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\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices supplémentaires sur les suites arithmétiques}}\end{center}



\subsection{}
Parmi les suites suivantes, quelles sont les suites qui sont arithmétiques ? Préciser alors leur premier terme et leur raison.
\begin{enumerate}[a)]
\item $u_n=-5+7n$\\
$u_{n+1}-u_n=(-5+7(n+1))-(-5+7n)=-5+7n+7+5-7n=7$.\\
$u$ est arithmétique de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=7}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{u_0=-5}}$.

\item $u_n=3n^2+5$\\
$u_{n+1}-u_n=\left[3(n+1)^2+5\right]-3\left[3n^2+5\right]=3\left(n^2+2n+1\right)+5-3n^2-5=3n^2+6n+3+5-3n^2-5=6n+3$ qui n'est pas constant donc $u$ n'est pas une suite arithmétique.

\item $u_n=\dfrac{3n+4}{7}$.\\
$u_{n+1}u_n=\dfrac{3(n+1)+4}{7}-dfrac{3n+4}{7}=\dfrac{3n+3+4-3n-4}{7}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{7}}}$.\\
$u$ est arithmétique de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=\dfrac{3}{7}}}$.

\item $u_n=n\sqrt{2}$\\
$u_{n+1}-u_n=(n+1)\sqrt{2}-n\sqrt{2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}}}$.\\
$u$ est arithmétique de raison $r=\sqrt{2}$.

\item $u$ est définie par $\begin{cases}u_0=2\\u_{n+1}=u_n+2n+1\end{cases}$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_n=2n+1$ qui n'est pas un nombre constant donc ce n'est pas une suite arithmétique.
\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}
\item $u$ est arithmétique de raison $r$ ; $u_0=-3$ et $r=2$.\\
%Calculer $u_7$.
$u_n=u_0+nr$ donc $u_7=u_0+7n=-3+7\times 2=\boxed{\textcolor{red}{11}}$

\item $u$ est arithmétique de raison $r$ ; $u_4=5$ et $r=\dfrac{1}{3}$.\\
%Calculer $u_{23}$.
$u_n=u_p(n-p)r$ donc $u_{23}=u_4+(23-4)\times r=5+19\times \dfrac{1}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{34}{3}}}$

\item $u$ est arithmétique de raison $r$ ; $u_5=12$ et $u_9=15$.\\
%Calculer $u_{23}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_9=u_5+(9-5)r$ donc $15=12+4r$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{r=\dfrac{3}{4}}}$.

\item Alors : $u_{23}=u_9+(23-9)r=15+14\times \dfrac{3}{4}=15+7\times \dfrac{3}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{51}{2}}}$
\end{enumerate}

\item $u$ est une suite arithmétique ; on sait que $u_8=15$ et $u_{12}=25$.\\
%Calculer le premier terme $u_0$ et la raison $r$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_{12}=u_8+4r$ donc $25=15+4r$ : on trouve $r=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{r=\dfrac{5}{2}}}$.

\item Alors : $u_8=u_0+8r$ donc $u_0=u_8-8r=15-8\times \dfrac{5}{2}=-5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_0=-5}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  