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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires : correction des exercices sur les limites de suites}}\end{center}




\subsection{}
%Calculer :

\begin{enumerate}[a)]
\item %$\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-2n)\left(n^2+3\right)$
$\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-2n)=-\infty$ et $\left(n^2+3\right)=+\infty$ donc, par produit : 
\[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}(1-2n)\left(n^2+3\right)=-\infty}}\]
\bigskip

\item %$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)^2$
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{n}\right)=0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)=2$. D'où :
\[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2+\dfrac{1}{n}\right)^2=4}}\]

\bigskip

%\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{1-2n^2}$
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1-2n^2\right)=-\infty$ donc : 
\[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{1-2n^2}\right)=0}}\]

\bigskip

%$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(n^2-4n\right)$

\bigskip

\item Pour calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-2n^3+3n^2-5n+3\right)$, on a une forme indéterminée.\\
$(-2n^3+3n^2-5n+3=n^3\left(-2+\dfrac{3}{n}-\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}\right)$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^3=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-2+\dfrac{3}{n}-\dfrac{5}{n^2}+\dfrac{3}{n^3}\right)=-2$.\\
Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(-2n^3+3n^2-5n+3\right)=-\infty}}$

\bigskip

\item Calcul de $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{n^2-4n+3}{4n^2+5}\right)$.\\
On a une forme indéterminée.\\
$\dfrac{n^2-4n+3}{4n^2+5}=\dfrac{\cancel{n^2}\left(1-\frac4n+\frac3{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(4+\frac5{n^2}\right)}=\dfrac{1-\frac4n+\frac3{n^2}}{4+\frac5{n^2}}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1-\frac4n+\frac3{n^2}\right)=1$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(4+\frac5{n^2}\right)=4$
\end{enumerate}
Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{n^2-4n+3}{4n^2+5}\right)=\dfrac{1}{4}}}$.


\newpage


\item Calcul de $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{-3n+4}{n^2+1}\right)$ : on a une forme indéterminée.\\
$\dfrac{-3n+4}{n^2+1}=\dfrac{n\left(-3+\frac4n\right)}{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}=\dfrac{-3+\frac4n}{n\left(1+\frac1{n^2}\right)}$ après simplification par $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)=1$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac1{n^2}\right)=1$
\end{enumerate}
Par produit et quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{-3n+4}{n^2+1}\right)=0}}$

\bigskip

\item %$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(4-3^n\right)$
$3>0$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}3^n=+\infty$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1-3^n\right)=-\infty}}$

\bigskip

\item %$\lim_{n\rightarrow +\infty}5\sqrt{2}^n$.
$\sqrt{2}>1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{2}^n=+\infty$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}5\sqrt{2}^n=+\infty}}$.

\bigskip

\item %$\lim_{n\rightarrow +\infty}50\times 0,7^n$
$0<0,7<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,7^n=0$ donc : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}50\times 0,7^n=0}}$.

\bigskip

\item% $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2^n}{5^n}\right)$
On a une forme indéterminée, mais on remarque que $\left(\dfrac{2^n}{5^n}\right)=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n$.\\
$0<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2}{5}\right)^n=0$.\\
Finalement : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{2^n}{5^n}\right)=0}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
En 2015, on estime à \numprint{3200} le nombre de tigres sauvages dans le monde.\\
On peut craindre que ce nombre continue dans les années à venir à diminuer de 3\:\% par an.\\
Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ le nombre de tigres sauvages en l’an $2015 + n$ selon ce modèle.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l’expression de $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$, pour tout entier naturel $n$.
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 3\:\% est $1-\dfrac{3}{100}=0,97$.\\
Pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{T_{n+1}=0,97T_n}}$.

\item %Quelle est la nature de la suite $\left(T_n\right)$ ?\\
La suite $\left(T_n\right)$ est géométrique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=0,97}}$ et de premier terme $T_0=\numprint{3200}$.\\
%En déduire l’expression de $T_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
On en déduit que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{T_n=T_0q^n=\numprint{1200}\times 0,97^n}}$.

\item %Quelle est la limite de $T_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
$0<0,07<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,97^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}T_n=0}}$.

\item %Que peut-on en conclure ?
On en conclut que le nombre de tigres va tendre vers 0, donc si ce modèle perdure, l'espèce va disparaître.

\end{enumerate}

\subsection{}
En 2018, on évalue la population d’une ville à \numprint{10000} habitants. Chaque année, 10\:\% de la population quitte la ville, et 500 personnes viennent s’y installer.\\
On modélise la population de cette ville par une suite $u$ définie sur $\mathbb{N}$, où $u_n$ est égal au nombre d’habitants en $2018 + n$.

\begin{enumerate}
\item  %Préciser $u_0$, puis calculer la population en 2019.
$u_0=\numprint{10000}$.\\
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 10\:\% est 0,9 car $-10\:\%=1-\dfrac{10}{100}=0,9$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{u_1=0,9u_0+500}}$.

\item %Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,9u_n + 500$.
De même, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1} = 0,9u_n + 500}}$.

\item %Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est ni arithmétique, ni géométrique. Peut-on calculer facilement à la main la population en 2040 ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{u_0=\numprint{10000}}}$ ; $u_1=\numprint{9500}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_2=9050}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{u_1-u_0=-500}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_2-u_1=-450}}$.\\
La différence de deux termes consécutifs n'est pas constante : la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

\item $\dfrac{u_1}{u_0}=0,95$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 0,953$.\\
Les quotients de termes consécutifs ne sont pas égaux : a suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.

\item Il est donc difficile de calculer la population en 2040, c'est-à-dire $u_{22}$.

\end{enumerate}
\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - \numprint{5000}$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,9.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-\numprint{5000}\\
=0,9u_n+500-5000\\
=0,9u_n-4500\\
=0,9\left(u_n-500\right)\\=0,9v_n$.\\
Par conséquent, pour tout $n$ : $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=0,9v_n}}$.\\
$\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-\numprint{5000}=\numprint{5000}$.

\item %Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Alors, pour tout $n$ : $v_n=v_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5000}\times 0,9^n}}$.

\item On en déduit : $n=v_n+\numprint{5000}=\numprint{5000}+\numprint{5000}\times 0,9^n=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5000}\left(1+0,9^n\right)}}$
\end{enumerate}

\item %Déterminer alors la population de la ville en 2040.
La population en 2040 est $u_{22}=5000\times \left(1+0,9^{22}\right)\approx \numprint{5492}$.
\end{enumerate}

\item %Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$0<0,9<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,9^n=0$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=5000}}$.\\
Si le modèle perdure, la population va tendre vers \numprint{5000} habitants.

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  