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% pour le pied de page central
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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires : exercices sur les limites de suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Calculer :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-2n)\left(n^2+3\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)^2$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{1-2n^2}$

\bigskip

$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2-4n\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-2n^3+3n^2-5n+3\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{n^2-4n+3}{4n^2+5}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{-3n+4}{n^2+1}\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(4-3^n\right)$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}5\sqrt{2}^n$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}50\times 0,7^n$

\bigskip

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2^n}{5^n}\right)$

\end{enumerate}

\subsection{}
En 2015, on estime à \numprint{3200} le nombre de tigres sauvages dans le monde.\\
On peut craindre que ce nombre continue dans les années à venir à diminuer de 3\:\% par an.\\
Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ le nombre de tigres sauvages en l’an $2015 + n$ selon ce modèle.

\begin{enumerate}
\item Déterminer l’expression de $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$, pour tout entier naturel $n$.

\item Quelle est la nature de la suite $\left(T_n\right)$ ?\\
En déduire l’expression de $T_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

\item Quelle est la limite de $T_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

\item Que peut-on en conclure ?

\end{enumerate}

\subsection{}
En 2018, on évalue la population d’une ville à \numprint{10000} habitants. Chaque année, 10\:\% de la population quitte la ville, et 500 personnes viennent s’y installer.\\
On modélise la population de cette ville par une suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$, où $u_n$ est égal au nombre d’habitants en $2018 + n$.

\begin{enumerate}
\item  Préciser $u_0$, puis calculer la population en 2019.

\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,9u_n + 500$.

\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est ni arithmétique, ni géométrique. Peut-on calculer facilement à la main la population en 2040 ?

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par \[v_n = u_n - \numprint{5000}.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9.

\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.

\item Déterminer alors la population de la ville en 2040.
\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  