\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Mathématiques complémentaires : correction de la feuille d'exercices sur l'intégration (2)}}\end{center}



\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~5]$ par : $f(x)=\dfrac{4}{x^2}$.\\
%Calculer la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[1~;~5]$.
Une primitive de $f$ est $F : x\mapsto -\dfrac{4}{x}$.\\
La valeur moyenne de $f$ sur $[1~;~5]$ est :\\
$\mu=\dfrac{1}{5-1}\int_1^5f(x)\text{ d}x=\dfrac{1}{4}\int_1^5f(x)\text{ d}x=\dfrac{1}{4}\left(F(5)-F(1)\right)=\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{4}{5}+4\right)=1-\dfrac{1}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{5}}}$

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x)=\left(2x^2-x+1\right)\mathrm{e}^{-x}$.\\
%Calculer $h'(x)$.
$h$ est le produit de deux fonctions. On en déduit que :\\
$h'(x)=\left(4x-1\right)\mathrm{e}^{-x}+\left(2x^2-x+1\right)\times \left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=\left(4x-1-\left(2x^2-x+1\right)\right)\mathrm{e}^{-x}=\left(4x-1-2x^2+x-1\right)\mathrm{e}^{-x}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\left(-2x^2+5x-2\right)\mathrm{e}^{-x}}}$

\item %En déduire la valeur moyenne sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ de la fonction $f$ définie par : \[f(x)=\left(-2x^2+5x-2\right)\mathrm{e}^{-x}\]
On remarque que $h'(x)=f(x)$ donc $h$ est une primitive der $f$.\\
La valeur moyenne sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ de la fonction $f$ est donc :\\
$\mu=\dfrac{1}{1-\frac12}\int_{\frac12}^1f(x)\text{ d}x=\dfrac{1}{\frac12}\left[h(1)-h\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]=2\left[h(1)-h\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $h(1)=2\mathrm{e}^{-1}$

\item $h\left(\dfrac{1}{2}\right)=\mathrm{e}^{-\frac12}$.\\
Alors : $\mu=2\left(2\mathrm{e}^{-1}-\mathrm{e}^{-\frac12}\right)=\boxed{\textcolor{red}{4\mathrm{e}^{-1}-\dfrac{2}{\sqrt{\mathrm{e}}}}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{Vitesse moyenne}}
%Un mobile se déplace à la vitesse $v(t)=2t^2+5t$ avec $t$ exprimé en seconde et $v(t)$ en mètres par seconde.\\
%On admet qu'à $t=0$, la distance parcourue est nulle.
%
%\begin{enumerate}
%\item %Quelle distance a parcouru le mobile entre les instants  0 et 100 secondes, au mètre près ?\\
%%\emph{on admet que la position $d$ du mobile est une primitive de la vitesse}
%La position $d(t)$ du mobile est une primitive de $v(t)$.\\
%$d(t)=\dfrac{2}{3}t^3+\dfrac{5}{2}t^2+k$, $k\in\mathbb{R}$.\\
%$d(0)=d_0=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{d(t)=\dfrac{2}{3}t^3+\dfrac{5}{2}t^2}}$.\\
%Au bout de 100 secondes, le mobile a parcouru $d(100)-d(0)=d(100)=\dfrac{\numprint{2075000}}{3}\approx \numprint{691667}~\si{\meter}$.
%
%\item %Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet correspondant, à 0,1 près
%La vitesse moyenne sur le trajet correspondant, à 0,1 près est :\\
%$\dfrac{\numprint{691667}}{100}\approx 6916,7~\si{\meter\per\second}$
%
%\end{enumerate}
%
%

\subsection{\textcolor{blue}{Calcul d'aire}}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=x^2-x-12\text{ et }g(x)=4x-16.\]
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le signe de $f(x)-g(x)$ selon les valeurs de $x$ ; on renseignera un tableau de signes.
$\boxed{\textcolor{red}{f(x)-g(x)=x^2-5x+4}}$\\
$\Delta=9>0$.\\
On a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{5-\sqrt{9}}{2}=1$ et $x_2=\dfrac{5+\sqrt{9}}{2}=4$.\\
Ce trinôme du second degré est du signe du coefficient de $x^2$, 1, positif, à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.\\
On en déduit le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&1&&4&&\pI\\
\hline
f()-g(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
La courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de la courbe $\mathscr{C}_g$ sur $]-\infty~;~1] \cup [4~;~+\infty[$ et en dessous sur $[1~;~4]$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-20)(6.5,20)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-5}{6.2}{x^2-x-12}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1}{6.1}{4*x-16}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{\psplot{2}{3}{4*x-16}{\psplot{3}{2}{x^2-x-12}}}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{\psplot{5}{6}{x^2-x-12}{\psplot{6}{5}{4*x-16}}}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-5,-20)(6.5,20)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-20)(6.5,20)
\end{pspicture}

\end{center}
\item En déduire, en unité d'aire :
\begin{enumerate}
\item l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f$, la courbe représentative de la fonction $g$ et les droites d'équations $x=5$ et $x=6$.\\
Elle vaut, puisqu'une aire  est positive :\\
$\int_5^6\left[g(x)-f(x)\right]\text{ d}x=\int_5^6\left[x^2-5x+4\right]\text{ d}x$.\\
Une primitive de $h(x)=f(x)-g(x)$ est $H(x)=\dfrac{x^3}{3}-5\dfrac{x^2}{2}+4x$.\\
$\int_5^6\left[x^2-5x+4\right]\text{ d}x=H(6)-H(5)=6-\left(-\dfrac{5}{6}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{41}{6}}}$  u.a..

\item l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f$, la courbe représentative de la fonction $g$ et les droites d'équations $x=2$ et $x=3$.\\
Elle vaut $\int_2^3\left[g(x)-f(x)\right]=H(2)-H(3)=\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{3}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{13}{6}}}$ u.a.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\newpage


\subsection{}
Soit $f ( x)=x^2 -8 x +15$ et $g( x)=-2 x^2 +10 x-9$ définies sur $\mathbb{R}$ dont les représentations graphiques sont données ci-dessous
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,-2)(7,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,-2)(7,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,-2)(7,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.76}{6.24}{x^2 -8*x +15}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0.84}{4.16}{-2*x^2 +10*x-9}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid]{\psplot{2}{4}{x^2 -8*x +15}\psplot{4}{2}{-2*x^2 +10*x-9}}
\uput[r](6,3){$\mathscr{C}_f$}\uput[u](3,3){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_f$.
Pour déterminer la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_f$, on étudie le signe de $f(x)-g(x)$.\\
$f(x)-g(x)=3x^2-18x+24=3\left(x^2-6x+8\right)$.\\
C'est du signe de $x^2-6x+8$.\\
$\Delta=4>0$ ; l'expression a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-2}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{6+2}{2}=4$.\\
$f(x)-g(x)\geqslant 0$ (du signe de $a$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et $f(x)-g(x)\leqslant 0$ entre 2 et 4

\item %Calculer l’aire du domaine hachuré
$\mathscr{C}_f$ est donc en dessous de $\mathscr{C}_g$ pour $x\in[2~;~4]$.\\
L'aire de la partie hachurée est donc $\int_2^4\left[g(x)-f(x)\right]\text{ d}x=\int_2^4\left[-3x^2+18x-24\right]\text{ d}x=$.\\
On pose $h(x)=-3x^2+6x-8$.\\
Une primitive est définie par $H(x)=-x^3+9x^2-24x$.\\
$\int_2^4\left(-x^2+6x-8\right)\text{ d}x=H(4)-H(2)=-16-(20)=\boxed{\textcolor{red}{4~\text{ u.a.}}}$
\end{enumerate}

\end{center}


\newpage


\subsection{}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}
\psset{unit=0.3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(25,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-3,0)(25,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(-3,0)(25,15)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2.2}{3.6 x mul 7 add}
\multido{\n=0+2}{13}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,15)}
\uput[dr](0,7){A} \uput[r](2,14.2){B} \uput[ur](7,10.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(0,7)(2,14.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
 
 \begin{enumerate}
 	\item Dans la limite de précision du graphique, l'équation $f(x)=6$ admet comme solution $\boxed{\textcolor{red}{\alpha \approx 12}}$.
	
 	\item 
 	\begin{enumerate}
 		\item Cherchons la pente de la droite $T$ passant par $A$ et $B$ : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{14,2-7}{2-0}=\boxed{\textcolor{red}{3,6}}$.
		
 		\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;\,25]$.\\
		Pour tout $x\in [0\,;\,5]$, $f(x)$ est de la forme $u(x)\times v(x)$ avec $u(x)=\left(ax + b\right)$ et $v(x)=\text{e}^{-0,2x}$. \\
 		En écrivant  $u'(x)=a$ et $v'(x)=-0,2\text{e}^{-0,2x}$,\\
 		$f'(x)=a\times \text{e}^{-0,2x}+(ax+b)\times -0,2\text{e}^{-0,2x}=\text{e}^{-0,2x} \left(a+(ax+b)\times-0,2\right)\\ =\text{e}^{-0,2x}\left(a-0,2ax-0,2b\right)=\boxed{\textcolor{red}{\text{e}^{-0,2x}\left(-0,2ax+a-0,2b\right)}}$
		

 		\item Nous savons que $A\in\mathcal{C}_f$ donc $f(0)=7$. De plus D'après la question 2.a), $f'(0)=3,6$.\\
 		La première égalité se traduit par : $(a\times 0+b)\text{e}^{-0.2\times 0}=7 \iff b=7$\\
 		La seconde donne quant à elle : $\text{e}^{-0,2\times 0}\left(-0,2a\times 0+a-0,2b\right)=3,6 \iff a-0,2b=3,6$\\
 		Donc :  $\left \lbrace	\begin{array}{l !{=} l}	a-0,2\,b& 3,6\\	b & 7\end{array}\right. $\\
 		On remplace $b$ par 7 dans la première équation, puis on trouve : $\left \lbrace	\begin{array}{l !{=} l}	a& 3,6+0,2\times7=5\\	b & 7\end{array}\right. $.\\
Donc la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\, 25]$ par $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=(5x+7)\text{e}^{-0,2x}}}$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item Utilisons les résultats de la première partie. Pour tout $x\in[0\,;\, 25]$, \\ $f'(x)=\text{e}^{-0,2x}\left(-0,2ax+a-0,2b\right)=\text{e}^{-0,2x}\left(-0,2\times 5\times x+5-0,2\times 7\right)=\boxed{\textcolor{red}{(-x+3,6)\text{e}^{-0,2x}}}$.\\
	Pour tout $x\in[0\,;\, 25]$, $\text{e}^{-0,2x}>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $-x+3,6$.\\
	$-x+3,6\geqslant 0 \iff x \leqslant 3,6$.\\
	Le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle  $[0\,;\,25]$ est :
	 	\begin{center}
	 		{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
	 			\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
	 			\def\esp{\hspace*{2cm}}% pour modifier la largeur du tableau
	 			\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
	 			$\begin{array}{|c|*5{c}|}
	 			\hline
	 			x & 0  & \esp & 3,6 & \esp & 25 \\ 
	 			\hline
	 			f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
	 			\hline
	 			& &  &   \Rnode{max}{25\text{e}^{-0,72}}  &  &   \\  
	 			f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
	 			& \Rnode{min1}{7} &   &  &  &   \Rnode{min2}{132\text{e}^{-5}} \rule{0pt}{\hauteur}    
	 			\ncline{->}{min1}{max} 
	 			\ncline{->}{max}{min2} 
	 			\\ 
	 			\hline
	 			\end{array} $
	 		}
	 	\end{center}
	 	$f(0)=7$ \hfill{$f(3,6)=(5\times 3,6+7)\text{e}^{-0,2\times 3,6}=25\text{e}^{-0,72}\approx 12,17$} \hfill{$f(25)=(5\times 25+7)\text{e}^{-0,2\times 25}=132\text{e}^{-5}\approx 0,89$}
	 	\item Sur l'intervalle $[0\,;\, 3,6]$, $f(x)\geqslant7$ donc l'équation $f(x)=6$ n'y admet aucune solution.\\
	 	Sur l'intervalle $[3,6\,;\, 25]$, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante.\\
	 	De plus $6\in [132\text{e}^{-5}\,;\, 25\text{e}^{-0,72}]$. D'après la propriété des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=6$ admet une unique solution  notée $\alpha$ sur l'intervalle $[3,6\,;\,25]$. \`A l'aide de la calculatrice,  $\alpha \approx 12,1$.\\
	 	Pour conclure, l'équation $f(x)=6$ admet donc une solution unique $\alpha \approx 12,1$ sur l'intervalle $[0\,;\, 25]$.
	 	\item Le logiciel de calcul donne une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle  $[0\,;\, 25]$.\\
	 	Donc  $\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x=\left[(-25x-160)\text{e}^{-0,2x}\right]_0^{25}=\boxed{\textcolor{red}{-785\text{e}^{-5}+160\approx 154,711}}$
\end{enumerate}

\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie C}}

\medskip
\begin{enumerate}

		\item D'après les questions de la partie précédente, l'aire de la partie hachurée représentant la piscine est égale en unités d'aires à : $\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x$ soit $-785\text{e}^{-5}+160$. Or ici une unité d'aire est égale à un mètre carré, donc $A=-785\text{e}^{-5}+160 \; m^2\approx 154,711\; \si{\square\metre}$.
		\item Cherchons la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\, 25]$ :\\
		$\dfrac{1}{25-0}\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x=\dfrac{-785\text{e}^{-5}+160}{25}\approx \boxed{\textcolor{red}{6,2}}$.\\
		L'aire de la partie hachurée est donc égale à l'aire d'un rectangle ayant pour longueur 25, et pour hauteur 6,2. Donc si on remplace la piscine par un bassin rectangulaire ayant la même aire, ses dimensions seraient : $25\,\si{\metre}\times 6,2\,\si{\metre}$.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  