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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Généralités sur les suites (rappels de 1\iere)}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Notion de suite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et notation}}
On appelle suite u de nombres réels toute \textbf{fonction} définie sur l’ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels.\\
L’image par $u$ d’un entier naturel $n$ est le réel $u(n)$ (notation fonctionnelle) qu'on note de manière traditionnelle  $u_n$, et se lit \og{}u indice n\fg{}.\\
On dit que $u_n$ est le terme général de la suite $u$ (de rang $n$).\\
Ainsi, les termes successifs, se notent-ils $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ etc.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples de suites}} :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le suite des entiers naturels 0, 1, 2, 3, etc

\item la suite des entiers pairs : 0, 2, 4, 6, 8, etc.	

\item la suite des décimales du nombre $\pi$ : 1~;~4~;~1~;~5~;~9~;~2 etc
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Moyens de définir une suite}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{red}{Définition explicite}} : on définit directement le terme de rang $n$ en fonction de $n$.\\
Exemples: 

\begin{enumerate}[a)]
\item la suite des entiers naturels : $u(n)=n$

\item la suite des entiers pairs : $u(n)=2n$

\end{enumerate}

\item \textbf{\textcolor{red}{Définition au moyen d'une \og{}relation de récurrence\fg{}}}.\\
On définit un terme à l'aide du terme précédent ou des termes précédents et du premier (ou de plusieurs) premier terme.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n+1$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
On obtient : \\
$u_1=3u_0+1=3\times 1+1=4$\\
$u_2=3u_1+1=3\times 4+1=13$\\
$u_3=3u_2+1=3\times 13+1=40$ etc.\\
On peut calculer tous les termes, de proche en proche.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Suite de Fibonacci}} :\\
Pour plus d'informations, cliquer \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci}{ici}
Cette suite est définie par : 
$F_1=F_2=1$ puis, pour tout $n\geqslant 1$, $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$.\\
On a :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\
\hline
$F_n$&1&1&2&3&5&8&13&21&34&55&89&144\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
La suite doit son nom à Leonardo Fibonacci (ou Léonard de Pise) qui, dans un problème récréatif posé dans l'ouvrage Liber abaci publié en 1202, décrit la croissance d'une population de lapins : \og{}Quelqu’un a déposé un couple de lapins dans un certain lieu, clos de toutes parts, pour savoir combien de couples seraient issus de cette paire en une année, car il est dans leur nature de générer un autre couple en un seul mois, et qu’ils enfantent dans le second mois après leur naissance. \fg{}.\\
 Dans cette population idéale, on suppose que :

\begin{itemize}
\item au début du premier mois, il n'y a qu'une paire de lapereaux ;

\item les lapins ne peuvent procréer qu'à partir de l'âge de deux mois ;

\item chaque début de mois, toute paire susceptible de procréer engendre exactement une nouvelle paire de lapereaux ;

\item les lapins ne meurent jamais (la suite de Fibonacci est donc croissante (et tend vers l'infini)

\end{itemize}
Ce modèle d'évolution est donc irréaliste, mais c'est le premier connu.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Variations}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $u$ une suite définie sur $\mathbb{N}$.\\
Si pour tout entier naturel n, $u_{n+1} - u_n \geqslant  0$, alors la suite $u$ est croissante sur $\mathbb{N}$.\\
Si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} - u_n \leqslant  0$, alors la suite $u$ est décroissante sur $\mathbb{N}$.
\end{bclogo}
%
Exemples : 

\begin{enumerate}
\item $u_n=\dfrac{1}{n+1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{n+1-n-2}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}=-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}\\
<0$ donc la suite est décroissante.

\item $u_0=1$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+n^2$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=n^2\geqslant 0$ donc la suite est croissante.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Suites arithmétiques}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
Par conséquent : $u_{n+1}-u_{n}=r$ ; la différence entre deux termes consécutifs est constante.\\
$r$ est appelé \textbf{\textcolor{red}{raison}} de la suite.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la suite des entiers naturels

\item la suite des entiers pairs (ou impairs)

\item la hauteur dont on s'élève en grimpant un escalier
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} le terme \og arithmétique\fg~vient de ce que chaque terme est la moyenne arithmétique du terme qui le précède et de celui qui le suit : $u_{n}=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Écriture explicite des termes}}
 
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème }}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on  : $u_{n}=u_{0}+nr$.\\
Plus généralement : pour tout $p$, $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} (pas très rigoureuse, tant que l'on n'a pas vu les démonstrations par récurrence)
On a successivement : \\
$u_{1}=u_{0}+r$\\
$u_{2}=u_{1}+r=\left(u_{0}+r\right)+r=u_{0}+2r$\\
$u_{3}=u_{2}+r=\left(u_{0}+2r\right)+r=u_{0}+3r$\\
\dots\\
$u_{n-1}=u_{0}+(n-1)r$\\
$u_{n}=u_{n-1}+r=\left(u_{0}+(n-1)r\right)+r=u_{0}+nr$\\

\noindent Sinon, $u_{n}=u_{0}+nr$ et $u_{p}=u_{0}+pr$ ; par soustraction, on a : $u_{n}-u_{p}=(n-p)r$ donc $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème :}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ un suite arithmétique de raison $r$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $r=0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante.

\item Si $r>0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\item Si $r<0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

Démonstration :\\
$u_{n+1}-u_{n}=r$ d'où le résultat.

\subsection{\textcolor{red}{Suites géométriques}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=qu_{n}$.\\
$q$ est appelé \textbf{\textcolor{red}{raison}} de la suite.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la suite des puissances de 2 : $2^0,~ 2^1,~\cdots,~2^n\cdots$ est une suite géométrique de raison $q=2$

\item la population d'une ville augmente chaque année de 1,5~\% ; elle est donc multipliée chaque année par le nombre (coefficient multiplicateur) $\left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)=1,015$. on obtient une suite géométrique de raison $q=1,015$.

\item Le livret A (livret de Caisse d'épargne) a un taux d'intérêts composés de 1,7\:\% .\\
Chaque année, le capital de l'année précédente produit des intérêts égaux à 1,7\:\% du capital et viennent \textbf{s'ajouter} à ce capital pour former le nouveau capital.\\
On note $C_0$ l capital initial et $C_n$ le capital acquis au bout de $n$ années.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item %Montrer que $C(1)=1,01\times C(0)$ et plus généralement $C(n+1)=1,01C(0)$.
On a donc $C_1=C_0+\dfrac{1,7}{100}\times C_0=C_0\times \left(1+\dfrac{1,7}{100}\right)=1,017C_0$

\item %Quelle est la nature de la suite $C$ ?
De. Même, pour tout $n$, $C_{n+1}=1,017C_n$.\\
La suite $\left(C_n\right)$ est géométrique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,017}}$.

\item Le terme général est alors : $C_n=C_0q^n$.

\item Imaginons que Jules ait ouvert un Livret A et placé \numprint{1000} \euro{ } sur son livret.\\
On aura : $C_n=\numprint{1000}\times 1,017^n$.\\
Au bout de 10 ans, son capital sera $C_{10}=\numprint{1000}\times 1,017^{10}\approx \boxed{\textcolor{red}{1183,61\text{ \euro{}}}}$.\\
Au bout de 41 ans, $C_{41}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{1996}\text{ \euro}}}$\\
Au bout de 42 ans, $C_{42}\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{2029,93}\text{ \euro}}}$.\\
Il faut attendre 42 ans pour que le capital double (hors inflation !).
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} le terme \og géométique\fg~vient de ce que chaque terme est la moyenne géométrique du terme qui le précède et de celui qui le suit : $u_{n}=\sqrt{u_{n-1}\times u_{n+1}}$.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Écriture explicite des termes}}
 
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème }}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on  : $u_{n}=u_{0}q^n$.\\
Plus généralement : pour tout $p$, $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Justification}}
On a successivement : \\
$u_{1}=qu_{0}$\\
$u_{2}=u_{1}\times q=\left(u_{0}\times q\right)\times q=u_{0}q^2$\\
$u_{3}=u_{2}\times q=\left(u_{0}\times q^{2}\right)=u_{0}\times q^{3}$\\
\dots\\
$u_{n-1}=u_{0}\times q^{n-1}$\\
$u_{n}=u_{n-1}\times q=\left(u_{0}\times q^{n-1}\right)\times q=u_{0}\times q^{n}$\\

\noindent Sinon, $u_{n}=u_{0}q^{n}=u_{0}q^{p}\times q^{n-p}=u_{p}q^{n-p}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{15cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème :}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ un suite géométrique de raison $q$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante.

\item Si $q>1$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante si $u_{0}>0$ et décroissante si $u_{0}<0$.

\item Si $0<q<1  $, la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante si $u_{0}>0$ et croissante si $u_0<0$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

Démonstration :\\
$u_{n+1}-u_{n}=u_{0}q^n-u_{0}q^{n-1}=u_{0}q^{n-1}(q-1)$ qui est du signe de $u_{0}(q-1)$ d'où le résultat.

\subsection{\textcolor{red}{Somme de termes consécutifs}}
\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme des premiers entiers naturels}}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, notons $s_{n}$ la somme $s_{n}=1+2+3+\cdots+n$.\\
On a : $s_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
On écrit $s_{n}$ à l'endroit puis à l'envers et on ajoute terme à terme.\\
$s_{n}=1+2+3+\cdots+(n-1)+n$\\
$s_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1$.\\
En additionnant, on trouve : \\
$2s_{n}=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)=n(n+1)$ (car il y a $n$ termes égaux à $n+1$ ).\\
Par conséquent : $s_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Sommes des  termes consécutifs d'une suite arithmétique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{\textcolor{red}{Théorème :}}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$ et soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=\sum_{i=1}^nu_{i}$.\\
Alors : $S_{n}=(n+1)u_{0}+\dfrac{n(n+1)}{2}r$\\
ou $S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$ (nombre de termes multiplié par la demi-sommes des termes extrêmes).\\
$u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=(n-p+1)\left(\dfrac{u_{p}+u_{n}}{2}\right)$ (nombre de termes multiplié par la demi-sommes des termes extrêmes).
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :\\
\noindent $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}=u_{0}+\left(u_{0}+r\right)+\left(u_{0}+2r\right)=\cdots+\left(u_{0}+(n-1)r\right)+\left(u_{0}+nr\right)\\
=\left(u_{0}+u_{0}+\cdots u_{0}\right)+(1+2+\cdots+n)r=(n+1)u_{0}+\dfrac{n(n+1)}2{r}$\\



\noindent \textcolor{red}{Autre formule :}\\
On écrit là encore $S_{n}$ de deux fa\c cons différentes (à l'endroit puis à l'envers).\\
$S_{n}=u_{0}+\left(u_{0}+r\right)+\left(u_{0}+2r\right)+\cdots+\left(u_{n-1}+(n-1)r\right)+\left(u_{0}+nr\right)$.\\
$S_{n}=u_{n}+\left(u_{n}-r\right)+\left(u_{n}-2r\right)+\cdots+\left(u_{n}-(n-1)r\right)+\left(u_{n}-nr\right)$.\\
On ajoute terme à terme :\\
$2S_{n}=\left(u_{0}+u_{n}\right)+\cdots+\left(u_{0}+u_{n}\right)=(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)$ (car il y a $n+1$ termes dans la somme $S_{n}$).\\
D'où : $S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$\\

\noindent La formule $u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=(n-p+1)\left(\dfrac{u_{p}+u_{n}}{2}\right)$ se démontre de la même fa\c con ; le nombre de termes est $n-p+1$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme des premières puissances d'un nombre $q$}}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $q$ un nombre non nul.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, notons $s_{n}$ la somme $s_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^{n}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, $s_{n}=n+1$.

\item Si $q\neq 1$, $s_{n}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, c'est évident, puique $q^p=1$ pour tout $p$.

\item On écrit $s_{n}$ une première fois puis de nouveau en la multipliant par $q$ et on soustrait terme à terme.\\
$s_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^{n}$\\
$q\times s_{n}=q+q^2+q^3+q^n+q^{n+1}$.\\
En soustrayant, on trouve : $qs_{n}-s_{n}=q^{n+1}-1$ (car les autres termes s'annulent deux par deux).\\
Par conséquent : $s_{n}(q-1)=q^{n+1}-1$ d'où $s_{n}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$, que l'on peut aussi écrire $\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sommes des  termes consécutifs d'une suite géométrique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{\textcolor{red}{Théorème :}}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$ et soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=\sum_{i=1}^nu_{i}$.\\
Alors : $S_{n}=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
$u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=u_{p}\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :\\
\noindent $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}=u_{0}+u_{0}q+\cdots+u_{0}q^n=u_{0}\left(1+q+q^2+\cdots+q^n\right)=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.\\

\noindent $u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=u_{p}+u_{p}q+\cdots+u_{p}q^{n-p}=u_{p}\left(1+q+q^2+\cdots+q^{n-p}\right)=u_{p}\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item $1+3+3^2+\cdots+3^{15}=\dfrac{3^{16}-1}{3-1}=\dfrac{3^{16}-1}{2}=\numprint{21523360}$

\item $5^{11}+5^{12}+\cdots+5^{20}=5^{11}\dfrac{5^{20-11+1}-1}{5-1}=5^{11}\dfrac{5^{10}-1}{4}=\numprint{119209277343750}$


\item Légende de l'échiquier :\\
En Inde, le roi Belkib (ou Bathait), qui s'ennuie à la cour, demande qu'on lui invente un jeu pour le distraire. Le sage Sissa invente alors un jeu d'échecs, ce qui ravit le roi. Pour remercier Sissa, le roi lui demande de choisir sa récompense, aussi fastueuse qu'elle puisse être. Sissa choisit de demander au roi de prendre le plateau du jeu et, sur la première case, poser un grain de riz, ensuite deux sur la deuxième, puis quatre sur la troisième, et ainsi de suite, en doublant à chaque fois le nombre de grains de riz que l’on met. Le roi et la cour sont amusés par la modestie de cette demande. Mais lorsqu'on la met en œuvre, on s'aperçoit qu'il n'y a pas assez de grains de riz dans tout le royaume pour la satisfaire.

\end{enumerate}
\bigskip

Réponse : $N=2^{64}-1=\numprint{18446744073709551615}\approx 1,9^{19}$.\\
Sur la dernière case, on aurait \numprint{553402322211} tonnes, ce qui correspondrait à 962 années de production mondiale de riz !

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Suites arithmético-géométriques}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Soient $a$ et $b$ deux réels.\\
Une suite arithmético-géométrique est une suite $u$ définie par la donnée de son premier terme (généralement $u_0$ ou parfois $u_1$) et par une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1} = a \times  u_n + b$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $a = 1$, alors la suite $u$ est une suite arithmétique de raison $b$.

\item Si $a = 0$, alors la suite $u$ est une suite constante où tous les termes valent $b$.

\item Si $b = 0$, alors la suite $u$ est une suite géométrique de raison $a$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple d'étude : }}

Soit la suite $u$  définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2$.\\
On définit une suite auxiliaire $v$ par : $v_n=u_n-4$ pour tout $n$.

\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que $v$ est géométrique. On en précisera la raison.

\item Exprimer le terme $v_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire alors l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Réponses}} :

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-4=\left(\dfrac{1}{2}u_n+2\right)-4=\dfrac{1}{2}u_n-2=\dfrac{1}{2}\left(u_n-4\right)=\dfrac{1}{2}v_n$.\\
Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{1}{2}v_n$ ; $v$ est géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$.

\item On en déduit : $v_n=v_0q^n=-3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ car $v_0=u_0-4=1-4=-3$.

\item Alors : $u_n=v_n+4=-3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+4=\boxed{\textcolor{red}{4-3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}}$

\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Notion de limite d'une suite}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Notion intuitive de limite}}
On s'intéresse au comportement des termes de la suite quand les valeurs de $n$, prennent des valeurs aussi grandes que l'on veut, c'est-à-dire, tendent vers $+\infty$.

\bigskip


\begin{enumerate}[A)]
\item \textbf{ \textcolor{red}{\textbf{\textcolor{red}{Limite finie}}}} :

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple graphique 1}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,1.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,1)(1,0.5)(2,0.333333333333333)(3,0.25)(4,0.2)(5,0.166666666666667)(6,0.142857142857143)(7,0.125)(8,0.1111)(9,0.1)(10,0.090909)(11,0.083)(12,0.077)(13,0.0714285714285714)(14,0.0666666666666667)(15,0.0625)
\end{pspicture}
\end{center}

Graphiquement, les termes de la suite (ordonnées des points) semblent se rapprocher de plus en plus de 0.\\
On note : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$ ; on dit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0 ou que le terme $u_n$ tend vers 0.




\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple graphique  2}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,2.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,2.4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,1)(1,1.5)(2,1.66666666666667)(3,1.75)(4,1.8)(5,1.83333333333333)(6,1.85714285714286)(7,1.875)(8,1.88888888888889)(9,1.9)(10,1.90909090909091)(11,1.91666666666667)(12,1.92307692307692)(13,1.92857142857143)(14,1.93333333333333)(15,1.9375)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(15,2)
\uput[u](13,2){$y=2$}
\end{pspicture}
\end{center}

Graphiquement, les termes de la suite (ordonnées des points) semblent se rapprocher de plus en plus de 2.\\
On note : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=20$ ; on dit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 2 ou que le terme $u_n$ tend vers 2.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
Les suites de terme général $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$, \dots, $\dfrac{1}{n^k}$ où $k$ est un entier naturel et $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ tendent vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{bclogo}


\item \textbf{ \textcolor{red}{\textbf{\textcolor{red}{Limite infinie}}}} :

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple  graphique  3}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(10,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.25)(10,110)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2,linecolor=red](0,0)(1,1)(2,4)(3,9)(4,16)(5,25)(6,36)(7,49)(8,64)(9,81)(10,100)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\end{pspicture}

\end{center}
Les termes de la suite semblent devenir aussi grands que l'on veut.\\
On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.


\newpage


\textbf{\textcolor{blue}{Exemple  graphique  4}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,1)(10,-5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,1)(10,-5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2,linecolor=red](0,0)(1,-1)(2,-1.414)(3,-1.732)(4,-2)(5,-2.236)(6,-2.45)(7,-2.646)(8,-2.828)(9,-3)(10,-3.162)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\end{pspicture}

\end{center}
Les termes de la suite semblent devenir aussi grands que l'on veut en valeur absolue, en étant négatifs.\\
On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Les suites de terme général $n$, $n^2$, $n^k$ ($k$entier naturel non nul) et $\sqrt{n}$ tendent vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{bclogo}
\bigskip

\danger \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} il existe des suites qui n'ont pas de limite : exemple : $u_n=(-1)^n$ qui alterne entre -1et 1
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques}} : on peut conjecturer des limites de fonctions par un graphique (en représentant les points de coordonnées $(n~;~u_n))$, en regardant les résultats d'un tableur (ou calculatrice) ou en appliquant des règles de calculs sur les limites.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Graphiquement : voir précédemment.

\item Tableur : considérons la suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=0,8u_n+5$.\\
Dans un tableur, on obtient :
\begin{center}
$\begin{array}{|>{\columncolor{yellow!30}}p{1cm}|c|c|}\hline
1&n&u_n\\
\hline
2&0&3\\
\hline
3&1&\og{}=0.8*B2+5\fg{}\\
\hline
4&2&10,92\\
\hline
\vdots&\vdots&\vdots\\
\hline
57&55&24,9998971\\
\hline
58&56&24,9999177\\
\hline
59&57&24,9999342\\
\hline
60&58&24,9999473\\
\hline
51&59&24,9999579\\
\hline

\end{array}$
\end{center}
On conjecture que la suite tend vers 25 quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Opérations et limites}}

\begin{enumerate}[\textcolor{red}{a)}]
\item \textbf{\textcolor{red}{Addition ou soustraction}}\\
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $(u_n)$ a pour limite&$\ell$&$\ell$&$\ell$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$\\
\hline
Si $(v_n)$ a pour limite&$\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&$-\infty$\\
\hline
alors $(u_n+v_n)$ a pour limite&$\ell+\ell'$&$+\infty$&$-\infty$&$+\infty$&$-\infty$&\cellcolor{yellow!30}\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}

\og{}Forme indéterminée\fg{} signifie que l'on ne peut pas trouver la liste directement ; il faut \og{}travailler\fg{} davantage \dots



\item \textbf{\textcolor{red}{Produit}}\\
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=$&$\ell$&$\ell\neq 0$&$\infty$&0\\
\hline
Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=$&$\ell'$&$\infty$&$\infty$&$\infty$\\
\hline
alors$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_nv_n=$&$\ell\ell'$&$\infty$&$\infty$&\cellcolor{yellow!30}\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}

Pour trouver le signe de la limite d'un produit, on utilise la règle du signe d'un produit.

\item \textbf{\textcolor{red}{Quotient}}\\
Soient $\ell$ et $\ell '$ deux réels. Alors : \\
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=$&$\ell$&$\ell\neq 0$&$\ell$&$\infty$&$\infty$&0\\
\hline
Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=$&$\ell'\neq 0$&0&$\infty$&$\ell$&$\infty$&0\\
\hline
alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{u_n}{ v_{n}}\right)=$&$\frac{\ell}{\ell'}$&$\infty$&0&$\infty$&\cellcolor{yellow!30}\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}&\cellcolor{yellow!30}\textbf{\textcolor{red}{Forme indéterminée}}\\
\hline
\end{tabularx}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : il y a quatre formes indéterminées qui sont : 
%\begin{center}\fbox{
%\begin{minipage}{6cm}
%$\og{} \infty-\infty$~;~\og{} $0\times \infty$\fg{} ~;~ \og{}$\frac{0}{0}~;~$\fg{} ~;~ \og{}$\frac{\infty}{\infty}\fg$\fg{}.
%\end{minipage}}
%\end{center}

\begin{center}
$\begin{array}{|p{3cm}|l|l|l|l|}\hline
\rowcolor{yellow!30}\makebox[3cm][c]{\og{}$\infty-\infty$\fg{}}&\makebox[3cm][c]{\og{}$0\times \infty$\fg}&\makebox[3cm][c]{$\og{}\frac{0}{0}$\og{}}&\makebox[3cm][c]{$\frac{\infty}{\infty}$\fg}\\
\hline
\end{array}$

\end{center}
\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : si $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=0$, il faut que $v_n$ soit de signe constant à partir d'un certain rang pour pouvoir conclure en appliquant la règle des signes.\\
Sinon, le quotient n'a pas de limite.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemples d'application}}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n}-2\right)$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n}=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}2=2$ donc, par différence, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n}-2\right)=-2}}$

\item Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{3}{n^2+1}$.\\
On a : $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2+1\right)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{3}{n^2+1}=0}}$

\item Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}(n+1)(2-n)$.\\
On a : $\lim_{n\rightarrow +\infty}(n+1)=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}(2-n)=+\infty$, donc par produit et en utilisant la règle des signes : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}(n+1)(2-n)=-\infty}}$

\item Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n}-2\right)\left(1-n^2\right)$.\\
On a : $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n}-2\right)=-2$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1-n^2\right)=-\infty$, donc par produit et en utilisant la règle des signes : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n}-2\right)\left(1-n^2\right)=+\infty}}$

\end{enumerate}

\bigskip
Que faire quand on a une forme indéterminée ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Exemple d'un polynôme : déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(5n^2-2n+3\right)$.\\
L'astuce, qui convient pour tous les polynômes est de factoriser par te ter me plus grand exposant :\\
$5n^2-2n+3=n^2\left(5-\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}\right)$.\\
On a : $\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(5-\dfrac{2}{n}+\dfrac{3}{n^2}\right)=5$, donc, par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(5n^2-2n+3\right)=+\infty}}$

\item Exemple d'une fraction  rationnelle (quotient de deux polunômes)\\
Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{n+2}{n^2+1}$.\\
On applique la méthode vue pour les polynômes au numérateur et au dénominateur
\begin{enumerate}[a)]
\item $n+2=n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)$

\item $n^2+1=n^2\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)$

\item Alors : $\dfrac{n+2}{n^2+1}=\dfrac{n\left(1+\frac{2}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}=\dfrac{1+\frac{2}{n}}{n\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}$ en simplifiant.

\item Alors : $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{2}{n}\right)=1$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\right)=+\infty$.

\item Conclusion : par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{n+2}{n^2+1}=0}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Limites et comparaisons}}


\begin{enumerate}[a)]

\item \textcolor{red}{\textbf{Limite infinie}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété admise}}
Soient deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, à partir d'un certain rang, $u_n\leqslant v_n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=+\infty$.

\item Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=-\infty$, alors $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\item \textcolor{red}{\textbf{Limite finie}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ tqui convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell'$.\\
On suppose qu'à partir d'un certain rang, $u_n\leqslant v_n$.\\
Alors : $\ell\leqslant \ell'$
\end{bclogo}
\end{enumerate}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème des gendarmes}}
Si $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\ell$, si $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Illustration graphique }}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(16,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(15,2)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,1.5)(1,1)(2,0.833333333333333)(3,0.75)(4,0.7)(5,0.666666666666667)(6,0.642857142857143)(7,0.625)(8,0.611111111111111)(9,0.6)(10,0.590909090909091)(11,0.583333333333333)(12,0.576923076923077)(13,0.571428571428571)(14,0.566666666666667)(15,0.5625)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=blue](0,-0.5)(1,0)(2,0.166666666666667)(3,0.25)(4,0.3)(5,0.333333333333333)(6,0.357142857142857)(7,0.375)(8,0.388888888888889)(9,0.4)(10,0.409090909090909)(11,0.416666666666667)(12,0.423076923076923)(13,0.428571428571429)(14,0.433333333333333)(15,0.4375)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](0,1)(1,0.25)(2,0.666666666666667)(3,0.375)(4,0.6)(5,0.416666666666667)(6,0.571428571428571)(7,0.4375)(8,0.555555555555556)(9,0.45)(10,0.545454545454545)(11,0.458333333333333)(12,0.538461538461538)(13,0.464285714285714)(14,0.533333333333333)(15,0.46875)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(15,0.5)
\end{pspicture}

Les points correspondant à $u_n$ sont bleu, à $w_n$ en rouge et à $u_n$ en noir, avec une limite égale à 0,5.
\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}}

\begin{enumerate}
\item Étudions la limite de la suite $\left(u_n\right)$ avec $u_n=n^2+\sqrt{n+1}$.\\
Pour tout $n$, $\sqrt{n+1}$ existe et $u_n>n^2$.\\
Or $\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2=+\infty$ donc, par comparaison, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$

\item Étudions la limite de la suite $\left(u_n\right)$ avec $u_n=-n-\dfrac{1}{n+1}$.\\
Pour tout $n$, $\dfrac{1}{n+1}>0$ donc $u_n<-n$.\\
Or $\lim_{n\rightarrow +\infty}(-n)=-\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty}}$.

\item Étudions la limite de la suite $\left(u_n\right)$ avec $u_n=n^2+(-1)^n$.\\
Pour tout $n$, $(-1)^n\geqslant -1$ donc $u_n\geqslant n^2-1$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2-1\right)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$

\item Étudions la limite de la suite $\left(u_n\right)$ avec $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+5}$.\\
On a $-1\leqslant (-1)^n\leqslant 1$ pour tout $n$ donc :\\
$-\dfrac{1}{n+5}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{n+5}$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{-1}{n+5}\right)=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n+5}\right)=0$ donc, d'après le théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  