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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}



\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur le nombre dérivé d'une fonction }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Déterminer la dérivée en $a\in\mathscr{D}$ (où $\mathscr{D}$ est l'ensemble de définition de $f$) des fonctions suivantes : 


\begin{enumerate}[a)]

\item $f(x)=3x+5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3}}$

\item   $f(x)=x^3$ ; $f'(x)=\boxed{\textcolor{red}{3x^2}}$

\item      $f(x)=8$ ; $f'(x)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\item  $f(x)=x^7$ ; $f(x)=x^n$ avec $n=7$ ; $f'(x)=nx^{n-1}$ donc $f'(x)=\boxed{\textcolor{red}{7x^6}}$

\item  $f(x)=\dfrac{1}{x^4}=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n=4$ ; $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{4}{x^5}}}$

\item     $f(x)=-3+2x$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2}}$

\item   $ f(x)=x^{15}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'((x)=15x^{14}}}$

\item  $f(x)=12x$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=12}}$

\item  f$(x)=x^{25}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=25x^{24}}}$

\item     $f(x)=x^6$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=6x^5}}$

\item     $f(x)=x^3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3x^2}}$

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{3}{x^4}}}$
\end{enumerate}

%\begin{tabular}{*{4}{p{4cm}}}
%\\
%1.    $f(x)=3x+5$&2.   $f(x)=x^3$&3.    $f(x)=8$&4.   $f(x)=x^7$\\
%5.   $f(x)=\dfrac{1}{x^4}$&6.   $f(x)=-3+2x$&7.  $ f(x)=x^{15}$&8. $f(x)=12x$\\
%9.   f$(x)=x^{25}$&10.   $f(x)=x^6$&11.   $f(x)=x^3$&12. $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$\\
%\end{tabular}

\subsection{}




\begin{enumerate}[a)]
\item Soit $f: x\mapsto \dfrac{1}{x}$ . %Que vaut $f'(2)$
Pour tout $x\neq 0$, $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(2)=-\dfrac{1}{4}}}$

\item  Soit $f: : x\mapsto 8x+12$ . %Que vaut $f'(7)$ ? 
Pour tout $x$, $f'(x)=8$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(7)=8}}$

\item Soit $f : x\mapsto \sqrt{x}$ . %Que vaut $f'(9)$ ? 
Pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(9)=\dfrac{1}{2\sqrt{9}}=\dfrac{1}{6}}}$

\item Soit $f : x\mapsto x^2$. %Que vaut $f'(10)$ ?
Pour tout $x$, $f'(x)=2x$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(10)=20}}$

\item Soit $f : x\mapsto x^3$. %Que vaut $f'(7)$ ?
Pour tout $x$, $f'(x)=3x^2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(7)=243}}$

\item Soit $f : x\mapsto \dfrac{1}{x^2}$. %Que vaut $f'(3)$ ?
Pour tout $x\neq 0$, $f'(x)=-\dfrac{2}{x^3}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(3)=-\dfrac{2}{27}}}$

\item Soit $f : x\mapsto 2$. %Que vaut $f'(17)$ ?
Pour tout $x$, $f'(x)=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(17)=0}}$

\item Soit $f : x\mapsto x^6$. %Que vaut $f'(1)$ ?
Pour tout $x$, $f'(x)=6x^5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=6}}$

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $f : x\mapsto x^2-4x+1$. %Quelle est l’équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 3 ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=2x-4$ donc $f'(3)=2$

\item $f(3)=-2$

\item L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 3 est : \\
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$ avec $a=3$ donc $y=f'(3)(x-3)+f(3)$.\\
Donc $y=2(x-3)-2\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=x=2x-8}}$
\end{enumerate}

\subsection{}

 Soit $h : x\mapsto 4x-2$. %Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction $h$ en 5. 
 $h$ est affine donc sa tangente $T$ est mal courbe représentative de $h$.\\
 L'équation de la tangente en tout point est $\boxed{\textcolor{red}{y=4x-2}}$



\subsection{\textcolor{blue}{Lecture graphique}}



Sur la figure ci-dessous, on a représenté en rouge la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ d’une fonction $f$.\\
La droite $d$ représentée en bleu est tangente à $\mathscr{C}_f$ en A(-3~;~1).\\
D’après ce graphique, que vaut la dérivée de $f$ en -3 ?
\begin{center}
\psset{xunit=0.5,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-3)(4,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-3)(4,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-3)(4,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5}{4}{x^2/3-2}
\psplotTangent [linewidth=2.5pt,linecolor=blue,arrows=<->]{-3}{3}{x^2/3-2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-3,1)
\uput[ul](3,1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
La tangente passe par les points de coordonnées (-3~;~1) et (-2~;~-1).\\
Le coefficient directeur est $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-2}{1}=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{f'(-3)=-2}}$

\end{multicols}

\newpage



\subsection{}% D'après bac ES centres étrangers 2019
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip 

Dans le repère ci-dessous, on note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~2]$. On a placé les points A(0~;~2), B(2~;~0) et C$( -2~;~0)$. 

On dispose des renseignements suivants: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Le point B appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\item[$\bullet~~$]La droite (AC) est tangente en A à la courbe $\mathcal{C}_f$. 
\item[$\bullet~~$]La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1 est une droite horizontale. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-10,-1.5)(2.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,griddots=5,subgriddiv=1](-10,-2)(3,4)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=3](0,2)(2,0)(-2,0)
\uput[dr](0,2){A} \uput[ur](2,0){B} \uput[ul](-2,0){C} 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-10,-1.5)(2.5,3.5)
\uput[ur](1.7,2){\blue$\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-10}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\psline(-10,2.71828)(2,2.71828)
\psline(-3,-1)(1.5,3.5)
\end{pspicture*}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Répondre aux questions suivantes par lecture graphique. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Indiquer les valeurs de $f(0)$ et de $f(2)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=y_A=2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=2}}$

\item $f(2)=y_B=0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$
\end{enumerate}

\item %Indiquer la valeur de $f'(1)$. 
$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en 1. $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=0}}$ (tangente horizontale)


\item %Donner une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A. 
Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A est :\\
$y=f'(1)(x-1)+f(1)$.\\
$f'(1)=\dfrac{y_A-y_C}{x_C-x_A}=\dfrac{2}{2}=1$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=1}}$
On en déduit : $y=1\times (x-0)+2\iff \boxed{\textcolor{red}{y=x+2}}$.

\item  %Indiquer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$. 
L'équation $f(x)=1$ semble avoir deux solutions.

\item  %Indiquer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. 
$f$ semble croissante sur $[-10~;~1]$ puis décroissante sur $[1~;~2]$.
\end{enumerate}



\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip 

Dans cette partie, on cherche à vérifier par le calcul les résultats lus graphiquement dans la partie A. 

On sait désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle 
$[-10~;~2]$ par : $f(x) = (2 - x)\text{e}^x.$


. 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$ et $f(2)$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=2\mathrm{e}^{0}=2$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=2}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=0}}$
\end{enumerate}

	\begin{enumerate}
item %Calculer $f'(x)$ pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[-10~;~2]$. 
$f=uv$ donc $f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u(x)=x-2\\v(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$ et $\begin{cases}u'(x)=-1\\v'(x)=\mathrm{e}^{x}\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)=-\mathrm{e}^{x}+(2-x)\mathrm{e}^{x}=[-1+2-x]\mathrm{e}^{x}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{x}}}$.

\item %En déduire la valeur de $f'(1)$. 
Alors : $f'(1)=0\times \mathrm{e}^{1}=0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f'(1)=0}}$
	\end{enumerate}
	
\item  %Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$. 
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ est :\\
$y=f'(0)\times x+f(0)\iff y=1x+2\iff \boxed{\textcolor{red}{y=x+2}}$.

\item  
\begin{enumerate}
\item %Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-10~;~2]$. 
$f'(x)=(1-x)\mathrm{e}^{x}$ est du signe de $1-x$ car $\mathrm{e}^{x}>0$.\\
$f'(x)\geqslant 0$ pour $x\leqslant 1$ et $f'(x)\leqslant 0$ pour $x\geqslant 1$.\\

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-10&&1&&2\\
\hline
f'(x)&12\mathrm{e}^{-10}\approx0,0005&\c&\h{\mathrm{e}}&\d&0\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle $[-10~;~2]$, puis donner une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. 
Sur $[-10~;~1]$, $f(x)$ pass d'environ 0;0005 à \\
$\mathrm{e}\approx 2,7$ donc passe par 1 ; sur $[1~;~2]$, $f(x)$ passe de $\mathrm{e}$ à 0 donc passe par 1.\\
L'équation $f(x)=1$ a donc deux solutions.\\
À la calculatrice, on trouve que les deux solutions sont $\boxed{\textcolor{red}{x_1\approx -1,15}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{x_2\approx 1,84}}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque }}: nous verrons cette démarche plus en détail dans un prochain chapitre.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  