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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques spécifiques : correction du contrôle sur la dérivation}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(1 point)}}

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x^2 + 1$.\\
Parmi les expressions suivantes, laquelle est celle de la dérivée de $f$ ? 

%
%\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=8x=j(x)}}$ 

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x) = 6x^3 -1,5x^2 +12.\]
$f'(x)=6\times 3x^2-1,5\times 2x=\boxed{\textcolor{red}{18x^2-3x}}$

%\subsection{}
%Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x) = -x^3 + 7x+ 7.\]

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ dont la dérivée est \\
$f'(x)=(x+3)(x-2)$.\\
%Combien la courbe représentative de $f$, $\mathscr{C}_f$, admet-elle de tangentes horizontales ?
$f'(x)$ s'annule pour $x=-3$ ou $x=2$.\\
$\mathscr{C}_f$ admet deux tangentes horizontales, une en $x=-3$ et l'autre en $x=2$.

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2 points)}}
%La fonction $h : x\mapsto x^3 - 300x+ 2$ admet-elle des tangentes horizontales? En quels points ?
$h'(x)=3x^2-300=3\left(x^2-100\right)=3(x+10)[x-10)$.\\
$h'(x)=0$ pour $x=-10$ ou $x=10$.\\
$\mathscr{C}_h$ admet deux tangentes horizontales, en $A(-10~;~\numprint{2002})$ et $B(10~;~-\numprint{1998})$.

%\subsection{}
%Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=3(x-2)^2.\]
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Montrer que $f(x)=3x^2-12x+12$.
%
%\item En déduire une expression de $f'(x)$.
%
%\item Étudier le signe de $f'(x)$.
%
%\item En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
%\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [-2~;~2] par $f(x) =x^3+0,5x^2 -4x+1.$ 

\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer, pour tout réel $x$ de [-2; 2], l'expression de la dérivée $f'(x)$. 
$\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3x^2+x-4}}$

\item %Montrer que $f'(x)=(3x+4)(x-1)$. 
$f'(x)=(3x+4)(x-1)=3x^2-3x+4x-4=3x^2+x-4=f'(x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=(3x+4)(x-1)}}$.

\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item %Étudier le signe de $3x+4$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3x+4=0\iff x=-\dfrac{4}{3}$

\item $3x+4>0\iff x>-\dfrac{4}{3}$
\end{enumerate}

\item %Étudier le signe de $x-1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x-1=0\iff x=1$

\item $x-1>0\iff x>1$
\end{enumerate}

\item %En déduire le tableau de signes de $f'(x)$.
Tableau de signes de $f'(x)$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&-\dfrac{4}{3}&&1&&2\\
\hline
3x+4&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
x-1&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire le tableau de variations de f. 
Tableau de variations de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-2&&-\dfrac{4}{3}&&1&&2\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
f(x)&3&\c&\h{\dfrac{131}{27}\approx 4,8}&\d&-\dfrac{3}{2}&\c&\h{3}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Déterminer le maximum et le minimum de $f$ sur [-2~;~2].\\Òn placera ces valeurs dans le tableau de variation.
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item $f(-2)=3$

\item $f\left(-\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{131}{27}$

\item $f(1)=-\dfrac{3}{3}$

\item $f(2)=3$
\end{enumerate}
On en déduit que le minimum de $f$ sur $[-2~;~2]$ est $-\dfrac{3}{2}$ et le maximum $\dfrac{131}{27}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[f(x)=x^3-\dfrac{9}{2}x^2-30x+1.\]
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x)=3x^2-\dfrac{9}{2}\times 2x-30=\boxed{\textcolor{red}{3x^2-9x-30=3\left(x^2-3x-10\right)}}$

\item %Montrer que $f'(x)=3(x-5)(x+2)$.
$3(x-5)(x+2)=3\left[x^2+2x-5x-10\right]=3\left(x^2-3x-10\right)=f'(x)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3(x-5)(x+2)}}$

\item %Pourquoi le signe de $f'(x)$ est-il le même que celui de $(x-5)(x+2)$ ?
Le signe de $f'(x)$ est-il le même que celui de $(x-5)(x+2)$ car 3 est positif.

\item %Étudier le signe de $x-5$ puis de $x+2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x-5=0\iff x=5$ et $x-4>0\iff x>5$

\item $x+2=0\iff x=-2$ et $x+2>0\iff x>-2$.
\end{enumerate}

\item %Dresser le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variation de $f$.
Tableau de signes de $f'(x)$ ety de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&5&&\pI\\
\hline
x-5&&-&\l&-&\z&=&\\
\hline
x+2&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{35}&\d&-\dfrac{273}{2}&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades $t$ jours après l'apparition des premiers cas est modélisé par $f(t) = 45t^2 - t^3 + 100$, pour tout $t$ appartenant à [0~;~45]. 

\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 10 jours.
Le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 10 jours est $\boxed{\textcolor{red}{f(10)=\numprint{3600}}}$

\item %Montrer que, pour tout $t$ appartenant à [0~;~45] :\[f'(t)=3t(30-t). \]
$f'(t)=45\times 2t-3t^2=90t-3t^2=\boxed{\textcolor{red}{3t(30-t)}}$

\item %Déterminer le signe de $f'( t)$ sur $[0~;~45]$ et en déduire les variations de $f$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3t^2=0$ pour $t=0$ et $3t^2\geqslant 0$ pour tout $t$.

\item $30-t=0\iff t=30$ et $30-t\geqslant 0\iff 30\geqslant t\iff t\leqslant 30$

\item Tableau de signes et de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&30&&45\\
\hline
3t^2&\l&+&\l&+&\\
\hline
30-t&\l&+&\z&-&\\
\hline
f'(t)&\z&+&\z&-&\\
\hline
\m{f(t)}&100&\c&\h{\numprint{13600}}&\d&100\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item %Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades. 
Ld nombre de personnes malades est maximal le trentième jours et est égal à \numprint{13600}.

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  