u(0) + n\times  r$ si le premier terme est $u(0)$.

\item $u(n) = u(p) + (n â€“ p) \times  r$ si le premier terme est $u(p)$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}\\
Soit la suite arithmÃ©tique u de premier terme $u(0) = 120$ et de raison $r = â€“5$, on a alors :
$u(n) = u(0) + n \times  r = 120 - 5n$, donc $u(8) = 120 - 5 \times  8 = 80$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ© : sens de variation dâ€™une suite arithmÃ©tique}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $u$ une suite arithmÃ©tique de raison $r$.\\
Son sens de variation est donnÃ© par le signe de $r$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  si $r &gt; 0$, la suite arithmÃ©tique est croissante. Chaque terme est supÃ©rieur au prÃ©cÃ©dent ;

\item si $r &lt; 0$, la suite arithmÃ©tique est dÃ©croissante. Chaque terme est infÃ©rieur au prÃ©cÃ©dent.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}}
La suite arithmÃ©tique de raison $r =-3$ est dÃ©croissante car $r &lt; 0$.

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ© : reprÃ©sentation dâ€™une suite arithmÃ©tique}}
Dans un repÃ¨re, on peut reprÃ©senter une suite $u$ par les points de coordonnÃ©es $(n ; u(n))$.\\
\end{bclogo}

Exemple : $u(n)$ est arithmÃ©tique de premier terme $u(0)=-1$ et de raison $r=3$.
\begin{center}
$
\begin{array}{|*{6}{c|}}\hline
n&amp;0&amp;1&amp;2&amp;3&amp;4\\
\hline
u(n)&amp;-1&amp;2&amp;5&amp;8&amp;11\\
\hline
\end{array}
$
\end{center}


\begin{center}
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\begin{pspicture}(-1,-2)(5,12)
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\end{pspicture}

\end{center}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>