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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires : contrôle (limites, nombre dérivé) }}\end{center}



\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ d'une fonction f définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2~;~1\right\}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-6)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-6)(6,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-6}{-2.05}{(x+3)/((x+2)*(x-1))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.943}{.765}{(x+3)/((x+2)*(x-1))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.22}{6}{(x+3)/((x+2)*(x-1))}
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](-2,-6)(-2,6)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](1,-6)(1,6)
\uput[ur](2,1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
Déterminer graphiquement les limites de $f$ en $-\infty$, en $+\infty$, en -2 et en 1 à gauche et à droite.\\
Indiquer les asymptotes éventuelles.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{ \textcolor{blue}{(4 points)}}
Calculer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{5x^2-2x-5}{x^2+1}\right)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x<3}}\left(\dfrac{x^2+x-1}{x-3}\right)$

%\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3}}\left(\dfrac{x^2+x-1}{x-3}\right)$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}\left(\dfrac{3x+4}{(x+3)(x-2)}\right)$
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
On donne ci-dessous le tableau de variation d'une fonction $f$ continue :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&-2&&1&&4&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\dh&\m{1}&\db&-4&\c&\h{-2}&\dh&\m{-6}&\db&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $g(x)=0$ et préciser les intervalles auxquelles appartiennent ces solutions.

\newpage

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Une fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et a pour courbe représentative $\mathscr{C}_f$.\\
On sait que $f(2)=-1$ et $f'(2)=3$.\\
Donner l'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au oint d'abscisse 2.

\subsection{ \textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit la fonction $g$ définie par$ g(x) = x^3 - 3x - 4$ définie sur $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.

\item Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$.

\item On donne ci-dessous le tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
\m{g(x)}&&\c&&\d&&\c&&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Calculer $g(-1)$ et $g(1)$ et placer les valeurs dans le tableau de variation, ainsi que les limites trouvées précédemment.

\item Montrer que l’équation $g(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle [1~;~3].

\item Donner un encadrement de $\alpha$ à 0,01 près.

\item \textbf{\textcolor{red}{(question facultative)}}\\
En déduire le signe de $g(x)$ en fonction des valeurs de $x$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$  de la manière suivante :
$h(x) =\begin{cases}2x-1\text{ si }x\leqslant 1\\x^2\text{ si }x>1\end{cases}$\\
Cette fonction est-elle continue ?


\subsection{ \textcolor{blue}{(2 points)}}
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\def\F{x^3/3+x^2-3*x-5/3}
\begin{pspicture}(-6,-4)(3,12)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-4)(3,12)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-4)(3,12)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5}{3}{\F}
\psplotTangent [linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{1}{\F}
\psplotTangent [linewidth=2pt,linecolor=red,arrows=<->]{1}{1}{\F}
\psplotTangent [linewidth=2pt,linecolor=red,arrows=<->]{-3}{1}{\F}
\psplotTangent [linewidth=2pt,linecolor=red,arrows=<->]{-4}{6}{\F}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-4,5)(-3,7.33)(1,-3.33)
\end{pspicture}
\end{center}
Sur la courbe, on a tracé les tangentes aux points d'abscisses -3~;~1 et -4.\\
Donner à partir du graphique les valeurs de $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(-4)$


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  