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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires  : correction du contrôle sur les suites}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par. $u_n=n^2-3$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
%Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_0=0^2-3=\boxed{\textcolor{red}{-3}}$

\item $u_1=1^2-3=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$

\item $u_2=2^2-3=\boxed{\textcolor{red}{1}}$
\end{enumerate}

\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\begin{cases}u_0=2\\u_ {n+1}=3u_n-5\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}.$
%Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=3u_0-4=3\times 2-5=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $u_2=3u_1-4=3\times 1-5=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$

\item $u_3=3u_1-4=3\times (-2)-5=\boxed{\textcolor{red}{-11}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

\begin{enumerate}
\item $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0=-2$ et de raison $r=7$.\\
%Calculer $u_5$.
On sait que $u_n=u_0+nr$ donc $u_5=u_0+5r=-2+5\times 7=33$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_5=33}}$.

\item $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=2$.\\
%Calculer $u_5$.
$u_n=u_0q^n$ donc $u_5=3\times 2^5=\boxed{\textcolor{red}{96}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}

\begin{enumerate}
\item %Rappeler la définition d'une suite croissante.
Une suite $\left(u_n\right)$ est croissante si, et seulement si, pour tout $n$, $u_{n+1}\geqslant u_n$ donc $u_{n+1}-u_n\geqslant 0$.

\item Étudier les variations des suites $\left(u_n\right)$ suivantes :
\begin{enumerate}
%\item $u_n=3n+4$

\item $u_n=\dfrac{n+1}{n+2}$\\
$u_{n+1}=\dfrac{n+2}{n+3}$.\\
Alors : $u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+2}{n+3}-\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{(n+2)^2-(n+1)(n+3)}{(n+1)(n+3)}=\dfrac{n^2+4n+4-\left[n^2+3n+n+3\right]}{(n+1)(n+3)}\\
=\dfrac{1}{(n+1)(n+3)}>0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

\item $\begin{cases}u_0=-3\\u_{n+1}=u_n+n^2\end{cases}$
\end{enumerate}
Pour tout  $n$, $u_{n+1}-u_n=n^2\geqslant 0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
Déterminer$\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$ dans les cas suivants :

\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=(3n+2)(-5n+1)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}(3n+2)=+\infty$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}(-5n+1)=-\infty$
\end{enumerate}
Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty}}$.

\bigskip

\item $u_n=2+3^n$\\
$3>1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}3^n=+\infty$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$.

\bigskip

\item $u_n=3n^2-5n+1$\\
On a une forme indéterminée.\\
$n^2-5n+1=n^2\left(3-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3-\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)=3$.\\
D'où, par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$.

\bigskip

\item $u_n=\dfrac{2n^2-n+3}{3n^2+5}$.\\
On a une forme indéterminée ;\\
$\dfrac{2n^2-n+3}{3n^2+5}=\dfrac{\cancel{n^2}\left(2-\frac1n+\frac3{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(3+\frac5{n^2}\right)}=\dfrac{2-\frac1n+\frac3{n^2}}{3+\frac5{n^2}}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(2-\frac1n+\frac3{n^2}\right)=2$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3+\frac5{n^2}\right)=3$
\end{enumerate}
Alors, par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\dfrac{2}{3}}}$
\bigskip

\item $u_n=\dfrac{3n+1}{n^2+1}$.\\
On a une forme indéterminée.\\
$\dfrac{3n+1}{n^2+1}=\dfrac{n\left(3+\frac1n\right)}{n^2\left(1+\frac1{n^2}\right)}=\dfrac{3+\frac1n}{n\left(1+\frac1{n^2}\right)}$ après simplification par $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(3+\dfrac{1}{n}\right)=3$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$

\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)=1$
\end{enumerate}
Par produit est quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5,5 points)}}
Au 1er janvier 2020, un arboriculteur possède \numprint{5000} pommiers.\\
Chaque année :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  il arrache 4\:\% des pommiers car ils sont endommagés ;

\item il replante 300 nouveaux pommiers.

\end{enumerate}
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l’arboriculteur au 1\ier{} janvier de l’année $2020+n$.\\
Par conséquent, on a $u_0=\numprint{5000}$

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $u_2$.
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 4\:\% est 0,96.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=0,96u_0+300=0,96*\numprint{5000}+300=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5100}}}$

\item $u_2=0,96u_1+300=0,96*\numprint{5100}+300=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{5196}}}$
\end{enumerate}

\item %Combien de pommiers possèdera l’arboriculteur au 1er janvier 2022 ? 
Le 1\ier{} janvier 2022, l'arboriculteur possédera \numprint{5196} pommiers.

\item %Justifier que, pour tout $n$, on a : $u_ {n+1}=0,96u_n+300$.
Plus généralement : $\boxed{\textcolor{red}{u_ {n+1}=0,96u_n+300}}$.

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-\numprint{7500}$ , pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
Pour tout $n$ : 

$v_{n+1}=u_{n+1}-\numprint{7500}\\
=\left(0,96u_n+300\right)-\numprint{7500}\\
=0,95u_n-7200\\
=0,96\left(u_n-\numprint{7500}\right)\\
=0,96v_n$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=0,96n}}$.\\
On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique, de raison $q=0,96$ et de premier terme \\
$v_0=u_0-7500=-\numprint{2500}$

\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison. $q=0,96$ : $v_n=v_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{-\numprint{2500}\times 0,96^n}}$.

\item %En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n=7500-2500\times 0,96^n$.
$v_n=u_n-\numprint{7500}$ donc $u_n=\numprint{7500}+v_n$ d'où : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=7500-2500\times 0,96^n}}$.

\item %Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$.
$-1<0,96<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,96^n=0$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=7500}}$.

\item %Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?
Cela signifie que le nombre d'arbres de l'arboriculteur se stabilise autour de \numprint{7500} pommiers.

\end{enumerate}

\item La superficie des terrains de l’arboriculteur lui permet d’avoir au maximum \numprint{6000} pommiers.\\
%Expliquer pourquoi cela va lui poser problème.
Puisque le nombre de pommiers va tendre vers \numprint{7500}, il va finir par dépasser \numprint{6000}, ce qui est trop pour la superficie des terrains.

\item %L’arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.\\
%Peux-tu lui indiquer en quelle année il devra acquérir ce terrain ?
On cherche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $u_n>\numprint{6000}$.\\
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{u_{12}\approx 5968,23}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_{13}\approx 6029,50}}$.\\
Il faudra qu'il achète un nouveau terrain au bout de 13 ans, donc en 2033.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice facultatif }}
Calculer la somme $S=23+26+29+32+\cdots+128$.\\`
On a la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison $r=3$.\\
$u_0=23$ ; $u_n=u_0+nr=23+3n$ donc $23+3n=128$ qui donne $n=35$.\\
Alors : $S=(n+1)\times \dfrac{u_0+u_n}{2}$ avec $n=35$ donc $S=36\times \dfrac{23+128}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{2718}}}$



\label{fin}
\end{document}  