<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Maths complÃ©mentaires : correction de la feuille d'exercices sur la dÃ©rivation}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%https://maths-bac.com/maths-Term-complementaires/menu-exercices-derivation-ex1-bis2.html
Pour chacune des fonctions $f$ suivantes, dÃ©terminer $f'$, puis le signe de $f$ sur $I$, et dresser alors le tableau de variation de  $f$.

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)= \sqrt{x} + x^3$ sur $I = ] 0~;~+\infty [$.\\
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+3x^2&gt;0$ donc $f$ est croissante sur $I$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;0&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;+&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;0&amp;\c&amp;\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $f ( x ) = - 5 x^ 2 + x + 3$ sur $I = \mathbb{R}$.\\
$f'(x)=-10x+1$.\\
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{10}$ et $f'(x)\geqslant 0\Leftrightarrow x\geqslant \dfrac{1}{10}$.\\
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;\dfrac{1}{10}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;\dfrac{61}{20}&amp;\c&amp;\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $f ( x ) = 8x^2 - x + 9$ sur $I =\left[0~;~\dfrac{1}{16}\right]$.\\
$f'(x)=16x-1$ qui est nÃ©gatif sur $I=\left[0~;~\dfrac{1}{16}\right]$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;0&amp;&amp;\dfrac{1}{16}\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;-&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\h{9}&amp;\d&amp;\dfrac{287}{32}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $f ( x ) = - x^3 + \dfrac{3}{2} x^2$ sur $I =\mathbb{R}$.\\
$f'(x)=-3x^2+3x=-3x(x-1)$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;0&amp;&amp;1&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;0&amp;\c&amp;\h{\dfrac{1}{2}}&amp;\d&amp;\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $f ( x ) = - 2 x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + x + 3$ sur $I=\mathbb{R}$.\\
$f'(x)=-6x^2-x+1$.\\
Ã‰tudions le signe de $f'(x)$ :\\
$\Delta=25&gt;0$ ; il y a deux racines.\\
$x_1=\dfrac{1+5}{-12}=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{1-5}{-12}=\dfrac{1}{3}$.\\
$f'(x)=-6x^2-x+1$ est du signe de -6 (nÃ©gatif) Ã&nbsp; l'extÃ©rieur des racines.
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-\dfrac{1}{2}&amp;&amp;\dfrac{1}{3}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;\dfrac{21}{8}&amp;\c&amp;\h{\dfrac{173}{54}}&amp;\d&amp;\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $f ( x ) = \dfrac{x^2} {2 x + 1}$ sur $I = \left[-1~;~-\dfrac{1}{2}\right[$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x^2\\v(x)=2x+1\end{cases}$.\\
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=2x\\v'(x)=2\end{cases}$.\\
$f'(x)=\dfrac{2x(2x+1)-2x^2}{(2x+1)^2}=\dfrac{2x^2+2x}{(2x+1)^2}=\dfrac{2x(x+1)}{(2x+1)^2}$.\\
$f'(x)$ s'annule en -1 et 0 et $f'(x)$ est du signe du numÃ©rateur.
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;-1&amp;&amp;&amp;-\dfrac{1}{2}\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;-&amp;&amp;\bb\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\h{1}&amp;\d&amp;\mI&amp;\bb\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\end{multicols}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Forme d'une casserole}}
Cet exercice propose de comprendre pourquoi les casseroles ont toutes la mÃªme forme.

Pour rÃ©duire les coÃ»ts de fabrication, une entreprise doit fabriquer des casseroles cylindriques de volume $v$ \textbf{donnÃ©} en utilisant le moins de mÃ©tal possible. (on ne tient pas compte du manche)

On. note $h$ la hauteur d'une casserole, $x$ le rayon du disque du fond et $S$ l'aire totale (aire latÃ©rale + aire du fond).

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $S=\pi x^2+\dfrac{2v}{x}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le fond de la casserole a une aire Ã©gale Ã&nbsp; $\pi x^2$.

\item La surface latÃ©rale a une aire Ã©gale Ã&nbsp; $2\pi x\times h$.

\item On sait que le volume est $v$ donc $\pi x^2h=v$ donc $h=\dfrac{v}{\pi x^2}$.

\item Alors : $S=\pi x^2+2\pi x\times \dfrac{v}{\pi x^2}=\boxed{\textcolor{red}{\pi x^2+\dfrac{2v}{x}}}$ aprÃ¨s simplification.
\end{enumerate}

\item %Ã‰tudier les variations de la fonction $f:x\mapsto \pi x^2+\dfrac{2v}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.
$f'(x)=2\pi x+2v\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) =2\pi x-\dfrac{2v}{x^2}=\boxed{\textcolor{red}{2\left(\dfrac{\pi x^3-v}{x^2}\right)}}$ qui est du signe de $\pi x^3-v$.\\
$\pi x^3-v\geqslant 0\Leftrightarrow x^3\geqslant \dfrac{v}{\pi} $.\\
On sait que la fonction cube est croissante, donc : $x^3\geqslant \dfrac{v}{\pi} \Leftrightarrow  x\geqslant \sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$.\\
On pose : $\alpha=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}$
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;&amp;0&amp;&amp;\alpha=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
f(x)&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;f(\alpha)&amp;\c&amp;\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En dÃ©duire, pour un volume $v$ fixÃ©, la valeur de $x$ pour laquelle le coÃ»t de fabrication d' une casserole est le plus bas.\\
Le volume de la casserole est bien minimum pour cette valeur $\alpha$.

\item %Montrer que pour cette valeur $\alpha$ du rayon, la hauteur de la casserole est aussi $\alpha$.
Pour $x=\alpha$, la hauteur de la casserole est $h=\dfrac{v}{\pi \alpha^2}=\dfrac{v\alpha}{\pi \alpha^3}=\dfrac{v\alpha}{\pi\times \frac{v}{\pi}}=\boxed{\textcolor{red}{\alpha}}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>