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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les suites (1)}}\end{center}


\section{\textcolor{red}{Généralités}}


\subsection{}
Soit $u$ la suite définie par $u_n=n^2+1$.\\
%Calculer $u_0$; $u_1$ et $u_{10}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=0^2+1=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $u_1=1^2+1=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $u_2=2^2+1=\boxed{\textcolor{red}{5}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $u$ la suite définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=u_n+2$.\\
%Calculer $u_1$; $u_2$ et $u_3$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=u_0+2=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $u_2=u_1+2=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $u_3=u_2+2=\boxed{\textcolor{red}{6}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$u$ est la suite définie par $u_n=(-1)^n$ pour tout $n$.
%Calculer $u_1$; $u_2$,$u_3$ et $u_4$.\\
%Que constate-t-on ?
$u_1=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$~;~$u_2=\boxed{\textcolor{red}{1}}$~;~$u_3=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$~;~$u_4=\boxed{\textcolor{red}{1}}$.\\
On constate que les termes valent alternativement 1 ou -1.

\subsection{}
$u$ est la suite définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=-2u_n+1$ pour tout $n$.
%Calculer $u_1$; $u_2$ et $u_3$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=-2u_0+1=-2\times 5+1=-10+1=\boxed{\textcolor{red}{-9}}$

\item $u_2=-2u_1+1=-2\times (-9)+1=18+1=\boxed{\textcolor{red}{19}}$

\item $u_3=-2u_2+1=-2\times 19+1=-38+1=\boxed{\textcolor{red}{-37}}$
\end{enumerate}


\section{\textcolor{red}{Suites arithmétiques}}

\subsection{}
Dans cet exercice, les suites sont toutes arithmétiques.

\begin{enumerate}
\item 1) On a $u_0 =4$ et $r=2$.%Déterminer $u_{35}$.
On sait que, pour tout $n$, $u_n=u_0+nr$ donc $u_{35}=u_0+35r=4+35\times 2=\boxed{\textcolor{red}{74}}$.

\item On a $u_1 =3$ et $r=-2$. %Déterminer $u_{17}$.
De même, $u_n=u_p+(n-p)r$ donc $u_{17}=u_1+16r=3+16\times (-2)=3-32=\boxed{\textcolor{red}{-29}}$.

\item On a $u_2 = 3$ et $u_{14} = 9$. %Déterminer la raison.
$u_{14}=u_2+12r$ donc $r=\dfrac{u_{14}-u_2}{12}=\dfrac{6}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$

\item On a $u_4=1$ et $u_9 =4$. %Déterminer $u_{21}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Calculons d'abord $r$ : $r=\dfrac{u_9-u_4}{5}=\dfrac{3}{5}$ (en calquant sur le calcul précédent).

\item Alors : $u_{21}=u_9+(21-9)r=4+12\times \dfrac{3}{5}=4+\dfrac{36}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{56}{5}}}$
\end{enumerate}

\item On a $u_{100} =650$ et $r=8$. %Déterminer $u_0$.
$u_{100}=u_0+100r$ donc $u_0=u_{100}-100r=\boxed{\textcolor{red}{-150}}$

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$ telle que \\
$u_1 = -1$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{100}$.
$u_{100}=u_1+99r=-1+99\times \dfrac{1}{2}=-1+\dfrac{00}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{97}{2}}}$.

\item %Déterminer à partir de quel rang $N$ on a $u_N \geqslant  50$.
$u_n=u_1+(n_1)r=-1+\dfrac{n_1}{2}$.\\
$u_n\geqslant 50\Leftrightarrow -1+\dfrac{n-1}{2}\geqslant 50\Leftrightarrow \dfrac{n-1}{2}\geqslant 51\Leftrightarrow n-1\geqslant 102\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 103}}$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{N=103}}$.

\end{enumerate}


\section{\textcolor{red}{Suites géométriques}}


\subsection{}
 Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Si oui, préciser leur premier terme et leur raison. 
 
\begin{enumerate}[a)]
\item $u_ n=2^n$ ; pour tout $n$, $u_{n+1}=2^{n+1}=2\times 2^n=2u_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=1$.

\item $u_n =-4n$ : $u_{n+1}=-4(n+1)=-4n-4=u_n-4=u_n-4$ donc $\left(_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{arithmétique}}, \textbf{\textcolor{red}{pas géométrique}}

\item $u_n =\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2^{n+2}}{3^n+1}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2^n+1}{3^n}=\dfrac{2}{3}u_n$ donc $\left(_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $u_0=2$.
\end{enumerate}

%\bigskip
%\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $\left(u_n\right)$ est arithmétique si, et seulement si, pour tout $n$, $u_n=an+b$ (fonction. affine de $n$, la raison est $a$ et le premier terme $b$)
%
%\item $\left(u_n\right)$ est géométrique si, et seulement si, pour tout $n$, $u_n=a\times q^n$ ($q$ est alors la raison et $u_0=a$)
%\end{enumerate}

\subsection{}
Dans cet exercice, toutes les suites sont géométriques.

\begin{enumerate}
\item On a $u_0 =8$ et $q=\dfrac{1}{2}$. Déterminer $u_7$.\\
$u_7=u_0q^7=8\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^7=\dfrac{8}{128}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{16}}}$.

\item On a $u_1 =243$ et $q=\dfrac{1}{3}$. Déterminer $u_9$.\\
$u_n=u_pq^n-p$ donc $u_9=u_1q^8=243\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^8=3^5\times \dfrac{1}{3^8}=\dfrac{1}{3^3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{27}}}$.

\item On a $u_1 = 12$ et $u_5 = \numprint{3072}$. %Déterminer les valeurs possibles pour $q$.`
$u_5=u_1q^4$ donc $q^4=\dfrac{u_5}{u_1}=\dfrac{3072}{122}=256$.\\
On en déduit $q^2=\sqrt{256}=16$ car $q^2\geqslant 0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{q=- 4\text{ ou }q=4}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Un capital est placé à intérêts simples de 1\:\% par an.\\
On note $S_n$ le capital à la $n$-ième année.\\
%La suite $\left(S_n\right)$ est-elle arithmétique ? Pourquoi ?
Les intérêts sont fixes et valent $S_0\times 1\:\%=0,01S_0$.\\
Chaque année, on ajoute la même somme, donc n a une suite arithmétique.

\subsection{}
Un capital est placé à intérêts composés de 3\:\% par an.\\
On note $S_n$ le capital à la $n$-ième année.\\

\begin{enumerate}
\item %La suite $\left(S_n\right)$ est-elle géométrique ? Pourquoi ?
On a $S_1=S_0+3\:\%S_0=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)S_0=\boxed{\textcolor{red}{1,03S_0}}$.\\
De même, pour tout $n$, $S_{n+1}=1,03S_n$ donc $\left(S_n\right)$ est une suite géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,03}}$.

\item %Donner un exemple d'un tel placement.
Un exemple d'un tel placement este livret A (de caisse d'épargne)

\item Éric ouvre un livret de caisse d'épargne et place $\numprint{1000}$ \euro{}.\\
On note $C_0$ le capital initial, donc $C_0=\numprint{1000}$.

\item %Quel est son capital au bout d'un an ? De deux ans ? De 10 ans
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le capital au bout d'un an  est $C_1=1,03C_0=1,03\times \numprint{1000}=1030$.

\item La capital au bout de deux ans est $C_2=1,032C_0=1,03^2\times \numprint{1000}=\numprint{1060,90}$.

\item Au bout de10 ans : $C_{10}\approx \numprint{1343,92}~\euro{}$.

\end{enumerate}
\item %À la calculatrice, trouver au bout de combien d'années son capital aura doublé, en supposant que le taux d'intérêts reste fixe à 3\:\%.
Il faut attendre 24 ans our voir le capital doubler.\\
$C_{23}\approx \numprint{1973,59}<\numprint{2000}$
$C_{24}\approx \numprint{2032,79}>\numprint{2000}$

\item %Quel est le taux d'inflation actuellement ? Que peut-on en déduire sur le placement effectué ?
Actuellement le taux d'inflation est d'environ 5,6\:\% (moyenne annuelle), ce qui signifie que les prix augmenteraient de 5,6\:\% en un an.\\
La rémunération du livret de caisse d'épargne a un taux inférieur à celui de l'inflation, donc on perd de l'argent, mais moins qu'en ne plaçant pas
\end{enumerate}




 
\label{fin}
\end{document}   
