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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur les lois à densité}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\section{\textcolor{blue}{Notion de densité}}
\subsection{}
Soit $k$ un un nombre réel.\\
On considère la fonction $f$ définie par : \\
$f(x)=\begin{cases}kx^4\text{ si }x\in[0~;~1]\\0\text{ sinon}\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une fonction de densité.
$f$ est une fonction de densité si $\int_0^1f(x)\text{ d}x=1$.\\
Une primitive de $f$ est $F : x\mapsto k\dfrac{x^5}{5}$.\\
$\int_0^1f(x)\text{ d}x=F(1)-F(0)=\dfrac{k}{5}$.\\
On doit avoir $\dfrac{k}{5}=1$ donc $k=5$.

\item %Soit $X$ une variable aléatoire de densité $f$. On prendra pour $k$ la valeur trouvée précédemment.\\
%Calculer :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(X\in[0~;~0,3]\right)=\int_0^{0,3}5x^4\text{ d}x\\
=F(0,3)-F(0)=0,3^5=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0.00243}}}$ \\
(car $F(x)=x^5$).

\item $p(X\leqslant 0,6)=F(0,6)-F(0)=0,6^5=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0.07776}}}$

\item $p(X\geqslant 0,5)=F(0,5)-F(0)=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0.03125}}}$

\item $p(0,8<X<0,9)=F(0,9)-F(0,8)\\
=0,9^5-0,8^5=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0.26281}}}$
\end{enumerate}



\subsection{}
On considère la fonction définie par \\
$f(x)=\begin{cases}5x^4\text{ si }x\in[0~;~1]\\0\text{ si }x\notin[0~;~1]\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $f$ est une fonction densité.
$f$ est une fonction densité (voir exercice précédent).

\item %Déterminer la fonction de répartition $F$ de la variable aléatoire $X$ de densité $f$.
$F(x)=\int_0^xf(t)\text{ d}t=x^5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{F(x)=x^5}}$

\item %Calculer $p(0,4\leqslant X~;~0,5)$.
$p(0,4\leqslant X~;~0,5)=F(0,5)-F(0,4)=0,5^5-0,4^5=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{0.03125}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction définie par \\
$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{x+2}\text{ si }x\in[0~;~1]\\0\text{ si }x\notin[0~;~1]\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %Représenter cette fonction dans un repère orthonormé.
Courbe :
\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(3,1)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(3,1)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}{1/(x+2)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{{\psplot{0}{1}{1/(x+2)}{\psline(1,0)(0,0)}}}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Expliquer pourquoi cette fonction n'est pas une fonction de densité.
$\int_0^1f(x)\text{ d}x$ est l'aire située entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}_f$ pour $0\leqslant x\leqslant 1$ ; il est clair que cette aire est plus petite que l'aire du carré unité, donc cette aire est inférieure  1, donc $\int_0^1f(x)\text{ d}x<1$

\item %Retrouver ce résultat en calculant $\int_0^1f(x)\text{ d}x$.
Soit $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$. Une primitive de $f$ est $F(x)=\ln(x+2)$.\\
Alors : $\int_0^1f(x)\text{ d}x=F(1)-F(0)\\
=\ln(3)=-\ln(2)=\boxed{\textcolor{red}{\ln\left(\dfrac{3}{2}\right)}}<1$ car \\
$\dfrac{3}{2}=1,5<\mathrm{e}$ puisque $\mathrm{e}\approx 2,7$
\end{enumerate}

\section{\textcolor{blue}{Loi uniforme }}

\subsection{}
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0~;~1]$.\\
Calculer :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item %$p(X\leqslant 0,9)$
On sait que si $X$ suit la loi uniforme sur $[a~;~b]$, $p(c\leqslant X\leqslant d)=\dfrac{d-c}{b-a}$ si $a\leqslant c\leqslant d\leqslant b$.\\
$p(X\leqslant 0,9)=\dfrac{0,9-0}{1-0}=\boxed{\textcolor{red}{0,9}}$.

\item $p(0,2\leqslant X\leqslant 0,8)=\dfrac{0,8-0,2}{1-0}=\boxed{\textcolor{red}{0,6}}$
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{}
La variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[a~;~b]$.\\
%On sait que $E(X)=5$ et $V(X)=\dfrac{1}{3}$.\\
%Que valent $a$ et $b$ ?
$E(X)=\dfrac{a+b}{2}$ et $V(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}$.\\
On en déduit : $\begin{cases}\dfrac{a+b}{2}=5\\\dfrac{(b-a)^2}{12}=\dfrac{1}{3}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a+b=10\\(b-a)^2=4\end{cases}\\
\Leftrightarrow \begin{cases}a+b=10\\b-a=2\end{cases}$\\
En ajoutant les deux lignes, il vient $2b=12$ donc $b=6$.\\
On en déduit $a=4$.

\subsection{}
Une élève de terminale part toujours en avance de chez elle pour aller au lycée.\\
Elle prend le bus. Suivant les aléas de trafic, elle arrive entre 5 et 20 minutes avant l'ouverture du portail.\\
En modélise son temps d'attente devant le lycée, par une variable aléatoire,  $T$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[5~;~20]$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité qu'elle ait plus d'un quart d'heure d'avance ?
la probabilité qu'elle ait plus d'un quart d'heure d'avance est :\\
$p(15\leqslant T\leqslant 20)=\dfrac{20-15}{20-5}=\dfrac{5}{15}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$

\item %Quelle est la probabilité qu'elle ait exactement cinq minutes d'avance ?
$\boxed{\textcolor{red}{p(T=5)=0}}$.\\
On rappelle que :\\
$p(T=\alpha)=\int_{\alpha}^{\alpha}f(x)\text{ d}x=0$.

\item %Quel est son temps moyen d'attente ?
Son temps moyen d'attente est $E(T)\dfrac{5+20}{2}=\boxed{\textcolor{red}{12,5\text{ min}}}$.
\end{enumerate}

\section{\textcolor{blue}{Loi exponentielle}}


\subsection{}
Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui sont des fonctions de densité d'une variable aléatoire qui suivent une loi exponentielle :\\
On rappelle que la fonction de densité d'une fonction exponentielle est définie par : f\[(x)=\begin{cases}0\text{ si }x<0\\\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\text{ si }x\geqslant 0\end{cases}.\]

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x):\begin{cases}3\mathrm{e}^{-3x}\text{ si }x\geqslant 0\\0\text{ sinon}\end{cases}$.\\
$f$ est bien une fonction de densité d'une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle avec $\lambda=3$.

\item $f(x):\begin{cases}0,5\mathrm{e}^{-\frac15x}\text{ si }x\geqslant 0\\0\text{ sinon}\end{cases}$.\\
$\dfrac{1}{5}=0,2\neq 0,2$ donc cela ne correspond pas à une fonction de densité d'une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.

\item $f(x):\begin{cases}\dfrac{2}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}\text{ si }x\geqslant 0\\0\text{ sinon}\end{cases}$.\\
$\dfrac{2}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)^2}=\dfrac{2}{\mathrm{e}^{2x}}=2\mathrm{e}^{-2x}=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}$ avec $\lambda=2$.\\
$f$ est bien une fonction de densité d'une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle avec $\lambda=2$.
\end{enumerate}

\subsection{}
La variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=3$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer son espérance.
L'espérance est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$

\item %Calculer $p(X\leqslant 1)$ puis $p(X\geqslant 2)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item Rappels : la fonction de répartition est $F : x\mapsto 1-\mathrm{e}^{\lambda x}$ et $p(a\leqslant T\leqslant b)=F(b)-F(a)$.\\
$p(X\leqslant b)=F(b)$.

\item $p(X\leqslant 1)=1-F(1)=\boxed{\textcolor{red}{1-\mathrm{e}^{-3}}}$.

\item $p(X\leqslant 2)=F(2)=1-\mathrm{e}^{-3\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{1-\mathrm{e}^{-6}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{Durée de vie d'une batterie}}
Un modèle de batterie  de smartphone, dont la durée de fonctionnement $X$ suit une loi exponentielle, a une durée de vie moyenne de 3 ans.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la fonction de répartition$F$ de $X$ (le temps sera exprimé en année).
$E(X)=3\Leftrightarrow \dfrac{1}{\lambda}=3\Leftrightarrow \lambda=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}}}$.\\
Cette loi exponentielle a pour paramètre $\lambda+\dfrac{1}{3}$.\\
La fonction de répartition et définie par : $\boxed{\textcolor{red}{F(t)=-\mathrm{e}^{-\frac13 t}}}$.

\item %Quelle est la probabilité qu'une batterie de ce modèle tombe en panne avant 3 ans ? Donner la valeur exacte, puis approchée à $10^{ -3}$.
La probabilité qu'une batterie de ce modèle tombe en panne avant 3 ans est $p(X\leqslant 3)=F(3)=1-\mathrm{e}^{-\frac13\times 3}=1-\mathrm{e}^{-1}=\boxed{\textcolor{red}{1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,632}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
La durée de vie exprimée en heure d'un modèle d'ampoules est modélisée par une loi exponentielle de paramètres $\lambda=\numprint{0,0006}$.\\
Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes, puis approcher à $10^{-3}$.\\
Notons $T$ la durée de vie d'une ampoule.
\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité qu'une de ampoules ait une durée de vie inférieure à \numprint{1000} heures ?
La probabilité qu'une de ampoules ait une durée de vie inférieure à \numprint{1000} heures  est :\\
$p(T\leqslant \numprint{1000})=F(\numprint{1000})=1-\mathrm{e}^{-\numprint{1000}\lambda}=\boxed{\textcolor{red}{1-\mathrm{e}^{-0,6}\approx 0,451~\text{h}}}$ 

\item %Quelle est la probabilité qu'une de ses ampoules ait une durée de vie supérieure à \numprint{2000} heures ?
La probabilité qu'une de ses ampoules ait une durée de vie supérieure à \numprint{2000} heures est :\\
$p(T\geqslant \numprint{2000})\\
=1-p(T<\numprint{2000})=1-F(\numprint{2000})\\
=1-\left(1-\mathrm{e}^{-\numprint{2000}\lambda}\right)\\
=\mathrm{e}^{-\numprint{2000}\lambda}=\mathrm{e}^{-2000\times (-0,0006)}=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-1,2}\approx 0,301}}$

\item %Quelle est la probabilité qu'une de ses ampoules ait une durée de vie supérieure à \numprint{2000} heures, sachant qu'elle fonctionnait encore au bout de \numprint{1000} heures ?
On utilise le caractère sans mémoire de la loi exponentielle :\\
$p_{T>\numprint{1000}}\left(T>\numprint{2000}\right)=p\left(T>\numprint{2000}-\numprint{1000}\right)\\
=p\left(T>\numprint{1000}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{-0,6}\approx 0,549}}$

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  

