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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complémentaires : feuille d'exercices sur la dérivation}}\end{center}


\subsection{}%https://maths-bac.com/maths-Term-complementaires/menu-exercices-derivation-ex1-bis2.html
Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, déterminer $f'$, puis le signe de $f$ sur $I$, et dresser alors le tableau de variation de  $f$.

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)= \sqrt{x} + x^3$ sur $I = ] 0~;~+\infty [$

\item $f ( x ) = - 5 x^ 2 + x + 3$ sur $I = \mathbb{R}$.

\item $f ( x ) = 8x^2 - x + 9$ sur $I =\left[0~;~\dfrac{1}{16}\right]$.

\item $f ( x ) = - x^3 + \dfrac{3}{2} x^2$ sur $I =\mathbb{R}$.

\item $f ( x ) = - 2 x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + x + 3$ sur $I=\mathbb{R}$.

\item $f ( x ) = \dfrac{x^2} {2 x + 1}$ sur $I = \left[-1~;~-\dfrac{1}{2}\right[$

\end{enumerate}
\subsection{\textcolor{blue}{Forme d'une casserole}}
Cet exercice propose de comprendre pourquoi les casseroles ont toutes la même forme.

Pour réduire les coûts de fabrication, une entreprise doit fabriquer des casseroles cylindriques de volume $v$ \textbf{donné} en utilisant le moins de métal possible. (on ne tient pas compte du manche)

On. note $h$ la hauteur d'une casserole, $x$ le rayon du disque du fond et $S$ l'aire totale (aire latérale + aire du fond).

\begin{enumerate}
\item Montrer que $S=\pi x^2+\dfrac{2v}{x}$.

\item Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto \pi x^2+\dfrac{2v}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
On notera $\alpha$ le nombre vérifiant $\alpha ^3=\dfrac{v}{\pi}$. Alors : $\alpha=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$

\item En déduire, pour un volume $v$ fixé, la valeur de $x$ pour laquelle le coût de fabrication d' une casserole est le plus bas.\\
Notons $\alpha$ cette valeur.

\item Montrer,  que pour cette valeur $\alpha$ du rayon, la hauteur de la casserole est aussi $\alpha$.\\
Conclure quant à la forme des casseroles.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  