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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Rappels sur la fonction exponentielle $\exp$}}\end{center}

%\tableofcontents



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Définition}}
Il existe une unique fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$, vérifiant $\begin{cases}f'=f\\f(0)=1\end{cases}$.\\
Cette fonction s'appelle fonction exponentielle, notée $\exp$.\\
On pose $\mathrm{e}=\exp(1)\approx \numprint{2,718281828459045}$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on note $\mathrm{e}^{x}$ le nombre $\exp(x)$.\\
$\exp  : x\mapsto \exp(x)=\mathrm{e}^{x}$.

\subsection{\textcolor{blue}{Propriétés}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés} }
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\exp$ est croissante et strictement positive.

\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=0$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&1\\
\hline
\m{\mathrm{e}^{x}}&0&\cb&\m{1}&\ch&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


%\columnbreak


\textbf{\textcolor{blue}{Courbe représentative :}}
\begin{center}
\psset{xunit=.7,yunit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,-1)(3,10)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-1)(3,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-8,-1)(3,10)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-8}{2.3}{EXP(x)}
\uput[r](1,2.7183){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}

\begin{enumerate}
\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{b}\Leftrightarrow a=b$

\item Pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm{e}^{a}\leqslant \mathrm{e}^{b}\Leftrightarrow a\leqslant b$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés algébriques}}
Pour tous réels $a$ et $b$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item $\mathrm{e}^{-a}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{a}}$

\item $\mathrm{e}^{a}\times \mathrm{e}^{b}=\mathrm{e}^{a+b}$

\item $\mathrm{e}^{a-b}=\dfrac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}$

\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\left(\mathrm{e}^{a}\right)^n=\mathrm{e}^{na}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\subsection{\textcolor{blue}{Dérivée de $\mathrm{e}^{u}$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Si $u$ est dérivable, $\mathrm{e}^{u}$ est dérivable et $\boxed{\textcolor{red}{\left(\mathrm{e}^{u}\right)'=u'\times \mathrm{e}^{u}}}$
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{ \textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\mathrm{e}^{3x+5}$.\\
$f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=3x+5$.\\
$f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)=3$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3\mathrm{e}^{3x+5}}}$.

\item $f(x)=\mathrm{e}^{-5x+7}$.\\
$f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=-5x+7$\\
$f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)=-5$\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-5\mathrm{e}^{-5x+7}}}$.

\item $f(x)=\mathrm{e}^{x^2+7x+1}$.\\
$f=\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=x^2+7x+1$.\\
$f'=u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u'(x)=2x+7$.\\
Donc : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=(2x+7)\mathrm{e}^{x^2+7x+1}}}$.

\end{enumerate}
\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  