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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths spécifiques : correction de la feuille d'exercices \no 3}}\end{center}



\subsection{}% n° 59
Tracer une représentation graphique d’une fonction $f$ vérifiant les données suivantes :\\
$f(2) = 4$~;~$f(0) = 1$~;~$f(3,5) = 0$~;~$f(-4) = 4$ ; \\
$f(-2) =-2$ ;$f'(-2) = f'(2) = 0$ ; $f'(-4) =-5$ ; $f'(0) = 2$.\\
La courbe doit passer par les points de coordonnées (-4~;~4), (-2~;~-2), (0~;~1), (2,4) et $(3,5~;~0)$.\\
Les tangentes en -4, -2, 0 et 2 doivent avoir respectivement des coefficients directeurs égaux à -5, 0, 2 et 0.\\
Voici une courbe possible.

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
%:
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-5)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,4)(0,1)(3.5,0)(-4,4)(-2,-2)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{<->}(1,4)(3,4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{<->}(-3,-2)(-1,-2)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-4.3}{-3.5}{-5*x-16}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1}{1}{2*x+1}
\psbezier[linecolor=red,linewidth=2pt](-4,4)(-3,-1)(-3,-2)(-2,-2)
\psbezier[linecolor=red,linewidth=2pt](-2,-2)(-1,-2)(1,3)(0,1)
\psbezier[linecolor=red,linewidth=2pt](0,1)(1,3)(0,4)(2,4)
\psbezier[linecolor=red,linewidth=2pt](2,4)(4,4)(3,1)(3.5,0)
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{2}{x}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-8)(4,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-8)(4,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-8)(4,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{-0.25}{2/x}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{4}{0.25}{2/x}
\psplotTangent[linecolor=blue,linewidth=2pt]{0.5}{1}{2/x}
\psplotTangent[linecolor=blue,linewidth=2pt]{2}{1}{2/x}
\end{pspicture}
\end{center}
Les tangentes à la courbe $\mathscr{C}_f$ aux points d'abscisses $\dfrac{1}{2}$ et 2 sont tracées en bleu.


\newpage



\subsection{}
Représentons une fonction dont la droite d'équation $y = -x + 1$ est tangente à la courbe au point d’abscisse -1 et la droite d’équation $y = 3x -2$ est une sécante aux points d’abscisses 1 et 2.\\
La droite d'équation $y=-x+1$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$ d'abscisse -1, donc ce point appartient aussi à la tangente.\\
Son ordonnée vaut $y_A=-- (-1)+1=1+1=2$. Elle est tangente en $A(-1~;~2)$\\
La droite d'équation $y=-x-2$ est sécante à la courbe $\mathscr{C}$ au point $B$ d'abscisse 2, donc ce point appartient aussi à la sécante.\\
Son ordonnée vaut $y_B=3\times 2-2=4$. Elle coupe la courbe en $B(2~;~4)$.\\
Une courbe possible est tracée en rouge ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-5)(5,5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{-3}{1}{-x+1}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{-1}{2.2}{3*x-2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1,2)(2,4)
\uput[l](-1,2){$A$}
\uput[r](2,4){$B$}
\psbezier[linewidth=2pt,linecolor=red](-1,2)(-2,3)(0,1)(.5,1)
\psbezier[linewidth=2pt,linecolor=red](.5,1)(1,1)(1,4)(2,4)
\psbezier[linewidth=2pt,linecolor=red](2,4)(3,4)(3,2)(4,1)
\end{pspicture}

\end{center}


\newpage


\subsection{}
Soit $f$ la fonction carré $ : x\mapsto x^2$. On note $\mathscr{P}$ la parabole représentative de $f$.\\
Soit $A$ de $\mathscr{P}$ le point d'abscisse 2.\\
On considère un point $\mathscr{P}$ d'abscisse $x$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,10)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,10)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3}{x^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,4)(2.5,6.25)
\uput[r](2,4){$A$}
\uput[r](2.5,6.25){$M$}
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer l'ordonnée de $M$.
L'ordonnée de $M$ est $f(x)=x^2$.

\item %Calculer le coefficient directeur de la droite $(AM)$ et montrer qu'il vaut $x+3$.
Le coefficient directeur de la droite $(AM)$  est $\dfrac{f(x)-f(3)}{x-3}=\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x+3$.

\item Lorsque $x$ tend vers 3, $x+3$ tend vers 6.

\item %En déduire la valeur de $f'(2)$.
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{f'(2)=6}}$

\item On prend cette fois un point $A$ de $\mathscr{P}$ d'abscisse $a$, $a$ étant une valeur quelconque.\\
%Quelle est l'ordonnée de $A$ ?
L'ordonnée de $A$  est $a^2$.

\item On reprend le point $M$ de $\mathscr{P}$ d'abscisse $x$.\\
%Exprimer en fonction de $x$ et de $a$ le coefficient directeur de la sécante $(AM)$.
Le coefficient directeur de la sécante $(AM)$ est $\dfrac{x^2-a^2}{x-a}=\dfrac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\boxed{\textcolor{red}{x+a}}$

\item %Simplifier cette expression et calculer vers quelle valeur elle tend lorsque $x$ se rapproche de plus en plus près de $a$.
Lorsque $x$ tend vers $a$,ce quotient tend vers $2a$.

\item On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{f'(a)=2a}}$
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  