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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices sur les lois à densité}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\section{\textcolor{blue}{Notion de densité}}
\subsection{}
Soit $k$ un un nombre réel.\\
On considère la fonction $f$ définie par : \\
$f(x)=\begin{cases}kx^4\text{ si }x\in[0~;~1]\\0\text{ sinon}\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une fonction de densité.

\item Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$. On prendra pour $k$ la valeur trouvée précédemment.\\
Calculer :\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(X\in[0~;~0,3]\right)$

\item $p(X\leqslant 0,6)$

\item $p(X\geqslant 0,5)$

\item $p(0,8<X<0,9)$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fcontion définie par \\
$f(x)=\begin{cases}5x^4\text{ si }x\in[0~;~1]\\0\text{ si }x\notin[0~;~1]\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est une fonction densité.

\item Déterminer la fonction de répartition $F$ de la variable aléatoire $X$ de densité $f$.

\item Calculer $p(0,4\leqslant X~;~0,5)$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction définie par \\
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x+2}\text{ si }x\in[0~;~1]\\0\text{ si }x\notin[0~;~1]\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item Représenter cette fonction dans un repère orthonormé.

\item Expliquer pourquoi cette fonction n'est pas une fonction de densité.

\item Retrouver ce résultat en calculant $\int_0^1f(x)\text{ d}x$.
\end{enumerate}

\section{\textcolor{blue}{Loi uniforme }}

\subsection{}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0~;~1]$.\\
Calculer :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(X\leqslant 0,9)$

\item $p(0,2\leqslant X\leqslant 0,8)$
\end{enumerate}

\subsection{}
La variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[a~;~b]$.\\
On sait que $E(X)=5$ et $V(X)=\dfrac{1}{3}$.\\
Que valent $a$ et $b$ ?

\subsection{}
Une élève de terminale part toujours en avance de chez elle pour aller au lycée.\\
Elle prend le bus. Suivant les aléas de trafic, elle arrive entre 5 et 20 minutes avant l'ouverture du portail.\\
En modélise son temps d'attente devant le lycée, par une variable aléatoire,  $T$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[5~;~20]$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'elle ait plus d'un quart d'heure d'avance ?

\item Quelle est la probabilité qu'elle ait exactement cinq minutes d'avance ?

\item Quel est son temps moyen d'attente ?
\end{enumerate}

\section{\textcolor{blue}{Loi exponentielle}}


\subsection{}
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui sont des fonctions de densité d'une variable aléatoire qui suivent une fonction exponentielle :
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x):\begin{cases}3\mathrm{e}^{-3x}\text{ si }x\geqslant 0\\0\text{ sinon}\end{cases}$

\item $f(x):\begin{cases}0,5\mathrm{e}^{-\frac15x}\text{ si }x\geqslant 0\\0\text{ sinon}\end{cases}$

\item $f(x):\begin{cases}\dfrac{2}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}\text{ si }x\geqslant 0\\0\text{ sinon}\end{cases}$
\end{enumerate}

\subsection{}
La variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=3$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer son espérance.

\item Calculer $p(X\leqslant 1)$ puis $p(X\geqslant 2)$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Durée de vie d'une batterie}}
Un modèle de batterie  de smartphone, dont la durée de fonctionnement $X$ suit une loi exponentielle, a une durée de vie moyenne de 3 ans.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la fonction de répartition$F$ de $X$ (le temps sera exprimé en année).

\item Quelle est la probabilité qu'une batterie de ce modèle tombe en panne avant 3 ans ? Donner la valeur exacte, puis approchée à $10^{ -3}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
La durée de vie exprimée en heure d'un modèle d'ampoules est modélisée par une loi exponentielle de paramètres $\lambda=\numprint{0,0006}$.\\
Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes, puis approcher à $10^{-3}$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une de ampoules ait une durée de vie inférieure à \numprint{1000} heures ?

\item Quelle est la probabilité qu'une de ses ampoules ait une durée de vie supérieure à \numprint{2000} heures ?

\item Quelle est la probabilité qu'une de ses ampoules ait une durée de vie supérieure à \numprint{2000} heures, sachant qu'elle fonctionnait encore au bout de \numprint{1000} heures ?

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  

