<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{MathÃ©matiques complÃ©mentaires : corrigÃ© du contrÃ´le sur les suites}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ dÃ©finie par. $u_n=3n^2+1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
%Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=3\times 0^2+1=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $u_1=3\times 1^2+1=3+1=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $u_2=3\times 2^2+1=12+1=\boxed{\textcolor{red}{13}}$
\end{enumerate}

\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ dÃ©finie par : \\
$\begin{cases}u_0=2\\u_ {n+1}=2u_n+3\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}$.
%Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=2u_0+3=2\times 2+3=\boxed{\textcolor{red}{7}}$

\item $u_2=2u_1+3=2\times 7+3=\boxed{\textcolor{red}{17}}$

\item $u_3=2u_2+3=2\times 17+3=\boxed{\textcolor{red}{37}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite arithmÃ©tique de premier terme $u_0=-3$ et de raison $r=5$.\\
%Calculer $u_5$.
Le terme gÃ©nÃ©al est $u_n=u_0+nr$ donc $u_5=-3+5\times 5\\
=-3+25=22$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_5=22}}$

\item $\left(u_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$.\\
%Calculer $u_5$.
Le terme gÃ©nÃ©al est $u_n=u_0\times q^n$ donc $u_5=5\times 2^5\\
=5\times 32=160$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_5=160}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

Ã‰tudier les variations des suites $\left(u_n\right)$ suivantes dÃ©finies par :
\begin{enumerate}[1)]

\item $\begin{cases}u_0=-7\\u_{n+1}=u_n+3n+5\end{cases}$.\\
Pour tout $n$, $u_ {n+1}-u_n=3n+5\geqslant 0$ donc la suiite est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item %$u_n=\dfrac{n+1}{n+2}$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$ :\\
$u_ {n+1}-u_n=\dfrac{(n+1)+1}{(n+1)+2}-\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{n+2}{n+3}-\dfrac{n+1}{n+2}\\
=\dfrac{(n+2)^2-(n+3)(n+1)}{(n+2)(n+3)}\\
=\dfrac{\left[n^2+4n+4\right]-\left[n^2+n+3n+3\right]}{(n+2)(n+3)}\\
=\dfrac{n^2+4n+4-n^2-3n-n-3}{(n+2)(n+3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{(n+2)(n+3}&gt;0}}$.\\
On en dÃ©duit que la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Le nombre $12+17+\cdots+ 67$ est la somme $S$ de termes consÃ©cutifs dâ€™une suite arithmÃ©tique.\\
On pose $u_0=12$.

\begin{enumerate}

\item %Quelle est la raison de cette suite ?
$17-12=5$ donc la raison de la suite est $\boxed{\textcolor{red}{r=5}}$.

\item %Quel est le rang du dernier terme 67 ?
Le terme gÃ©nÃ©ral est $u_n=u_0+nr=12+5n$ donc $12+5n=67$.\\
On en dÃ©duit $5n=67-12=55$ d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{n=11}}$.

\item  %Calculer alors $S$.
On sait que $S=(n+1)\times \dfrac{u_0+u_n}{2}=12\times \dfrac{12+67}{2}\\
=6\times 79=9474$ ; $\boxed{\textcolor{red}{S=474}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $S=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{9}+\cdots+\dfrac{1}{\numprint{19683}}$ la somme de termes consÃ©cutifs d'une suite gÃ©omÃ©trique.
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la raison $q$ de cette suite ?
$u_1=\dfrac{1}{3}u_0$ donc la raison de cette suite gÃ©omÃ©trique est $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{1}{3}}}$

\item On pose $u_0=\dfrac{1}{3}$.\\
%quel est le rang $n$ du terme $u_n=\dfrac{1}{\numprint{19683}}$.
On sait que $3^9=\numprint{19683}$ ;\\ 
Le terme gÃ©nÃ©ral est $u_n=u_0\times q^n$.\\
Donc $u_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n=\left(\dfrac{1}{3}^{n+1}\right)$.\\
Alors : $\dfrac{1}{\numprint{19683}}=\dfrac{1}{3}^9=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}$.\\
On en dÃ©duit $n+1=9$ donc $\boxed{\textcolor{red}{n=8}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{\numprint{19683}}=u_8}}$

\item %En dÃ©duire la valeur de $S$.
On sait que $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.\\
$S=u_0+\cdots+u_8=u_0\times \dfrac{1-q^9}{1-q}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^9}{1-\dfrac{1}{3}}\\
=\dfrac{1}{3}\times  \dfrac{1-\frac1{\numprint{19683}}}{\frac23}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{2}\times \dfrac{\numprint{19682}}{19683}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\numprint{9841}}{19683}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
DÃ©terminer$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$ dans les cas suivants (en \textbf{justifiant soigneusement} !) :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=(3n+2)(-5n+1)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}(3n+2)=+\infty$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}(-5n+1)=-\infty$

\item Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty}}$

\end{enumerate}
\bigskip

\item $u_n=2+5^n$.\\
$5&gt;1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}5^n=+\infty$.\\`
On en dÃ©duit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$

\bigskip

\item $u_n=2n^2-3n+1$\\
On a une forme indÃ©terminÃ©e.\\
On factorise par le terme de plus haut degrÃ©.\\
$2n^2-3n+1=n^2\left(2-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2=+\infty$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{3}{n}=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n^2}=0$\\
Donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)=2$

\item Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$
\end{enumerate}

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n^2-n+3}{2n^2+7}$.\\
On a une forme indÃ©terminÃ©e.
$u_n=\dfrac{n^2\left(3-\frac1n+\frac3{n^2}\right)}{n^2\left(2+\frac7{n^2}\right)}\\
=\dfrac{3-\frac1n+\frac3{n^2}}{2+\frac7{n^2}}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3-\frac1n+\frac3{n^2}\right)=3$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2+\dfrac{7}{n^2}\right)=2$

\item par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\dfrac{3}{2}}}$
\end{enumerate}
\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n+1}{n^2+1}$. On a une forme indÃ©terminÃ©e.\\
$u_n=\dfrac{n\left(3+\frac1n\right)}{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}=\dfrac{3+\frac1n}{n\left(1+\frac1n^2\right)}$.\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3+\dfrac{1}{n}\right)=3$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)=1$.

\item par produit et quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Le gazon dâ€™un champ de 5000 \si{\square\metre} est envahi par des pissenlits qui dÃ©truisent 20\:\% de la surface en un an.\\
Chaque automne, Catherine arrache 250 \si{\square\metre} de pissenlits afin de semer de la pelouse.\\
On pose $p_0=\numprint{5000}$ la surface initiale en \si{\square\metre} de pelouse et $p_n$ la surface Ã&nbsp; la fin de $n$ annÃ©es oÃ¹ $n\in\mathbb{N}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer la surface de pelouse au bout dâ€™une et deux annÃ©es.
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une baisse de 20\:\% est $C=1-0,2=0,8$.\\
Au bout d'un an : \\
$p_1=0,8p_0+240=0,8\times \numprint{5000}+250=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4250}}}$.\\
Au b out de deux ans : \\
$p_2=0,8p_1+250=\numprint{3650}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p_2=\numprint{3650}}}$

\item %Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $p_{n+1}=0,8p_n+250$.
On a clairement : $p_{n+1}=0,8p_n+250$.

\item On dÃ©finit, pour tout entier naturel $n$ , la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=p_n-\numprint{1250}$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique de raison $q=0,8$.\\
%DÃ©terminer son premier terme $v_0$.
Pour tut $n$:\\
$v_{n+1}=p_{n+1}-\numprint{1250}\\
=\left(0,8p_n+250\right)-\numprint{1250}\\
=0,8p_n-\numprint{1000}=0,8\left(p_n-\dfrac{\numprint{1000}}{0,8}\right)\\
=0,8\left(p_n-\numprint{1250}\right)=\boxed{\textcolor{red}{0,8v_n}}$.\\
On en dÃ©duit que la suite $\left(v_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique, de raison $q=0,8$.\\
Le premier terme est \\
$v_0=p_0-1250=\numprint{5000}-\numprint{1250}=\numprint{3750}$.

\item %Donner lâ€™expression du terme gÃ©nÃ©ral $v_n$ en fonction de $n\in\mathbb{N}$.
Puisque $\left(vn\right)$ est gÃ©omÃ©trique, on a : \\
$v_n=v_0\times q^n=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{3750}\times 0,8^n}}$.

\item %En dÃ©duire une expression de $p_n$ en fonction de $n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
$v_n=p_n-\numprint{1250}$ donc, pour tout $n$ : $\boxed{\textcolor{red}{p_n=\numprint{1250}+\numprint{3750}\times 0,8^n}}$.
\end{enumerate}

\item %Quel est le sens de variation de la suite $\left(p_n\right)$ ?
$0&lt;0,8&lt;1$ donc la suite $\left(p_n\right)$ est dÃ©croissante.

\item %Quelle sera lâ€™aire de gazon sans pissenlit au bout de 10 ans ?
$p_{10}=1250+3750\times 0,8^{10}\approx \numprint{1652,7}$.\\
Au bout de 19, ans, l'aire du gazon est de \numprint{1652,7} \si{\square\metre} 

\item %DÃ©terminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}p_n$.
$-1&lt;0,8&lt;1$ donc \\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}0,8^n=0$ d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}p_n=\numprint{1250}}}$

\item %Donner une interprÃ©tation concrÃ¨te de cette limite.
La surface de gazon va se stabiliser Ã&nbsp; \numprint{1250}\si{\square\metre}.

\end{enumerate}




\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice facultatif (2 points)}}
Deux amis partent pour une randonnÃ©e de 200 \si{\kilo\metre}.\\
Le premier jour, ils marchent 20  \si{\kilo\metre}. En raison de la fatigue, la distance parcourue diminue de 5\:\% par jour.\\
%DÃ©terminer en combien de jours ils termineront leur randonnÃ©e.
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une baisse de 5\:\% est $c=1-\dfrac{5}{100}=0,95$.\\
Notons $d_n$ la distance parcourue le jour \no $n$.\\
On a : $\boxed{\textcolor{red}{d_1=20}}$.\\
Pour tout $n$, $d_{n+1}0 ,95d_n$.\\
$\left(d_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique de raison $0,95$.\\
Au bout de $n$ jours, ils ont parcouru :\\
$d_1+d_2+\cdots+d_{n}=d_1\dfrac{1-q^n}{1-q}=20\times \dfrac{1-0,95^n}{1-0,95}\\
=20\times \dfrac{1-0,95^n}{0,05}=400\left(1-0,95^n\right)$.\\
Ils doivent parcourir 200 km.\\
On doit avoir $1-0,95^n\geqslant \dfrac{1}{2}$ donc $0,5\geqslant 0,95^n$.\\
On trouve, Ã&nbsp; la calculatrice : $\boxed{\textcolor{red}{n=14}}$.\\
Ils auront terminÃ© le 14\ieme{} jour.


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>