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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques complémentaires : feuille d'exercices sur l'intégration (2)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~5]$ par : $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$.\\
Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[1~;~5]$.

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : \\
$h(x)=\left(2x^2-x+1\right)\mathrm{e}^{-x}$.\\
Calculer $h'(x)$.

\item En déduire la valeur moyenne sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ de la fonction $f$ définie par : \[f(x)=\left(-2x^2+5x-2\right)\mathrm{e}^{-x}\]

\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Vitesse moyenne}}
%Un mobile se déplace à la vitesse $v(t)=2t^2+5t$ avec $t$ exprimé en seconde et $v(t)$ en mètres par seconde.\\
%On admet qu'à $t=0$, la distance parcourue est nulle.
%
%\begin{enumerate}
%\item Quelle distance a parcouru le mobile entre les instants  0 et 100 secondes, au mètre près ?\\
%\emph{on admet que la position $d$ du mobile est une primitive de la vitesse}
%
%\item Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet correspondant, à 0,1 près
%
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Calcul d'aire}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=x^2-x-12\text{ et }g(x)=4x-16.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ selon les valeurs de $x$ ; on renseignera un tableau de signes.

\item En déduire, en unité d'aire :
\begin{enumerate}
\item l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f$, la courbe représentative de la fonction $g$ et les droites d'équations $x=5$ et $x=6$.

\item l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f$, la courbe représentative de la fonction $g$ et les droites d'équations $x=2$ et $x=3$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f ( x)=x^2 -8 x +15$ et $g( x)=-2 x^2 +10 x-9$ définies sur $\mathbb{R}$ dont les représentations graphiques sont données ci-dessous
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,-2)(7,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,-2)(7,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.76}{6.24}{x^2 -8*x +15}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0.84}{4.16}{-2*x^2 +10*x-9}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid]{\psplot{2}{4}{x^2 -8*x +15}\psplot{4}{2}{-2*x^2 +10*x-9}}
\uput[r](6,3){$\mathscr{C}_f$}\uput[u](3,3){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}[1)]
\item Déterminer la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_f$.

\item Calculer l’aire du domaine hachuré
\end{enumerate}

\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Bac ES Asie juin 2018}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur [0~;~25] par :

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- 0,2x}\]\index{fonction exponentielle}

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On a représenté également sa tangente $T$ au point A(0~;~7). $T$ passe par le point B(2~;~14,2).

\psset{unit=0.3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(25,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-3,0)(25,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(-3,0)(25,15)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2.2}{3.6 x mul 7 add}
\multido{\n=0+2}{13}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,15)}
\uput[dr](0,7){A} \uput[r](2,14.2){B} \uput[ur](7,10.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(0,7)(2,14.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 6$.\index{lecture graphique}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par un calcul le coefficient directeur de la droite $T$.
		\item Exprimer, pour tout $x \in [0~;~25]$,\: $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.\index{dérivée}
		\item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système 
		
		\[\left\{\begin{array}{r c r}
		a - 0,2b&=&3,6 \\
		b&=&7
		\end{array}\right.\]
		
En déduire la valeur de $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0~;~25] par 

\[f(x) = (5x + 7)\text{e}^{- 0,2x}.\]\index{fonction exponentielle}

Justifier.
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~25].

Donner une valeur approchée au dixième de $\alpha$.
\item  Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\texttt{Dériver} $((- 25x - 160)\text{e}^{- 0,2x}$\\ \hline
\multicolumn{1}{|r|}{$(5x + 7)\text{e}^{- 0,2x}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Exploiter ce résultat pour donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de
\[\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C}}

\medskip

Un organisme de vacances souhaite ouvrir un nouveau centre avec une piscine bordée de
sable. Il dispose d'un espace rectangulaire de $25$ mètres de longueur sur $14$ mètres de
largeur et souhaite que la piscine et la \og plage \fg se partagent l'espace comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

La bordure est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'aire en m$^2$ de la zone hachurée représentant la piscine ?
\item L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 25
mètres de longueur et de même superficie.

Quelle en sera la largeur arrondie au dixième de mètre?
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(25,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(25,14)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psline(25,0)(0,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=orange!30]{\psline(0,14)(25,14)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{25}{0}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.75pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.75pt](25,1)(25,0)(0,0)(0,7)
\rput(17,10){\huge PLAGE}\rput(7,4){\huge \blue PISCINE}\uput[ur](7,10.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  