<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Rappels sur les fonctions affines}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{red}{DÃ©finition :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Une fonction  $f$, dÃ©finie sur $\mathbb{R}$, est affine s'il existe deux rÃ©els $m$ et $p$ tel que, pour tout $x$, $f(x)=mx+p$.\\
$m$ s'appelle le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f:x\mapsto 2x+3$ est une fonction affine car $2x+3=mx+p$ avec $\begin{cases}m=2\\p=3\end{cases}$.

\item $f:x\mapsto \dfrac{3x+5}{7}$ est une fonction affine car $\dfrac{3x+5}{7}=\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{7}=mx+p$ avec $\begin{cases}m=\dfrac{3}{7}\\p=\dfrac{5}{7}\end{cases}$.

\item $f:x\mapsto 5x$ est une fonction affine car $5x=mx+p$ avec $\begin{cases}m=5\\p=0\end{cases}$

On dit alors que $f$ est \textbf{\textcolor{red}{linÃ©aire}} (fonction affine dont l'ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine est Ã©gale Ã&nbsp; 0)

\item $f:x\mapsto 8$ est une fonction affine car $5x=mx+p$ avec $\begin{cases}m=5\\p=0\end{cases}$.

Cette fonction est une fonction \textbf{\textcolor{red}{constante}}.

\item $f:x\mapsto 3x^2+7$ n'est pas une fonction affine car il n'existe pas de nombres $m$ et $p$ constants tels que \\$mx+p=3x^2+7$ pour tout $x$. (Ã&nbsp; cause de $x^2$)
\end{enumerate}


\newpage


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Calcul d'une image :}} \\
\textbf{\textcolor{red}{Exemple : }} Calculons l'image de 3 par la fonction affine \FonctionAffine{5}{4}{0}{0}\\
\FonctionAffine[Image]{3}{5}{4}{}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Calcul d'un antÃ©cÃ©dent : }}\\
Soit $f$ la fonction affine dÃ©finie par $f(x)=7x+3$.\\
Cherchons l'antÃ©cÃ©dent de 5.\\
\FonctionAffine[Antecedent]{5}{7}{3}{}
L'antÃ©cÃ©dent de 5 par $f$ est $\dfrac{2}{7}$.


\subsection{\textcolor{red}{Variations}}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me}}
Soit $f$ une fonction affine dÃ©finie par : $f(x)=mx+p$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est croissante si, et seulement si, $m&gt;0$.

\item $f$ est constante si, et seulement si, $m=0$.

\item $f$ est dÃ©croissante si, et seulement si, $m&lt;0$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

Tableaux de variations  de $f$, selon le signe de $m$.


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
\fbox{\textcolor{red}{Pour $m&gt;0$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-\dfrac{p}{m}&amp;&amp;\pI\\
\hline
\m{f(x)}&amp;&amp;\cb&amp;\m{0}&amp;\ch&amp;\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\columnbreak

\fbox{\textcolor{red}{Pour $m&lt;0$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-\dfrac{p}{m}&amp;&amp;\pI\\
\hline
\m{f(x)}&amp;&amp;\dh&amp;\m{0}&amp;\db&amp;\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}
\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Signe d'une fonction affine}}
D'aprÃ¨s les tableaux de variation d'une fonction affine, on en dÃ©duit les tableaux de signes suivants :


\bigskip


\parbox{8cm}{\textcolor{blue}{Cas : $m&gt;0$}

\bigskip

\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-\dfrac{p}{m}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f(x)=mx+p&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
\end{variations}}\hfill
\parbox{8cm}{
\textcolor{blue}{Cas : $m&lt;0$}

\bigskip

\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-\dfrac{p}{m}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f(x)=mx+p&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\\
\hline
\end{variations}}




\subsection{\textcolor{red}{ReprÃ©sentation graphique d'une fonction affine}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Soit $f:x\mapsto mx+p$ une fonction affine.
\noindent
La reprÃ©sentation graphique d'une fonction affine est une droite, sÃ©cante Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es.
\noindent
$m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine, c'est-Ã&nbsp;-dire que la droite passe par le point de coordonnÃ©es $(0~;~p)$ (car $f(0)=p$)
\end{bclogo}




\textbf{\textcolor{red}{InterprÃ©tation graphique de $\mathbf{p}$}} :


\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{-&gt;}(0,0)(-4,-2)(3,5)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-3.5}{3.0}{2*x+3.6}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=darkgray](0,3.6)
\uput[r](0,3.6){\darkgray{$p$}}
\uput[dr](0,0){O}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : toute droite sÃ©cante Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es est la reprÃ©sentation graphique d'une fonction affine.



\subsection{\textcolor{red}{Comment tracer graphiquement la reprÃ©sentation graphique d'une fonction affine ?}}

Pour tracer une droite, il suffit de connaÃ®tre deux points de celle-ci.\\
On choisit deux valeurs der $x$ quelconques et on calcule les ordonnÃ©es $y$ correspondantes.\\

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} on veut reprÃ©senter graphiquement la fonction affine $f:x\mapsto \dfrac{2}{3}x+1$.
\noindent
La reprÃ©sentation graphique de $f$ est une droite. \\
\noindent
\noindent
L'ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine vaut 1, donc la droite passe par le point de coordonnÃ©es $\left(0~;~1\right)$.
\noindent
On remarque qu'il suffit de prendre $x$ multiple de 3 ($x$ pas trop proche de 0, pour accroÃ®tre la prÃ©cision du tracÃ©.)
\noindent
On remplit un tableau :
\begin{center}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{&gt;{\centering \arraybackslash}X|}} 
\hline
x&amp;0&amp;9\\
\hline
$y=\dfrac{2}{3}x+1$&amp;1&amp;$\dfrac{2}{3}\times 9+1=7$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{minipage}

\end{center}
\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(10,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-2,-2)(10,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-2)(10,8)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-2.0}{10.0}{2/3*x+1}
\rput[bl](-6,-3.24){$f$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=0.5,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](0.08,1.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=0.5,linecolor=darkgray](9,7)
\rput[bl](9.08,7.12){\darkgray{$B$}}
\uput[dr](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}





\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}
\noindent
La reprÃ©sentation graphique d'une fonction affine $f\mapsto ax+b$ est une droite (sÃ©cante Ã&nbsp; l'axe de l'axe des ordonnÃ©es $(Oy)$) ; on dit que cette droite a pour \textbf{\textcolor{red}{Ã©quation rÃ©duite}} $\boxed{\textcolor{red}{y=ax+b}}$.

\bigskip
\noindent
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} La droite d'Ã©quation  $y=2x+3$ est la reprÃ©sentation graphique de la fonction $f\mapsto 2x+3$.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.7cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(7,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{-&gt;}(0,0)(-3,-2)(3,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(3,9)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-3.0}{3.0}{2*x+3}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,7)
\psline[linestyle=dashed](0,7)(2,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,7)
\uput[r](2,7){$M(x~;~y=2x+3)$}
\uput[u](2,0){$x$}
\uput[r](1,5){$y=2x+3$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
\noindent
Trouver l'Ã©quation de la droite passant par les points A$(2~;~5)$ et B$(7~;~-1)$.
\noindent
C'est la mÃªme chose que de chercher la fonction affine $f$ vÃ©rifiant $f(2)=5$ et $f(7)=-1$.
\noindent
Notons $m$ le coefficient directeur et $p$ l'ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine.
\noindent
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\dfrac{-1-5}{7-2}=-\dfrac{6}{5}$.
\noindent
L'Ã©quation de la droite est alors $y=-\dfrac{6}{5}x+p$.
\noindent
A appartient Ã&nbsp; la droite (AB) donc ses coordonnÃ©es vÃ©rifient cette Ã©quation :
\noindent
$y_{\text{A}}=-\dfrac{6}{5}x_{\text{A}}+p$ donc $5=-\dfrac{6}{5}\times 2+p$.\\
\noindent
D'oÃ¹ $-\dfrac{12}{5}+p=5$ et $p=5+\dfrac{12}{5}=\dfrac{25+12}{5}=\dfrac{37}{5}$.\\
\noindent L'Ã©quation de la droite (AB) est $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{37}{5}}}$.








\label{fin}
\end{document}</pre></body></html>