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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires Terminale : contrôle sur les suites}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par. $u_n=n^2-3$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.

\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 
\[\begin{cases}u_0=2\\u_ {n+1}=3u_n-5\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}.\]
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=-2$ et de raison $r=7$.\\
Calculer $u_5$.

\item $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=2$.\\
Calculer $u_5$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

\begin{enumerate}
\item Rappeler la définition d'une suite croissante.

\item Étudier les variations des suites $\left(u_n\right)$ suivantes :
\begin{enumerate}
%\item $u_n=3n+4$

\item $u_n=\dfrac{n+1}{n+2}$

\item $\begin{cases}u_0=-3\\u_{n+1}=u_n+n^2\end{cases}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
Déterminer$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$ dans les cas suivants (en justifiant soigneusement !) :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=(3n+2)(-5n+1)$

\bigskip

\item $u_n=2+3^n$

\bigskip

\item $u_n=3n^2-5n+1$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{2n^2-n+3}{3n^2+5}$

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n+1}{n^2+1}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
Au 1er janvier 2020, un arboriculteur possède \numprint{5000} pommiers.\\
Chaque année :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  il arrache 4\:\% des pommiers car ils sont endommagés ;

\item il replante 300 nouveaux pommiers.

\end{enumerate}
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l’arboriculteur au 1\ier{} janvier de l’année $2020+n$.\\
Par conséquent, on a $u_0=\numprint{5000}$

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

\item Combien de pommiers possèdera l’arboriculteur au 1er janvier 2022 ? 

\item Justifier que, pour tout $n$, on a : $u_ {n+1}=0,96u_n+300$.

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-\numprint{7500}$ , pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.

\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n=7500-2500\times 0,96^n$.

\item Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$.

\item Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?

\end{enumerate}

\item La superficie des terrains de l’arboriculteur lui permet d’avoir au maximum \numprint{6000} pommiers.\\
Expliquer pourquoi cela va lui poser problème.

\item L’arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.\\
Peux-tu lui indiquer en quelle année il devra acquérir ce terrain ?
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice facultatif (2 points)}}
Calculer, en expliquant, la somme 
\[S=23+26+29+32+\cdots+128.\]


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  