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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques spécifiques : contrôle sur la dérivation}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(1 point)}}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x^2 + 1$.\\
Parmi les expressions suivantes, laquelle est celle de la dérivée de $f$ ? 



\begin{enumerate}[a)]
\item $g(x)=8x+1$ 

\item $h(x) = 9$

\item $j(x)=8x $

\item $k(x)=8x^2 $

\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = 6x^3 -1,5x^2 +12.\]

%\subsection{}
%Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x) = -x^3 + 7x+ 7.\]

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est $f'(x)=(x+3)(x-2)$.\\
Combien la courbe représentative de $f$, $\mathscr{C}_f$, admet-elle de tangentes horizontales ?

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
La fonction $h : x\mapsto x^3 - 300x+ 2$ admet-elle des tangentes horizontales? En quels points ?


%\subsection{}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=3(x-2)^2.\]
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Montrer que $f(x)=3x^2-12x+12$.
%
%\item En déduire une expression de $f'(x)$.
%
%\item Étudier le signe de $f'(x)$.
%
%\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
%\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [-2~;~2] par $f(x) =x^3+0,5x^2 -4x+1.$ 

\begin{enumerate}[1)]
\item Déterminer, pour tout réel $x$ de [-2; 2], l'expression de la dérivée $f'(x)$. 

\item Montrer que $f'(x)=(3x+4)(x-1)$. 

\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item Étudier le signe de $3x+4$.

\item Étudier le signe de $x-1$.

\item En déduire le tableau de signes de $f'(x)$.

\item En déduire le tableau de variations de f. 


\item Détermlner le maximum et le minimum de $f$ sur [-2~;~2].\\Òn placera ces valeurs dans le tableau de variation.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^3-\dfrac{9}{2}x^2-30x+1.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer $f'(x)$.

\item Montrer que $f'(x)=3(x-5)(x+2)$.

\item Pourquoi le signe de $f'(x)$ est-il le même que celui de $(x-5)(x+2)$ ?

\item Étudier le signe de $x-5$ puis de $x+2$.

\item Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades $t$ jours après l'apparition des premiers cas est modélisé par \[f(t) = 45t^2 - t^3 + 100,\] pour tout $t$ appartenant à [0~;~45]. 

\begin{enumerate}[1)]
\item Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 10 jours.

\item Montrer que, pour tout $t$ appartenant à [0~;~45] : 
\[f'(t)=3t(30-t). \]

\item Déterminer le signe de $f'( t)$ sur $[0~;~45]$ et en déduire les variations de $f$.

\item Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades. 

\end{enumerate}


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  