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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires : corrigé du contrôle (limites, nombre dérivé) }}\end{center}



\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ d'une fonction f définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2~;~1\right\}$.
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-6)(6,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-6)(6,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-6)(6,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-6}{-2.05}{(x+3)/((x+2)*(x-1))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.943}{.765}{(x+3)/((x+2)*(x-1))}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{1.22}{6}{(x+3)/((x+2)*(x-1))}
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](-2,-6)(-2,6)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=blue](1,-6)(1,6)
\uput[ur](2,1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
%Déterminer graphiquement les limites de $f$ en $-\infty$, en $+\infty$, en -2 et en 1 à gauche et à droite.\\
%Indiquer les asymptotes éventuelles.
Graphiquement, on trouve : 


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x<-2}}f(x)=+\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -2\\x>-2}}f(x)=-\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1}}f(x)=-\infty$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x>1}}f(x)=+\infty$
\end{enumerate}


\end{multicols}La courbe $\mathscr{C}_f$ admet pour asymptotes l'axe des abscisses en $-\infty$ et $+\infty$, la droite d'équation $x=-2$ et la droite d'équation 1.




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{ \textcolor{blue}{(4 points)}}
Calculer les limites suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item %$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{5x^2-2x-5}{x^2+1}\right)$
$\dfrac{5x^2-2x-5}{x^2+1}=\dfrac{\cancel{x^2}\left(5-\frac2x+\frac1{x^2}\right)}{\cancel{x^2}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\dfrac{5-\frac2x+\frac1{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(5-\frac2x+\frac1{x^2}\right)=5$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1$.\\
Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\dfrac{5x^2-2x-5}{x^2+1}\right)=5}}$

\item %$\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x<3}}\left(\dfrac{x^2+x-1}{x-3}\right)$
$\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x<3}}\left(x^2+x-1\right)=\boxed{\textcolor{red}{11}}$\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x<3}}(x-3)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ avec $\boxed{\textcolor{red}{x-3<0}}$.\\
Donc : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x<3}}\left(\dfrac{x^2+x-1}{x-3}\right)=-\infty}}$

%\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 3\\x>3}}\left(\dfrac{x^2+x-1}{x-3}\right)$

\item %$\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}\left(\dfrac{3x+4}{(x+3)(x-2)}\right)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}(3x+4)=\boxed{\textcolor{red}{-5}}$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}(x+3)=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ avec $\boxed{\textcolor{red}{x+3<0}}$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}(x-2)=\boxed{\textcolor{red}{-5}}$.

\item On en déduit : $\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}\left[(x+3)(x-2)\right]=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ en étant positif

\item Par quotient : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow -3\\x<-3}}\left(\dfrac{3x+4}{(x+3)(x-2)}\right)=-\infty}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}



\newpage


\subsection{ \textcolor{blue}{(3 points)}}
On donne ci-dessous le tableau de variation d'une fonction $f$ continue :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&-2&&1&&4&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\dh&\m{1}&\db&-4&\c&\h{-2}&\dh&\m{-6}&\db&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%Déterminer le nombre de solutions de l'équation $g(x)=0$ et préciser les intervalles auxquelles appartiennent ces solutions.
Sur $]-\infty~;~-2]$, $g$ est continue, les valeurs passent de $+\infty$ à -4, donc l'équation $g(x)=0$ admet une solution ; celle-ci est unique car la fonction est décroissante.\\
La solution est même dans l'intervalle [-3~;~-2].\\
Sur $[-2~;~+\infty[$, le maximum de $g$  donc l'équation $g(x)=0$ n'admet aucune solution.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Une fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et a pour courbe représentative $\mathscr{C}_f$.\\
On sait que $f(2)=-1$ et $f'(2)=3$.\\
%Donner l'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point d'abscisse 2.
L'équation de la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 2 est :\\
$y=f'(2)(x-2)+f(2)\Leftrightarrow y=3(x-2)-1\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=3x-7}}$.

\subsection{ \textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soit la fonction $g$ définie par$ g(x) = x^3 - 3x - 4$ définie sur $\mathbb{R}$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
$g(x)=x^3-3x-4=x^3\left(1-\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{4}{x^3}\right)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^3=+\infty$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}\left(1-\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{4}{x^3}\right)=1$.

\item Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=+\infty}}$
\end{enumerate}

\item %Déterminer la limite de $g$ en $-\infty$.
De même : $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ ; $\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1-\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{4}{x^3}\right)=1$.\\
D'où Par produit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}g(x)=-\infty}}$

\columnbreak


\item On donne ci-dessous le tableau de variation de $g$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
\m{g(x)}&\mI&\c&\h{-2}&\d&-6&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Calculer $g(-1)$ et $g(1)$ et placer les valeurs dans le tableau de variation, ainsi que les limites trouvées précédemment.
$\boxed{\textcolor{red}{g(-1)=-2}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{g(1)=-6}}$

\item %Montrer que l’équation $g(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle [1~;~3].
Sur l'intervalle $[-\infty~;~1]$, le maximum de $g$ est -2, donc l'équation $g(x)=0$ n'admet aucune solution.\\
Sur $[1~;~+\infty[$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g$ est continue.

\item $g(1)=-6<0$

\item $\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=+\infty$ donc $g(x)$ prend des valeurs supérieures strictement positives
\end{enumerate}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation. $g(x)=0$ admet (au moins)  une solution.\\
Comme $g$ est croissante sur cet intervalle, cette solution est unique ; on la nomme $\alpha$.

\item %Donner un encadrement de $\alpha$ à 0,01 près.
À la calculatrice, on trouve $\boxed{\textcolor{red}{2,19<\alpha<2,20}}$

\item \textbf{\textcolor{red}{(question facultative)}}\\
%En déduire le signe de $g(x)$ en fonction des valeurs de $x$.
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\alpha&&\pI\\
\hline
g(x)&&-&\z&+\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$  de la manière suivante :
$h(x) =\begin{cases}2x-1\text{ si }x\leqslant 1\\x^2\text{ si }x>1\end{cases}$\\
%Cette fonction est-elle continue ?
Sur $]-\infty~;~1[$ et sur $]1~;~+\infty[$, $f$ est continue comme fonction usuelle.\\
Étude en 1 :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1}}f(x)=2\times -1=1$

\item $f(1)=1$

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 1\\x<1}}f(x)=1^2=1=f(1)$
\end{enumerate}
On en déduit que $f$ est continue en 1, donc sur $\mathbb{R}$.



\end{multicols}


\newpage


\subsection{ \textcolor{blue}{(2 points)}}
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\def\F{x^3/3+x^2-3*x-5/3}
\begin{pspicture}(-6,-4)(3,12)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-4)(3,12)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-4)(3,12)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5}{3}{\F}
\psplotTangent [linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{1}{\F}
\psplotTangent [linewidth=2pt,linecolor=red,arrows=<->]{1}{1}{\F}
\psplotTangent [linewidth=2pt,linecolor=red,arrows=<->]{-3}{1}{\F}
\psplotTangent [linewidth=2pt,linecolor=red,arrows=<->]{-4}{6}{\F}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-4,5)(-3,7.33)(1,-3.33)
\end{pspicture}
\end{center}
Sur la courbe, on a tracé les tangentes aux points d'abscisses -3~;~1 et -4.\\
%Donner à partir du graphique les valeurs de $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(4)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item En -3 et 1, les tangentes sont horizontales, donc $f'(-3)=0$ et  $f'(1)=0$

\item $f'(-4)$ est le coefficient directeur de la tangente ; celle-ci passe par les points de coordonnées (-5~;~0) et (-4~;~5).\\
Le coefficient directeur est donc $f'(-4)=\dfrac{5-0}{-4-(-5)}=\dfrac{5}{1=-5}$ : $\boxed{\textcolor{red}{f'(-4)=5}}$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  