<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques complÃ©mentaires : contrÃ´le sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ dÃ©finie par. $u_n=3n^2+1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ dÃ©finie par : 
\[\begin{cases}u_0=2\\u_ {n+1}=2u_n+3\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}.\]
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite arithmÃ©tique de premier terme $u_0=-3$ et de raison $r=5$.\\
Calculer $u_5$.

\item $\left(u_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$.\\
Calculer $u_5$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

Ã‰tudier les variations des suites $\left(u_n\right)$ suivantes dÃ©finies par :
\begin{enumerate}[1)]

\item $\begin{cases}u_0=-7\\u_{n+1}=u_n+3n+5\end{cases}$.

\item $u_n=\dfrac{n+1}{n+2}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Le nombre $12+17+\cdots+ 67$ est la somme $S$ de termes consÃ©cutifs dâ€™une suite arithmÃ©tique.\\
On pose $u_0=12$.

\begin{enumerate}

\item Quelle est la raison de cette suite ?

\item Quel est le rang du dernier terme 67 ?

\item  Calculer alors $S$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{\numprint{19683}}$ la somme de termes consÃ©cutifs d'une suite gÃ©omÃ©trique.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la raison $q$ de cette suite ?

\item On pose $u_0=\dfrac{1}{3}$.\\
On sait que $3^9=\numprint{19683}$ ; quel est le rang $n$ du terme $u_n=\dfrac{1}{\numprint{19683}}$.

\item En dÃ©duire la valeur de $S$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
DÃ©terminer$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$ dans les cas suivants (en \textbf{justifiant soigneusement} !) :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=(3n+2)(-5n+1)$

\bigskip

\item $u_n=2+5^n$

\bigskip

\item $u_n=2n^2-3n+1$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n^2-n+3}{2n^2+7}$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n+1}{n^2+1}$
\end{enumerate}


%\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
%Au 1er janvier 2020, un arboriculteur possÃ¨de \numprint{5000} pommiers.\\
%Chaque annÃ©e :
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item  il arrache 4\:\% des pommiers car ils sont endommagÃ©s ;
%
%\item il replante 300 nouveaux pommiers.
%
%\end{enumerate}
%On modÃ©lise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ oÃ¹, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ reprÃ©sente le nombre de pommiers possÃ©dÃ©s par lâ€™arboriculteur au 1\ier{} janvier de lâ€™annÃ©e $2020+n$.\\
%Par consÃ©quent, on a $u_0=\numprint{5000}$
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
%
%\item Combien de pommiers possÃ¨dera lâ€™arboriculteur au 1er janvier 2022 ? 
%
%\item Justifier que, pour tout $n$, on a : $u_ {n+1}=0,96u_n+300$.
%
%\item On dÃ©finit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-\numprint{7500}$ , pour tout entier naturel $n$.
%
%\begin{enumerate}
%\item  Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique dont on prÃ©cisera la raison et le premier terme $v_0$.
%
%\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
%
%\item En dÃ©duire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n=7500-2500\times 0,96^n$.
%
%\item DÃ©terminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$.
%
%\item Que peut-on en dÃ©duire dans le contexte de l'exercice ?
%
%\end{enumerate}
%
%\item La superficie des terrains de lâ€™arboriculteur lui permet dâ€™avoir au maximum \numprint{6000} pommiers.\\
%Expliquer pourquoi cela va lui poser problÃ¨me.
%
%\item Lâ€™arboriculteur voudrait savoir en quelle annÃ©e il devra acquÃ©rir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.\\
%Peux-tu lui indiquer en quelle annÃ©e il devra acquÃ©rir ce terrain ?
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Le gazon dâ€™un champ de 5000 \si{\square\metre} est envahi par des pissenlits qui dÃ©truisent 20\:\% de la surface en un an.\\
Chaque automne, Catherine arrache 250 \si{\square\metre} de pissenlits afin de semer de la pelouse.\\
On pose $p_0=\numprint{5000}$ la surface initiale en \si{\square\metre} de pelouse et $p_n$ la surface Ã&nbsp; la fin de $n$ annÃ©es oÃ¹ $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la surface de pelouse au bout dâ€™une et deux annÃ©es.

\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $p_{n+1}=0,8p_n+250$.

\item On dÃ©finit, pour tout entier naturel $n$ , la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=p_n-\numprint{1250}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique de raison $q=0,8$.\\
DÃ©terminer son premier terme $v_0$.

\item Donner lâ€™expression du terme gÃ©nÃ©ral $v_n$ en fonction de $n\in\mathbb{N}$.

\item En dÃ©duire une expression de $p_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}

\item Quel est le sens de variation de la suite $\left(p_n\right)$ ?

\item Quelle sera lâ€™aire de gazon sans pissenlit au bout de 10 ans ?

\item DÃ©terminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}p_n$.

\item Donner une interprÃ©tation concrÃ¨te de cette limite.

\end{enumerate}



%\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice facultatif (2 points)}}
%Calculer, en expliquant, la somme 
%\[S=23+26+29+32+\cdots+128.\]


\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice facultatif (2 points)}}
Deux amis partent pour une randonnÃ©e de 200 \si{\kilo\metre}.\\
Le premier jour, ils marchent 20  \si{\kilo\metre}. En raison de la fatigue, la distance parcourue diminue de 5\:\% par jour.\\
DÃ©terminer en combien de jours ils termineront leur randonnÃ©e.


\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>