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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur la somme des termes d'une suite}}\end{center}

\subsection{}
D’abord, on identifie une suite géométrique puisque l’augmentation est stable en pourcentage. La raison est le coefficient multiplicateur, soit 
$q=1+\dfrac{10}{100}=1,1$.\\

\begin{enumerate}
\item Nous connaissons la production de 2020 et nous cherchons celle qui existe deux ans plus tard.\\
Nommons cette suite  $\left(u_n\right)$ et appelons $u_0$ la production en 2020.\\
Nous cherchons $u_2$.\\
$u_2=u_0\times q^2=200\times 1,1^2=242$.\\
Selon ce modèle, l’organisme produit 242 tonnes de paperasse en 2022.

\item La deuxième question consiste à chercher une production totale sur plusieurs années. Nous avons donc recours à la formule de la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique.
Notons $S_n$ la somme des termes de $u_0$ jusqu'à $u_n$.\\
Ici, $n=11$.\\
$S_ {11}=200\times \dfrac{1-1,1^{11}}{1-1,1}\approx \numprint{3706}$.

En onze ans, l’organisme produit \numprint{3706} tonnes de paperasse.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Sud bac ES novembre 2014}}
Une agence de presse a la charge de la publication d'un journal hebdomadaire traitant des informations d'une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s'y déroulent. 

\medskip

Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population. 

Une étude de marché estime à \numprint{1200} le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une progression des ventes de 2\,\% chaque semaine pour les éditions suivantes. 

L'agence souhaite dépasser les \numprint{4000} journaux vendus par semaine. 

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de journaux vendus $n$ semaines après le début de l'opération. On a donc $u_0 = \numprint{1200}$. 

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Calculer le nombre $u_1$ de journaux vendus une semaine après le début de l'opération. 
2\,\% de \numprint{1200} correspondent à $\dfrac{2}{100}\times \numprint{1200}=24$;
donc $u_1 = \numprint{1200}+24 =\numprint{1224}$.

\item% Écrire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
Ajouter 2\,\% c'est multiplier par $1,02$; donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $u_0=\np{1200}$.

Donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = \np{1200}\times 1,02^n$.

\item% Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500}. 
Le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500} quand $u_n >\np{1500}$; on résout l'inéquation:

À la calculatrice, on trouve $n\geqslant 12$ donc c'est à partir de 12 semaines que le nombre de journaux vendus sera supérieur à \np{1500}.

\item Voici un algorithme : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES :		& $U$ est un réel\\
				&$N$ est un entier naturel\\ 
INITIALISATION :& $U$ prend la valeur \np{1200}\\
				&$N$ prend la valeur $0$\\ 
TRAITEMENT :	&Tant que $U < \np{4000}$\\
				&\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ 
				&\hspace{0.4cm}$U$ prend la valeur $1,02 \times U$\\
				&Fin du Tant que \\
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer la valeur de $N$ affichée par cet algorithme. 
La valeur de $N$ affichée par cet algorithme est la première valeur pour laquelle $U$ est supérieur ou égal à \np{4000}.

Dans cet algorithme, $U$ correspond au nombre de journaux vendus la semaine $N$, autrement dit correspond à $u_N$.

La valeur de $N$ affichée par l'algorithme est 61.

		\item% Interpréter le résultat précédent. 
C'est à partir de la semaine 61 que le nombre de journaux vendus par semaine sera supérieur à \np{4000}.

\emph{On peut vérifier que $u_{60}\approx \np{3937} < \np{4000}$ et que $u_{61} \approx \np{4015} > \np{4000}$.}

	\end{enumerate}

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que, pour tout entier $n$, on a : 
%		
%		\[1 + 1,02 + 1,02^2 + \cdots + 1,02^n = 50 \times \left(1,02^{n+1} - 1\right).\] 
D'après le cours, pour tout réel $q \neq 1$: $1+q+q^2+ \cdots + q^n = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$. Donc:

$1 + 1,02 + \cdots + 1,02^n = \dfrac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02} = \dfrac{1,02^{n+1} - 1}{0,02} = \dfrac{1}{0,02} \times \left ( 1,02^{n+1} - 1 \right ) = 50\times \left ( 1,02^{n+1} - 1 \right )$


		\item On pose, pour tout entier $n, \:\: S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$. Donc:
		
$S_n= \np{1200} + \np{1200}\times 1,02 + \cdots + \np{1200} \times 1,02^n = \np{1200} \left ( 1 + 1,02 + 1,02^2 + \cdots + 1,02^n \right )\\
\phantom{S_n} = \np{1200} \times 50 \times \left ( 1,02^{n+1} - 1 \right ) = \np{60000}\left ( 1,02^{n+1} - 1 \right )$

%À l'aide de la question précédente, montrer que l'on a : 
%$S_n = \np{60000} \times \left(1,02^{n+1} - 1\right)$. 

		\item% Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le résultat sera arrondi à l'unité. 
Le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines est $S_{52}$ c'est-à-dire\\
$\np{60000} \times \left (1,02^{53}-1 \right ) \approx \np{111380}$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  