<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques complÃ©mentaires : contrÃ´le sur les limites de fonctions}}\end{center}


\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
On a tracÃ© ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ d'une fonction f dÃ©finie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2~;~1\right\}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-6,-6)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-6)(6,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-6}{-3.04}{(x+4)/((x+3)*(x-1))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2.955}{.785}{(x+4)/((x+3)*(x-1))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.2}{6}{(x+4)/((x+3)*(x-1))}
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](-3,-6)(-3,6)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](1,-6)(1,6)
\uput[ur](2,1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item DÃ©terminer graphiquement :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x&lt;-3}}f(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x&gt;-3}}f(x)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x&lt;1}}f(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x&gt;1}}f(x)$
\end{enumerate}

\item Indiquer les asymptotes Ã©ventuelles Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$.

\end{enumerate}

\subsection{ \textcolor{blue}{(1,5 point)}}
Lâ€™affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? (justifier sa rÃ©ponse) :\\
\og{}Si $f$ est une fonction strictement dÃ©croissante sur $]0~;~+\infty[$ alors on a nÃ©cessairement $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty\fg{}$.

\subsection{ \textcolor{blue}{(2 points)}}
Recopier et complÃ©ter les phrases suivantes par \og{}$\lim_{x\rightarrow \cdots}\cdots=\cdots\fg{}$,\og{}$x=\cdots$ \fg{},\og{}$y=\cdots$ \fg{}, \og{} verticale \fg{}, \og{} horizontale \fg{}.

\begin{enumerate}
\item Si $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x&gt;1}}f(x)=-\infty$, alors la droite dâ€™Ã©quation \pointille[3cm] est une asymptote \pointille[3cm] Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$.

\item Si \pointille[3cm] , alors la droite dâ€™Ã©quation $y = 5$ est une asymptote horizontale Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ en $-\infty$.
\end{enumerate}






\subsection{ \textcolor{blue}{(4 points)}}
Calculer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{7x^2-3x-5}{x^2+1}\right)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 2\\x&lt;2}}\left(\dfrac{x^2+x-1}{x-2}\right)$


\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -5\\x&lt;-5}}\left(\dfrac{3x+4}{x+5}\right)$
\end{enumerate}



%\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
%On donne ci-dessous le tableau de variation d'une fonction $f$ continue :
%\begin{center}
%\begin{variations}
%x&amp;\mI&amp;&amp;-5&amp;&amp;-2&amp;&amp;2&amp;&amp;5&amp;&amp;\pI\\
%\hline
%\m{f(x)}&amp;\h{\pI}&amp;\dh&amp;\m{2}&amp;\db&amp;-6&amp;\c&amp;\h{-1}&amp;\dh&amp;\m{-6}&amp;\db&amp;\mI\\
%\hline
%\end{variations}
%\end{center}
%DÃ©terminer le nombre de solutions de l'Ã©quation $g(x)=0$ et prÃ©ciser les intervalles auxquelles appartiennent ces solutions.



\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On considÃ¨re la fonction $h$ dÃ©finie sur $\mathbb{R}$  de la maniÃ¨re suivante :
$h(x) =\begin{cases}3x-1\text{ si }x\leqslant 2\\x^2+1\text{ si }x&gt;2\end{cases}$\\
Cette fonction est-elle continue en 2 ?


\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit $f$ la fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}$.\\
Cette courbe est reprÃ©sentÃ©e ci-dessous :
\begin{center}
\psset{xunit=0.8,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-10,-2)(10,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-10,-2)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0](-10,-2)(10,4)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red,plotpoints=400]{-10}{10}{(3*x^2+x-1)/(x^2+1)}
\psline[linewidth=1.5pt](-10,3)(10,3)
\uput[d](4,2.5){$\mathscr{C}_f$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item DÃ©terminer algÃ©briquement $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$.

\item DÃ©terminer graphiquement $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$.

\item En dÃ©duire la valeur de $a$.

\item Trouver graphiquement la valeur de $c$.

\item On admet que $f(1)=\dfrac{3}{2}$. En dÃ©duire la valeur de $b$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit $f$ la fonction dÃ©finie sur $[0~;~+\infty[$ par : $f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Peut-on trouver directement $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ ?

\item Conjecturer, en calculant $f(x)$ avec des valeurs de plus en plus grandes de $x$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$.

\item Expliquer pourquoi, pour $a&gt;0$ et $b\geqslant 0$, on a : $a-b=\dfrac{a^2-b^2}{a+b}$.

\item En utilisant le rÃ©sultat de la question prÃ©cÃ©dente, calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Indication}} : prendre $a=\sqrt{x+1}$ et \dots
\end{enumerate}



\subsection*{\textcolor{blue}{Bonus (2 points)}}
Calculer $\lim_{x\rightarrow 3}\left(\dfrac{x^2-9}{x-3}\right)$.


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>